Lektion 2.4

Strahlensätze

16 min Lesezeit

Es ist Abend. Du bist 1,80 m groß und stehst 4 m vom Mast einer Straßenlaterne entfernt. Dein Schatten auf dem ebenen Boden ist 2 m lang. Wie hoch hängt die Lampe? Du kannst sie nicht erreichen und nicht messen.

Du kennst aber drei Längen, und Mast und du stehen beide senkrecht, also parallel zueinander. Solche Situationen kommen oft vor: ein Baum, ein Turm, die Breite eines Teichs. Man kann nicht direkt messen, aber man findet eine Figur mit zwei Parallelen. Dafür gibt es die Strahlensätze. Sie folgen aus der Ähnlichkeit der letzten Lektion.

Definition

Die Strahlensatzfigur

Ein Strahl beginnt in einem Punkt und geht in eine Richtung unbegrenzt weiter. Zwei Strahlen haben denselben Anfangspunkt $Z$ , den Scheitel. Zwei parallele Geraden schneiden beide Strahlen. Die erste Parallele trifft den ersten Strahl in $A$ und den zweiten in $C$ . Die zweite Parallele trifft den ersten Strahl in $B$ und den zweiten in $D$ . Dabei liegen $A$ und $C$ näher an $Z$ als $B$ und $D$ . Es ist also $AC \parallel BD$ . Diese Form heißt V-Figur.

Liegt $Z$ zwischen den Parallelen, schneiden sich zwei Geraden in $Z$ . Dann liegen $A$ und $B$ auf verschiedenen Seiten von $Z$ , ebenso $C$ und $D$ . Das ist die X-Figur. Die Strahlensätze gelten für beide. Im Folgenden steht $ZA$ für die Länge der Strecke von $Z$ nach $A$ , und so weiter.

Satz

Erster und zweiter Strahlensatz

Erster Strahlensatz: Die Strecken auf dem einen Strahl verhalten sich wie die entsprechenden Strecken auf dem anderen Strahl.

Zweiter Strahlensatz: Die Strecken auf den Parallelen verhalten sich wie die zugehörigen Strecken, die von $Z$ ausgehen.

\frac{ZA}{ZB} = \frac{ZC}{ZD} \qquad \frac{ZA}{AB} = \frac{ZC}{CD} \qquad \frac{AC}{BD} = \frac{ZA}{ZB} = \frac{ZC}{ZD}

Beispiel

Beide Strahlensätze anwenden

a) In einer V-Figur sind $ZA = 4$ cm, $AB = 6$ cm und $ZC = 5$ cm gegeben. Berechne $ZD$ und $CD$ .
b) In einer V-Figur sind $ZA = 3$ cm, $ZB = 8$ cm und $BD = 12$ cm gegeben. Berechne $AC$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & ZB = 4 + 6 = 10 \qquad \frac{4}{10} = \frac{5}{ZD} \;\Rightarrow\; ZD = \frac{5 \cdot 10}{4} = 12{,}5 \qquad CD = 12{,}5 - 5 = 7{,}5 \\ \text{b)}\; & \frac{AC}{12} = \frac{3}{8} \;\Rightarrow\; AC = \frac{12 \cdot 3}{8} = 4{,}5 \end{aligned}

In a) steht auf dem ersten Strahl die ganze Strecke $ZB = 10$ cm. Sie gehört zu der ganzen Strecke $ZD$ auf dem zweiten Strahl. Du löst die Verhältnisgleichung nach $ZD$ auf. Probe mit der zweiten Form: $\frac{ZA}{AB} = \frac{4}{6}$ und $\frac{ZC}{CD} = \frac{5}{7{,}5}$ sind beide gleich $\frac{2}{3}$ . In b) nutzt du den zweiten Strahlensatz: $AC$ und $BD$ verhalten sich wie $ZA$ und $ZB$ .

Beispiel

Die Straßenlaterne

Löse die Aufgabe aus der Einleitung. Die Person ist 1,80 m groß, ihr Schatten ist 2 m lang, und sie steht 4 m vom Mast entfernt.

ZA = 2 \qquad ZB = 2 + 4 = 6 \qquad AC = 1{,}8 \qquad \frac{AC}{BD} = \frac{ZA}{ZB} \;\Rightarrow\; BD = \frac{1{,}8 \cdot 6}{2} = 5{,}4

Der Scheitel $Z$ ist die Schattenspitze am Boden. Der Boden ist der erste Strahl, der Lichtstrahl von der Lampe über deinen Kopf ist der zweite. Die Parallelen sind du ( $AC$ ) und der Mast ( $BD$ ). Der Punkt $A$ ist dein Fuß, $C$ dein Kopf, $B$ der Fußpunkt des Masts und $D$ die Lampe. Die Lampe hängt 5,4 m hoch.

Definition

Umkehrung des ersten Strahlensatzes

Mit der Umkehrung prüfst du, ob zwei Strecken parallel sind. Gilt in der Figur mit dem Scheitel $Z$ die Gleichung $\frac{ZA}{ZB} = \frac{ZC}{ZD}$ , dann ist $AC \parallel BD$ . Ebenso folgt die Parallelität aus $\frac{ZA}{AB} = \frac{ZC}{CD}$ .

Begründung für die V-Figur: Zeichne durch $B$ die Parallele zu $AC$ . Sie trifft den zweiten Strahl in einem Punkt $D'$ . Nach dem ersten Strahlensatz ist $\frac{ZA}{ZB} = \frac{ZC}{ZD'}$ . Zusammen mit $\frac{ZA}{ZB} = \frac{ZC}{ZD}$ folgt $ZD' = ZD$ , also ist $D' = D$ .

Die Umkehrung des zweiten Strahlensatzes gilt nicht. Aus $\frac{AC}{BD} = \frac{ZA}{ZB}$ allein folgt die Parallelität nicht, denn es kann Punkte $D$ geben, für die $BD$ die richtige Länge hat, ohne dass $BD$ parallel zu $AC$ ist.

\frac{ZA}{ZB} = \frac{ZC}{ZD} \quad \Rightarrow \quad AC \parallel BD

Beispiel

Parallelität prüfen

In zwei V-Figuren sind gegeben: a) $ZA = 3$ , $ZB = 5$ , $ZC = 4{,}5$ , $ZD = 7{,}5$ und b) $ZA = 3$ , $ZB = 5$ , $ZC = 4$ , $ZD = 7$ . Ist jeweils $AC \parallel BD$ ?

\begin{aligned} \text{a)}\; & \frac{3}{5} = 0{,}6 \qquad \frac{4{,}5}{7{,}5} = 0{,}6 \\ \text{b)}\; & \frac{3}{5} = 0{,}6 \qquad \frac{4}{7} \approx 0{,}571 \end{aligned}

In a) sind beide Verhältnisse gleich, also sind $AC$ und $BD$ parallel. In b) sind sie verschieden, also sind die Strecken nicht parallel.

Beispiel

Die Breite einer Bucht

Die Punkte $B$ und $D$ liegen an den beiden Enden einer Bucht. Du kannst die Strecke $BD$ nicht messen, wohl aber vom Land aus $ZB = 60$ m und $ZD = 80$ m. Hinter $Z$ steckst du auf der Geraden $BZ$ den Punkt $A$ mit $ZA = 15$ m und auf der Geraden $DZ$ den Punkt $C$ mit $ZC = 20$ m ab. Du misst $AC = 25$ m. Wie lang ist $BD$ ?

\frac{ZA}{ZB} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \qquad \frac{ZC}{ZD} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4} \qquad BD = AC \cdot \frac{ZB}{ZA} = 25 \cdot 4 = 100

Das ist eine X-Figur. Beide Verhältnisse sind $\frac{1}{4}$ . Nach der Umkehrung ist also $AC \parallel BD$ . Dann gilt der zweite Strahlensatz: $BD$ ist 4-mal so lang wie $AC$ . Die Bucht ist 100 m breit.

Häufige Fehler

Gesamtstrecke und Abschnitt mischen

Im Beispiel a) rechnet jemand $\frac{ZA}{AB} = \frac{ZC}{ZD}$ , also $\frac{4}{6} = \frac{5}{ZD}$ , und bekommt $ZD = 7{,}5$ .

Richtig ist

Links steht ein Abschnitt $AB$ , rechts eine ganze Strecke $ZD$ . Das passt nicht zusammen. Richtig ist $\frac{ZA}{ZB} = \frac{ZC}{ZD}$ mit $ZB = 10$ , also $ZD = 12{,}5$ . Mit 7,5 hat die Rechnung die Strecke $CD$ erwischt.

Häufige Fehler

Parallelität nur annehmen

Jemand sieht in einer Skizze zwei Strecken, die parallel aussehen, und wendet den Strahlensatz an.

Richtig ist

Die Strahlensätze gelten nur, wenn die Strecken wirklich parallel sind. Das muss in der Aufgabe stehen, oder du prüfst es mit der Umkehrung des ersten Strahlensatzes. Das Aussehen einer Skizze genügt nicht.

Zusammenfassung

Zwei Strahlen mit dem Scheitel $Z$ werden von zwei Parallelen $AC$ und $BD$ geschnitten. Die Figur heißt V-Figur, oder X-Figur, wenn $Z$ zwischen den Parallelen liegt.
Erster Strahlensatz: $\frac{ZA}{ZB} = \frac{ZC}{ZD}$ und $\frac{ZA}{AB} = \frac{ZC}{CD}$ . Ganze Strecken gehören zu ganzen Strecken, Abschnitte zu Abschnitten.
Zweiter Strahlensatz: $\frac{AC}{BD} = \frac{ZA}{ZB} = \frac{ZC}{ZD}$ .
Die Sätze folgen aus der Ähnlichkeit der Dreiecke $ZAC$ und $ZBD$ (WW).
Umkehrung des ersten Strahlensatzes: Aus gleichen Verhältnissen $\frac{ZA}{ZB} = \frac{ZC}{ZD}$ folgt $AC \parallel BD$ . Die Umkehrung des zweiten Strahlensatzes gilt nicht.
Mit den Strahlensätzen berechnest du Strecken, die du nicht messen kannst, etwa Höhen und Breiten.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

In einer V-Figur sind $ZA = 6$ cm, $ZB = 9$ cm und $ZC = 8$ cm. Wie lang ist $ZD$ in Zentimetern?

Aufgabe 2Numerisch

In einer V-Figur sind $ZA = 2$ cm, $ZB = 7$ cm und $BD = 10{,}5$ cm. Wie lang ist $AC$ in Zentimetern?

Aufgabe 3Multiple Choice

Zwei Strahlen mit dem Anfangspunkt $Z$ werden von den Parallelen $AC$ und $BD$ geschnitten. Auf dem ersten Strahl liegen $A$ und $B$ , auf dem zweiten $C$ und $D$ , jeweils $A$ und $C$ näher an $Z$ . Welche Gleichung stimmt?

Aufgabe 4Numerisch

Eine Person ist 1,6 m groß und steht 3 m von einem Laternenmast entfernt. Ihr Schatten ist 2 m lang und zeigt vom Mast weg. Wie hoch hängt die Lampe in Metern?

Aufgabe 5Numerisch

Zwei Geraden schneiden sich in $Z$ (X-Figur). Auf der ersten liegen $A$ und $B$ auf verschiedenen Seiten von $Z$ , auf der zweiten $C$ und $D$ . Es ist $AC \parallel BD$ , $ZA = 4$ cm, $ZB = 10$ cm und $ZC = 7$ cm. Wie lang ist $ZD$ in Zentimetern?

Aufgabe 6Freitext

In einer V-Figur sind $ZA = 6$ , $ZB = 9$ , $ZC = 10$ und $ZD = 14$ . Sind $AC$ und $BD$ parallel? Begründe.