Lektion 2.2

Kathetensatz und Höhensatz

16 min Lesezeit

Ein Gartenhaus hat einen dreieckigen Querschnitt. Die beiden Dachflächen stoßen oben im rechten Winkel zusammen, der Boden ist 25 dm breit. Von der Spitze aus soll eine senkrechte Stütze bis zum Boden reichen. Sie trifft den Boden so, dass er in ein Stück von 9 dm und ein Stück von 16 dm geteilt wird.

Wie lang ist die Stütze? Und wie lang sind die beiden Dachflächen im Querschnitt? Mit dem Satz des Pythagoras allein wäre das eine lange Rechnung, weil du bei keinem der drei Dreiecke zwei Seiten kennst. Zwei weitere Sätze, die aus dem Satz des Pythagoras folgen, machen es kurz.

Definition

Höhe auf der Hypotenuse und Hypotenusenabschnitte

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck $ABC$ mit dem rechten Winkel in $C$ . Die Katheten sind $a = \overline{BC}$ und $b = \overline{AC}$ , die Hypotenuse ist $c = \overline{AB}$ . Die Höhe $h$ ist die Strecke von $C$ , die senkrecht auf die Hypotenuse trifft. Ihr Fußpunkt $D$ teilt die Hypotenuse in zwei Stücke, die Hypotenusenabschnitte: $p = \overline{BD}$ und $q = \overline{AD}$ . Der Abschnitt $p$ liegt an der Kathete $a$ , denn beide beginnen in der Ecke $B$ . Der Abschnitt $q$ liegt an der Kathete $b$ . Es gilt $c = p + q$ .

Die Höhe zerlegt das Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke: $BDC$ mit der Hypotenuse $a$ und $ADC$ mit der Hypotenuse $b$ .

c = p + q

Satz

Kathetensatz und Höhensatz

Kathetensatz: Das Quadrat über einer Kathete hat denselben Flächeninhalt wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem Hypotenusenabschnitt, der an dieser Kathete liegt.

Höhensatz: Das Quadrat über der Höhe hat denselben Flächeninhalt wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten.

Zusammen mit dem Satz des Pythagoras heißen sie die Satzgruppe des Pythagoras. In Formeln:

a^2 = c \cdot p \qquad b^2 = c \cdot q \qquad h^2 = p \cdot q

Beispiel

Das Gartenhaus

Löse die Aufgabe aus der Einleitung. Gegeben sind $c = 25$ dm, $p = 9$ dm und $q = 16$ dm. Gesucht sind $h$ , $a$ und $b$ .

\begin{aligned} h^2 &= 9 \cdot 16 = 144 \quad \Rightarrow \quad h = 12 \\ a^2 &= 25 \cdot 9 = 225 \quad \Rightarrow \quad a = 15 \\ b^2 &= 25 \cdot 16 = 400 \quad \Rightarrow \quad b = 20 \end{aligned}

Die Stütze ist 12 dm lang. Die Dachflächen sind 15 dm und 20 dm lang. Zu jeder Kathete nimmst du ihren eigenen Abschnitt: zu $a$ den Abschnitt $p = 9$ , zu $b$ den Abschnitt $q = 16$ . Probe mit dem Satz des Pythagoras: $15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$ .

Beispiel

Aus Höhe und Abschnitt

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Höhe $h = 6$ cm lang, und ein Hypotenusenabschnitt ist $p = 4$ cm lang. Berechne $q$ , $c$ , $a$ und $b$ .

\begin{aligned} q &= \frac{h^2}{p} = \frac{36}{4} = 9 \qquad c = p + q = 13 \\ a^2 &= 13 \cdot 4 = 52 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{52} \approx 7{,}21 \\ b^2 &= 13 \cdot 9 = 117 \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt{117} \approx 10{,}82 \end{aligned}

Den Höhensatz $h^2 = p \cdot q$ stellst du nach $q$ um. Danach ergibt sich die Hypotenuse als Summe der Abschnitte. Die Katheten bekommst du mit dem Kathetensatz. Sie müssen nicht ganzzahlig sein. Probe: $a^2 + b^2 = 52 + 117 = 169 = 13^2$ .

Beispiel

Aus Kathete und Hypotenuse

Von einem rechtwinkligen Dreieck kennst du die Kathete $a = 6$ cm und die Hypotenuse $c = 10$ cm. Berechne $p$ , $q$ , $h$ und $b$ .

\begin{aligned} p &= \frac{a^2}{c} = \frac{36}{10} = 3{,}6 \qquad q = c - p = 6{,}4 \\ h^2 &= 3{,}6 \cdot 6{,}4 = 23{,}04 \quad \Rightarrow \quad h = 4{,}8 \\ b^2 &= 10 \cdot 6{,}4 = 64 \quad \Rightarrow \quad b = 8 \end{aligned}

Der Kathetensatz $a^2 = c \cdot p$ liefert den Abschnitt $p$ . Den zweiten Abschnitt bekommst du aus $q = c - p$ . Dann folgen die Höhe aus dem Höhensatz und die zweite Kathete aus dem Kathetensatz. Die Zahlen 6, 8 und 10 kennst du schon als Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.

Definition

Pythagoräische Zahlentripel

Ein pythagoräisches Zahlentripel besteht aus drei natürlichen Zahlen $a$ , $b$ , $c$ mit $a^2 + b^2 = c^2$ . Nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras gehört zu jedem Tripel ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten $a$ , $b$ , $c$ . Bekannte Tripel sind (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) und (7, 24, 25).

Aus einem Tripel entstehen weitere, wenn du alle drei Zahlen mit derselben natürlichen Zahl malnimmst: (3, 4, 5) wird zu (6, 8, 10). Außerdem gibt es eine Formel. Wähle natürliche Zahlen $m > n > 0$ und setze $a = m^2 - n^2$ , $b = 2mn$ , $c = m^2 + n^2$ . Das ergibt immer ein Tripel, denn mit den binomischen Formeln gilt:

(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2

Beispiel

Ein Tripel erzeugen

Bilde das Tripel zu $m = 5$ und $n = 2$ und prüfe es.

a = 25 - 4 = 21 \qquad b = 2 \cdot 5 \cdot 2 = 20 \qquad c = 25 + 4 = 29 \qquad 21^2 + 20^2 = 441 + 400 = 841 = 29^2

Das Tripel ist (21, 20, 29). Die Probe stimmt. Mit $m = 2$ und $n = 1$ bekommst du (3, 4, 5), mit $m = 3$ und $n = 2$ das Tripel (5, 12, 13).

Häufige Fehler

Den falschen Abschnitt nehmen

Im Gartenhaus rechnet jemand $a^2 = c \cdot q = 25 \cdot 16 = 400$ und bekommt $a = 20$ .

Richtig ist

Die Kathete $a$ gehört zum Abschnitt $p$ , der in derselben Ecke $B$ beginnt. Richtig ist $a^2 = c \cdot p = 25 \cdot 9 = 225$ , also $a = 15$ . Mit $q$ bekommst du die andere Kathete $b$ .

Häufige Fehler

Die Wurzel beim Höhensatz vergessen

Jemand rechnet $h = p \cdot q = 9 \cdot 16 = 144$ und sagt, die Stütze sei 144 dm lang.

Richtig ist

Der Höhensatz sagt $h^2 = p \cdot q$ . Das Produkt ist das Quadrat der Höhe. Du musst noch die Wurzel ziehen: $h = \sqrt{144} = 12$ . Eine Stütze von 144 dm wäre auch viel länger als das ganze Dach.

Zusammenfassung

Die Höhe $h$ auf der Hypotenuse teilt die Hypotenuse in die Abschnitte $p$ und $q$ mit $p + q = c$ . Der Abschnitt $p$ liegt an der Kathete $a$ , der Abschnitt $q$ an der Kathete $b$ .
Kathetensatz: $a^2 = c \cdot p$ und $b^2 = c \cdot q$ . Höhensatz: $h^2 = p \cdot q$ .
Beide Sätze folgen aus dem Satz des Pythagoras, angewendet auf das ganze Dreieck und auf die beiden Teildreiecke.
Satz des Pythagoras, Kathetensatz und Höhensatz bilden die Satzgruppe des Pythagoras. Du wählst den Satz nach den bekannten Größen.
Ein pythagoräisches Zahlentripel sind natürliche Zahlen mit $a^2 + b^2 = c^2$ . Aus $m > n$ entsteht das Tripel $m^2 - n^2$ , $2mn$ , $m^2 + n^2$ .

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Höhe auf der Hypotenuse diese in die Abschnitte 4 cm und 9 cm. Wie lang ist die Höhe in Zentimetern?

Aufgabe 2Multiple Choice

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten $a$ , $b$ , die Hypotenuse $c$ , die Höhe $h$ auf $c$ und die Abschnitte $p$ (an $a$ ) und $q$ (an $b$ ). Welche Gleichung ist der Höhensatz?

Aufgabe 3Numerisch

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 20 cm. Ein Hypotenusenabschnitt ist 5 cm lang. Wie lang ist die Kathete, die an diesem Abschnitt liegt, in Zentimetern?

Aufgabe 4Numerisch

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Höhe auf der Hypotenuse 8 cm lang, ein Hypotenusenabschnitt ist 4 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse in Zentimetern?

Aufgabe 5Numerisch

Bilde mit $m = 6$ und $n = 1$ das pythagoräische Tripel $a = m^2 - n^2$ , $b = 2mn$ , $c = m^2 + n^2$ . Wie groß ist $c$ ?

Aufgabe 6Freitext

Erkläre mit der Gleichung $a^2 + b^2 = c^2$ , warum aus einem pythagoräischen Tripel $(a, b, c)$ durch Verdoppeln aller drei Zahlen wieder ein Tripel entsteht.