Lektion 2.1

Satz des Pythagoras

17 min Lesezeit

Du lehnst eine 5 m lange Leiter an eine senkrechte Hauswand. Der Fuß der Leiter steht 1,4 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht die Leiter? Hinaufklettern und messen willst du nicht. Du kennst aber zwei Längen und einen rechten Winkel, nämlich den zwischen Wand und Boden.

Handwerker nutzen einen ähnlichen Trick, um rechte Winkel abzustecken. Sie legen eine Schnur mit zwölf gleich weit entfernten Knoten so zu einem Dreieck, dass die Seiten 3, 4 und 5 Abschnitte lang sind. Zwischen den Seiten 3 und 4 entsteht dann ein rechter Winkel. Warum das klappt und wie du in solchen Dreiecken Längen ausrechnest, zeigt der Satz des Pythagoras.

Definition

Rechtwinkliges Dreieck: Katheten und Hypotenuse

Ein Dreieck mit einem rechten Winkel (90°) heißt rechtwinkliges Dreieck. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse. Sie ist die längste Seite des Dreiecks. In dieser Lektion nennen wir die Katheten $a$ und $b$ und die Hypotenuse $c$ .

Satz

Satz des Pythagoras

In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Quadrate über den beiden Katheten haben zusammen denselben Flächeninhalt wie das Quadrat über der Hypotenuse. Mit den Seitenlängen geschrieben heißt das:

Probe mit den Katheten 3 und 4: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ . Die Hypotenuse ist also 5 lang, wie bei der Knotenschnur.

a^2 + b^2 = c^2

Beispiel

Hypotenuse berechnen

Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 6 cm und 8 cm lang. Berechne die Hypotenuse.

c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \quad \Rightarrow \quad c = \sqrt{100} = 10

Du addierst die Quadrate der beiden Katheten und ziehst aus der Summe die Wurzel. Aus $c^2 = 100$ folgt $c = 10$ , denn eine Länge ist nicht negativ. Die Hypotenuse ist 10 cm lang.

Beispiel

Kathete berechnen: die Leiter

Die Leiter aus der Einleitung ist die Hypotenuse mit $c = 5$ m. Der Abstand zur Wand ist die Kathete $a = 1{,}4$ m. Gesucht ist die Höhe $b$ an der Wand.

b^2 = c^2 - a^2 = 5^2 - 1{,}4^2 = 25 - 1{,}96 = 23{,}04 \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8

Ist eine Kathete gesucht, stellst du $a^2 + b^2 = c^2$ nach ihr um: Du subtrahierst das Quadrat der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse. Die Leiter reicht 4,8 m hoch. Probe: $1{,}4^2 + 4{,}8^2 = 1{,}96 + 23{,}04 = 25 = 5^2$ .

Definition

Umkehrung des Satzes von Pythagoras

Der Satz sagt: Wenn ein Dreieck einen rechten Winkel hat, dann gilt $a^2 + b^2 = c^2$ . Es gilt auch die Umkehrung: Wenn in einem Dreieck mit den Seiten $a$ , $b$ , $c$ die Gleichung $a^2 + b^2 = c^2$ stimmt, dann ist das Dreieck rechtwinklig. Der rechte Winkel $\gamma$ liegt gegenüber der Seite $c$ .

Begründung: Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ . Nach dem Satz ist seine Hypotenuse $\sqrt{a^2 + b^2} = c$ lang. Es stimmt dann in allen drei Seiten mit deinem Dreieck überein. Nach dem Kongruenzsatz SSS sind beide Dreiecke deckungsgleich, also hat auch dein Dreieck einen rechten Winkel. Beim Prüfen setzt du die längste Seite als $c$ ein.

a^2 + b^2 = c^2 \quad \Rightarrow \quad \gamma = 90^\circ

Beispiel

Rechten Winkel prüfen

Sind Dreiecke mit den Seiten a) 7 cm, 24 cm, 25 cm und b) 5 cm, 6 cm, 8 cm rechtwinklig?

\begin{aligned} \text{a)}\; & 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2 \\ \text{b)}\; & 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61 \neq 64 = 8^2 \end{aligned}

In beiden Fällen setzt du die längste Seite für $c$ ein und vergleichst. In a) stimmt die Gleichung, das Dreieck ist rechtwinklig, und der rechte Winkel liegt gegenüber der 25-cm-Seite. In b) stimmt sie nicht, das Dreieck ist nicht rechtwinklig.

Beispiel

Strecken in ebenen Figuren

a) Wie lang ist die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge 5 cm?
b) Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basis 10 cm und die Schenkel 13 cm. Wie hoch ist es und wie groß ist sein Flächeninhalt?
c) Wie weit sind die Punkte $P(-2 | 1)$ und $Q(4 | 5)$ voneinander entfernt?

\begin{aligned} \text{a)}\; & d^2 = 5^2 + 5^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad d = \sqrt{50} \approx 7{,}07 \\ \text{b)}\; & h^2 = 13^2 - 5^2 = 144 \quad \Rightarrow \quad h = 12, \quad A = \tfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 \\ \text{c)}\; & \overline{PQ}^2 = 6^2 + 4^2 = 52 \quad \Rightarrow \quad \overline{PQ} = \sqrt{52} \approx 7{,}21 \end{aligned}

Suche in jeder Figur ein rechtwinkliges Dreieck. In a) zerlegt die Diagonale das Quadrat in zwei solche Dreiecke: Sie ist die Hypotenuse, die Quadratseiten sind die Katheten. Die Diagonale ist etwa 7,07 cm lang. In b) halbiert die Höhe die Basis, denn das Dreieck ist symmetrisch. Das rechtwinklige Dreieck hat die Kathete 5 cm und die Hypotenuse 13 cm. Die Höhe ist 12 cm, der Flächeninhalt 60 cm². In c) ist $\overline{PQ}$ die Hypotenuse eines Dreiecks mit einer waagerechten Kathete der Länge $4 - (-2) = 6$ und einer senkrechten Kathete der Länge $5 - 1 = 4$ . Die Entfernung ist etwa 7,21 Längeneinheiten.

Definition

Raumdiagonale

Die Raumdiagonale eines Quaders verbindet zwei Ecken, die nicht auf derselben Seitenfläche liegen. Der Quader habe die Kanten $a$ , $b$ und die Höhe $h$ . Die Diagonale $d$ der Grundfläche ist die Hypotenuse eines Dreiecks mit den Katheten $a$ und $b$ , also $d^2 = a^2 + b^2$ . Die Raumdiagonale $e$ ist die Hypotenuse eines zweiten rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten $d$ und $h$ . Daraus folgt $e^2 = d^2 + h^2 = a^2 + b^2 + h^2$ . Bei einem Würfel mit der Kante $a$ gilt $e = \sqrt{3a^2} = a \sqrt{3}$ .

e = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2}

Beispiel

Der längste Stab in der Kiste

Eine Kiste ist 30 cm breit, 40 cm tief und 120 cm hoch. Wie lang darf ein gerader, sehr dünner Stab höchstens sein, damit er noch hineinpasst?

d^2 = 30^2 + 40^2 = 2500 \Rightarrow d = 50 \qquad e^2 = 50^2 + 120^2 = 2500 + 14400 = 16900 \Rightarrow e = 130

Der längste Stab liegt auf der Raumdiagonale. Zuerst rechnest du die Diagonale des Bodens: $d = 50$ cm. Dann bildet sie mit der Höhe 120 cm die Katheten eines zweiten Dreiecks. Der Stab darf höchstens 130 cm lang sein.

Häufige Fehler

Die Seiten einfach addieren

Jemand rechnet bei den Katheten 3 und 4 so: $3 + 4 = 7$ , also ist die Hypotenuse 7. Oder er schreibt $\sqrt{3^2 + 4^2} = 3 + 4$ .

Richtig ist

Du musst erst quadrieren, dann addieren, dann die Wurzel ziehen: $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ . Die Hypotenuse ist kürzer als die Summe der Katheten. Allgemein ist $\sqrt{a^2 + b^2}$ nicht gleich $a + b$ .

Häufige Fehler

Bei einer gesuchten Kathete addieren

Bei der Leiter rechnet jemand $b^2 = 5^2 + 1{,}4^2 = 26{,}96$ und bekommt $b \approx 5{,}19$ .

Richtig ist

Die Kathete kann nicht länger sein als die Hypotenuse, hier also nicht länger als 5 m. Richtig ist $b^2 = c^2 - a^2$ . Du addierst nur, wenn die Hypotenuse gesucht ist, und subtrahierst, wenn eine Kathete gesucht ist.

Häufige Fehler

Den Satz ohne rechten Winkel benutzen

Ein Dreieck hat die Seiten 4 cm, 5 cm und 7 cm. Jemand schließt aus $4^2 + 5^2 = 41$ auf eine Seitenlänge von etwa 6,4 cm und nennt das die Hypotenuse.

Richtig ist

Der Satz des Pythagoras gilt nur, wenn ein rechter Winkel vorliegt. Hier ist $4^2 + 5^2 = 41$ , aber $7^2 = 49$ . Die Gleichung stimmt nicht, das Dreieck ist nicht rechtwinklig, und es hat keine Hypotenuse.

Zusammenfassung

In einem rechtwinkligen Dreieck liegt die Hypotenuse $c$ gegenüber dem rechten Winkel und ist die längste Seite. Die Katheten $a$ und $b$ bilden den rechten Winkel.
Satz des Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$ . Die Quadrate über den Katheten haben zusammen den Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse. Der Beweis vergleicht zwei Zerlegungen eines Quadrats mit der Seite $a + b$ .
Hypotenuse gesucht: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Kathete gesucht: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ .
Umkehrung: Stimmt $a^2 + b^2 = c^2$ mit der längsten Seite als $c$ , dann ist das Dreieck rechtwinklig. Stimmt sie nicht, ist es nicht rechtwinklig.
In ebenen Figuren suchst du ein rechtwinkliges Dreieck, zum Beispiel bei der Diagonale, der Höhe oder der Entfernung zweier Punkte.
Die Raumdiagonale eines Quaders ist $e = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2}$ . Du rechnest sie mit zwei Anwendungen des Satzes.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 9 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse in Zentimetern?

Aufgabe 2Numerisch

Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 17 cm lang, eine Kathete 8 cm. Wie lang ist die andere Kathete in Zentimetern?

Aufgabe 3Multiple Choice

Welche Seitenlängen gehören zu einem rechtwinkligen Dreieck?

Aufgabe 4Numerisch

Ein Quader hat die Kanten 2 cm, 3 cm und 6 cm. Wie lang ist seine Raumdiagonale in Zentimetern?

Aufgabe 5Numerisch

Ein Rechteck hat eine Diagonale von 26 cm und eine Seite von 10 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt in Quadratzentimetern?

Aufgabe 6Freitext

Ein Dreieck hat die Seiten 20 cm, 21 cm und 29 cm. Ist es rechtwinklig? Begründe mit einer Rechnung.