Lektion 1.2

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung und freier Fall

14 min Lesezeit

An der Ampel wird es grün. Das Auto springt nicht gleich auf 50 km/h, sondern wird Sekunde für Sekunde schneller. Der Tacho zeigt nach 1 s etwa 10 km/h, nach 2 s etwa 20 km/h, nach 3 s etwa 30 km/h. Die Geschwindigkeit wächst gleichmäßig.

Ein Stein, den du vom Balkon fallen lässt, wird auch immer schneller. Wie schnell ist er nach 2 s? Und wie weit ist er dann gefallen?

In dieser Lektion misst du, wie stark sich die Geschwindigkeit ändert, leitest die Gesetze für gleichmäßig wachsende Geschwindigkeit her und wendest sie auf den freien Fall an.

Definition

Beschleunigung

Die Beschleunigung $a$ sagt, wie stark sich die Geschwindigkeit pro Zeit ändert. Sie ist die Geschwindigkeitsänderung $\Delta v$ geteilt durch die dafür nötige Zeit $\Delta t$ . Die Einheit ergibt sich aus der Rechnung: Meter pro Sekunde durch Sekunde, geschrieben m/s². 2 m/s² heißt: In jeder Sekunde wächst die Geschwindigkeit um 2 m/s.

Wird der Körper langsamer, ist $\Delta v$ negativ und damit auch $a$ . Bleibt $a$ konstant, nennt man die Bewegung gleichmäßig beschleunigt. Beschleunigung und Geschwindigkeit sind verschiedene Größen: Ein Flugzeug, das gleichmäßig mit 250 m/s fliegt, hat die Beschleunigung null.

a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}

Beispiel

Beschleunigen und Bremsen

Ein Auto beschleunigt in 8,0 s von 0 auf 100 km/h. Wie groß ist a? Danach bremst es in 5,0 s von 20 m/s auf 0. Wie groß ist a dabei?

100 km/h : 3,6 ≈ 27,8 m/s. Also $a = 27{,}8\,\text{m/s} : 8{,}0\,\text{s} \approx 3{,}5\,\text{m/s}^2$ .

Beim Bremsen ist $\Delta v = 0 - 20 = -20$ m/s. Also $a = -20\,\text{m/s} : 5{,}0\,\text{s} = -4{,}0\,\text{m/s}^2$ . Das Minus zeigt: Die Geschwindigkeit nimmt ab.

Definition

Geschwindigkeit bei gleichmäßiger Beschleunigung

Zu Beginn ( $t = 0$ ) hat der Körper die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ und den Anfangsort $s_0$ . Diese Werte heißen Anfangsbedingungen. Aus $a = \Delta v : \Delta t$ folgt: Nach der Zeit $t$ ist die Geschwindigkeit um $a \cdot t$ gewachsen. Im $v(t)$ -Diagramm ist das eine Gerade mit der Steigung $a$ .

v(t) = v_0 + a \cdot t

Definition

Weg bei gleichmäßiger Beschleunigung

Der Weg ist die Fläche unter der Linie im $v(t)$ -Diagramm. Sie besteht aus einem Rechteck der Höhe $v_0$ und der Breite $t$ , also $v_0 \cdot t$ , und einem Dreieck darüber mit der Grundseite $t$ und der Höhe $a \cdot t$ . Das Dreieck hat den Flächeninhalt $\frac{1}{2} \cdot t \cdot a t = \frac{1}{2} a t^2$ . Mit dem Anfangsort $s_0$ ergibt sich:

s(t) = s_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2

Definition

Rechnen ohne Zeit

Oft ist die Zeit nicht gegeben. Löse $v = v_0 + a t$ nach $t$ auf und setze das in die Wegformel ein (mit $s_0 = 0$ ). Nach kurzer Umformung bleibt eine Formel ohne $t$ . Für den zurückgelegten Weg $s$ gilt:

v^2 = v_0^2 + 2 a \cdot s

Definition

Die drei Diagramme im Überblick

Bei konstanter positiver Beschleunigung sehen die Diagramme so aus:

Diagramm	Aussehen	Steigung bedeutet	Fläche darunter bedeutet
$a(t)$	waagerechte Gerade	wird nicht gebraucht	Geschwindigkeitsänderung $\Delta v$
$v(t)$	Gerade mit der Steigung $a$	Beschleunigung	Weg $\Delta s$
$s(t)$	nach oben gekrümmte Kurve (Parabel)	Geschwindigkeit	wird nicht gebraucht

Wegen $t^2$ im Weggesetz wächst der Weg aus der Ruhe schneller als die Zeit: Bei doppelter Zeit ist der Weg viermal so groß.

Beispiel

Anfahren aus der Ruhe

Ein Auto fährt aus der Ruhe mit $a = 2{,}0$ m/s² an. a) Welche Geschwindigkeit und welchen Weg hat es nach 5,0 s? b) Wann hat es 100 m zurückgelegt, und wie schnell ist es dann?

a) $v = 2{,}0 \cdot 5{,}0 = 10$ m/s, das sind 36 km/h. $s = \frac{1}{2} \cdot 2{,}0 \cdot 5{,}0^2 = 25$ m. Kontrolle mit dem Dreieck im $v(t)$ -Diagramm: $\frac{1}{2} \cdot 5{,}0 \cdot 10 = 25$ m.

b) $100 = \frac{1}{2} \cdot 2{,}0 \cdot t^2 = t^2$ , also $t = 10$ s. Dann ist $v = 2{,}0 \cdot 10 = 20$ m/s (72 km/h). Die doppelte Zeit brachte den vierfachen Weg: 25 m und 100 m.

Ein gleichmäßig beschleunigter Wagen

Bereit

Zeit t: 0,00 s
Weg s: 0,000 m
Geschwindigkeit v: 0,000 m/s

Weg–Zeit

Wagen

Eine Parabel: Der Weg wächst mit dem Quadrat der Zeit.

Ein fallendes Gewicht zieht den Wagen an einem Faden. Drücke „Start“. Unter dem Bild stehen Zeit, Weg und Geschwindigkeit, im Diagramm wächst der Weg über der Zeit als gekrümmte Linie. Nach etwa 1,4 s hat der Wagen 1 m zurückgelegt. Rechne nach: Aus s = ½ · a · t² folgt a = 2 · s : t², hier etwa 2 · 1 m : (1,4 s)² ≈ 1 m/s². Warum der Wagen so beschleunigt, klärt die nächste Lektion.

Definition

Freier Fall

Lässt du einen Körper los, fällt er. Wirkt nur die Anziehung der Erde und keine Luftreibung, spricht man vom freien Fall. Messungen zeigen: Alle Körper fallen gleich schnell, ganz gleich welche Masse sie haben. In einer Röhre ohne Luft fallen eine Feder und eine Metallkugel gleich schnell. In Luft bremst der Luftwiderstand die Feder oder ein Blatt viel stärker als einen Stein.

Der freie Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus der Ruhe mit der Fallbeschleunigung $g$ . In Deutschland ist $g = 9{,}81$ m/s², auf dem Mond etwa 1,6 m/s². Zum Überschlagen reicht 10 m/s². Das ist derselbe Zahlenwert wie beim Ortsfaktor 9,81 N/kg. Die nächste Lektion zeigt, warum. Zählt man die Richtung nach unten positiv, gilt mit der Fallstrecke $h$ :

v = g \cdot t, \qquad h = \frac{1}{2} g \cdot t^2, \qquad v = \sqrt{2 g \cdot h}

Beispiel

Der Stein vom Turm

Ein Stein fällt aus der Ruhe von einem 20 m hohen Turm. Die Luftreibung wird vernachlässigt. Wie lange fällt er, wie schnell trifft er auf, und wie weit ist er nach 1 s gefallen?

Fallzeit: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{40}{9{,}81}} \approx 2{,}0$ s.

Aufprallgeschwindigkeit: $v = g t \approx 9{,}81 \cdot 2{,}02 \approx 19{,}8$ m/s, das sind etwa 71 km/h. Kontrolle: $\sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 20} \approx 19{,}8$ m/s.

Nach 1 s: $h = \frac{1}{2} \cdot 9{,}81 \cdot 1^2 \approx 4{,}9$ m.

Beispiel

Der Bremsweg

Ein Auto fährt mit 72 km/h und bremst gleichmäßig mit $a = -5{,}0$ m/s² bis zum Stillstand. Wie lange dauert das, und wie lang ist der Bremsweg? Wie lang wäre er bei 144 km/h?

Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 20$ m/s. Aus $0 = 20 - 5{,}0 \cdot t$ folgt $t = 4{,}0$ s. Bremsweg: $s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 = 20 \cdot 4{,}0 - \frac{1}{2} \cdot 5{,}0 \cdot 16 = 80 - 40 = 40$ m.

Mit der Formel ohne Zeit: $0 = 20^2 + 2 \cdot (-5{,}0) \cdot s$ , also $s = 400 : 10 = 40$ m.

144 km/h sind 40 m/s: $s = 40^2 : 10 = 160$ m. Bei doppelter Geschwindigkeit ist der Bremsweg viermal so lang, denn $v$ geht quadratisch ein.

Häufige Fehler

Schwere Körper fallen schneller

„Eine Eisenkugel fällt schneller als eine Holzkugel, weil sie schwerer ist.“

Richtig ist

Ohne Luftreibung fallen beide gleich schnell. Der Unterschied im Alltag kommt von der Luft: Sie bremst leichte, große Körper wie Federn und Blätter stärker.

Häufige Fehler

Beschleunigung und Geschwindigkeit verwechseln

„Das Auto fährt konstant 100 km/h, also hat es eine große Beschleunigung.“

Richtig ist

Die Beschleunigung misst die Änderung der Geschwindigkeit, nicht die Geschwindigkeit selbst. Bei konstanter Geschwindigkeit ist $a = 0$ , auch wenn $v$ groß ist. Beim Bremsen ist $a$ nicht null, sondern negativ.

Zusammenfassung

Die Beschleunigung ist die Geschwindigkeitsänderung pro Zeit, a = Δv : Δt, in m/s². Beim Bremsen ist sie negativ.
Bei konstanter Beschleunigung gilt v = v₀ + a · t und s = s₀ + v₀ · t + ½ · a · t². Die Anfangsbedingungen sind v₀ und s₀.
Ohne Zeit rechnet man mit v² = v₀² + 2 · a · s.
Im v(t)-Diagramm ist die Steigung die Beschleunigung und die Fläche der Weg. Im s(t)-Diagramm ist die Kurve eine Parabel. Im a(t)-Diagramm ist die Linie waagerecht.
Im freien Fall ohne Luftreibung fallen alle Körper gleich, mit g = 9,81 m/s².
Verdoppelt sich die Zeit, vervierfacht sich der Weg aus der Ruhe. Verdoppelt sich die Anfangsgeschwindigkeit, vervierfacht sich der Bremsweg.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Ein Zug beschleunigt in 40 s gleichmäßig von 0 auf 20 m/s. Wie groß ist seine Beschleunigung in m/s²?

Aufgabe 2Multiple Choice

Ein Körper wird aus der Ruhe gleichmäßig beschleunigt. Wie sieht seine Linie im s(t)-Diagramm aus?

Aufgabe 3Numerisch

Eine Radfahrerin fährt aus der Ruhe mit a = 1,5 m/s² an. Wie weit ist sie nach 4,0 s gekommen, in Metern?

Aufgabe 4Numerisch

Ein Stein fällt in einen Brunnen und schlägt nach 3,0 s auf dem Wasser auf. Rechne mit g = 9,81 m/s² und ohne Luftreibung und Schalllaufzeit. Wie tief ist der Brunnen, gerundet auf ganze Meter?

Aufgabe 5Numerisch

Ein Auto fährt mit 54 km/h und bremst gleichmäßig mit a = −4,5 m/s² bis zum Stillstand. Wie lang ist der Bremsweg in Metern?

Aufgabe 6Freitext

In einer luftleeren Röhre fallen eine Feder und eine Münze gleich schnell. Warum fällt die Feder in Luft langsamer?

Lektion 1.2 · Bewegung, Kräfte und Energie

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung und freier Fall

Ein Stein, den du vom Balkon fallen lässt, wird auch immer schneller. Wie schnell ist er nach 2 s? Und wie weit ist er dann gefallen?

In dieser Lektion misst du, wie stark sich die Geschwindigkeit ändert, leitest die Gesetze für gleichmäßig wachsende Geschwindigkeit her und wendest sie auf den freien Fall an.

Definition

Beschleunigung

a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}

Beispiel

Beschleunigen und Bremsen

Ein Auto beschleunigt in 8,0 s von 0 auf 100 km/h. Wie groß ist a? Danach bremst es in 5,0 s von 20 m/s auf 0. Wie groß ist a dabei?

100 km/h : 3,6 ≈ 27,8 m/s. Also $a = 27{,}8\,\text{m/s} : 8{,}0\,\text{s} \approx 3{,}5\,\text{m/s}^2$ .

Beim Bremsen ist $\Delta v = 0 - 20 = -20$ m/s. Also $a = -20\,\text{m/s} : 5{,}0\,\text{s} = -4{,}0\,\text{m/s}^2$ . Das Minus zeigt: Die Geschwindigkeit nimmt ab.

Definition

Geschwindigkeit bei gleichmäßiger Beschleunigung

v(t) = v_0 + a \cdot t

Definition

Weg bei gleichmäßiger Beschleunigung

s(t) = s_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2

Definition

Rechnen ohne Zeit

v^2 = v_0^2 + 2 a \cdot s

Definition

Die drei Diagramme im Überblick

Bei konstanter positiver Beschleunigung sehen die Diagramme so aus:

Diagramm	Aussehen	Steigung bedeutet	Fläche darunter bedeutet
$a(t)$	waagerechte Gerade	wird nicht gebraucht	Geschwindigkeitsänderung $\Delta v$
$v(t)$	Gerade mit der Steigung $a$	Beschleunigung	Weg $\Delta s$
$s(t)$	nach oben gekrümmte Kurve (Parabel)	Geschwindigkeit	wird nicht gebraucht

Wegen $t^2$ im Weggesetz wächst der Weg aus der Ruhe schneller als die Zeit: Bei doppelter Zeit ist der Weg viermal so groß.

Beispiel

Anfahren aus der Ruhe

Ein Auto fährt aus der Ruhe mit $a = 2{,}0$ m/s² an. a) Welche Geschwindigkeit und welchen Weg hat es nach 5,0 s? b) Wann hat es 100 m zurückgelegt, und wie schnell ist es dann?

a) $v = 2{,}0 \cdot 5{,}0 = 10$ m/s, das sind 36 km/h. $s = \frac{1}{2} \cdot 2{,}0 \cdot 5{,}0^2 = 25$ m. Kontrolle mit dem Dreieck im $v(t)$ -Diagramm: $\frac{1}{2} \cdot 5{,}0 \cdot 10 = 25$ m.

b) $100 = \frac{1}{2} \cdot 2{,}0 \cdot t^2 = t^2$ , also $t = 10$ s. Dann ist $v = 2{,}0 \cdot 10 = 20$ m/s (72 km/h). Die doppelte Zeit brachte den vierfachen Weg: 25 m und 100 m.

Definition

Freier Fall

v = g \cdot t, \qquad h = \frac{1}{2} g \cdot t^2, \qquad v = \sqrt{2 g \cdot h}

Beispiel

Der Stein vom Turm

Ein Stein fällt aus der Ruhe von einem 20 m hohen Turm. Die Luftreibung wird vernachlässigt. Wie lange fällt er, wie schnell trifft er auf, und wie weit ist er nach 1 s gefallen?

Fallzeit: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{40}{9{,}81}} \approx 2{,}0$ s.

Aufprallgeschwindigkeit: $v = g t \approx 9{,}81 \cdot 2{,}02 \approx 19{,}8$ m/s, das sind etwa 71 km/h. Kontrolle: $\sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 20} \approx 19{,}8$ m/s.

Nach 1 s: $h = \frac{1}{2} \cdot 9{,}81 \cdot 1^2 \approx 4{,}9$ m.

Beispiel

Der Bremsweg

Ein Auto fährt mit 72 km/h und bremst gleichmäßig mit $a = -5{,}0$ m/s² bis zum Stillstand. Wie lange dauert das, und wie lang ist der Bremsweg? Wie lang wäre er bei 144 km/h?

Mit der Formel ohne Zeit: $0 = 20^2 + 2 \cdot (-5{,}0) \cdot s$ , also $s = 400 : 10 = 40$ m.

144 km/h sind 40 m/s: $s = 40^2 : 10 = 160$ m. Bei doppelter Geschwindigkeit ist der Bremsweg viermal so lang, denn $v$ geht quadratisch ein.

Häufige Fehler

Schwere Körper fallen schneller

„Eine Eisenkugel fällt schneller als eine Holzkugel, weil sie schwerer ist.“

Ohne Luftreibung fallen beide gleich schnell. Der Unterschied im Alltag kommt von der Luft: Sie bremst leichte, große Körper wie Federn und Blätter stärker.

Häufige Fehler

Beschleunigung und Geschwindigkeit verwechseln

„Das Auto fährt konstant 100 km/h, also hat es eine große Beschleunigung.“

Zusammenfassung

Die Beschleunigung ist die Geschwindigkeitsänderung pro Zeit, a = Δv : Δt, in m/s². Beim Bremsen ist sie negativ.
Bei konstanter Beschleunigung gilt v = v₀ + a · t und s = s₀ + v₀ · t + ½ · a · t². Die Anfangsbedingungen sind v₀ und s₀.
Ohne Zeit rechnet man mit v² = v₀² + 2 · a · s.
Im v(t)-Diagramm ist die Steigung die Beschleunigung und die Fläche der Weg. Im s(t)-Diagramm ist die Kurve eine Parabel. Im a(t)-Diagramm ist die Linie waagerecht.
Im freien Fall ohne Luftreibung fallen alle Körper gleich, mit g = 9,81 m/s².
Verdoppelt sich die Zeit, vervierfacht sich der Weg aus der Ruhe. Verdoppelt sich die Anfangsgeschwindigkeit, vervierfacht sich der Bremsweg.