Lektion 1.4

Kinetische und potenzielle Energie, Energieerhaltung quantitativ

14 min Lesezeit

Eine Achterbahn wird langsam auf den höchsten Punkt gezogen. Von da an läuft sie ohne Motor: Der Wagen stürzt hinab, schießt durch die Täler und steigt wieder. Der zweite Hügel ist niedriger als der erste, und das ist kein Zufall.

Auf dem Fahrrad merkst du etwas Ähnliches beim Bremsen. Aus 30 km/h ist der Bremsweg viel mehr als doppelt so lang wie aus 15 km/h.

In dieser Lektion rechnest du mit Energien: Wie viel steckt in Höhe, Bewegung und gespannter Feder? Wie schnell ist der Wagen unten? Und wohin geht die Energie, wenn sie nicht mehr mechanisch ist?

Definition

Potenzielle Energie (Lageenergie)

Aus Klasse 7 und 8 kennst du die Lageenergie. In der Physik heißt sie auch potenzielle Energie, Zeichen EpotE_{\text{pot}}. Hebst du einen Körper der Masse mm um die Höhe hh, ist die Hubarbeit FG⋅hF_G \cdot h mit FG=mgF_G = m g und g=9,81g = 9{,}81 N/kg. Diese Energie steckt dann im Körper. Die Höhe misst du von einem frei gewählten Nullniveau aus, zum Beispiel dem Boden. Nur Höhenunterschiede zählen.

Epot=m⋅g⋅hE_{\text{pot}} = m \cdot g \cdot h
Definition

Kinetische Energie (Bewegungsenergie)

Die Bewegungsenergie heißt kinetische Energie EkinE_{\text{kin}} (kinetisch: zur Bewegung gehörig). Wir leiten sie her. Ein Körper der Masse mm wird aus der Ruhe mit der konstanten Kraft FF auf der Strecke ss auf die Geschwindigkeit vv beschleunigt. Die Arbeit W=F⋅sW = F \cdot s steckt danach als Bewegungsenergie in ihm. Mit F=maF = m a und s=v2:(2a)s = v^2 : (2a) (letzte Lektionen) folgt W=ma⋅v22a=12mv2W = m a \cdot \frac{v^2}{2a} = \frac{1}{2} m v^2. Die Einheit ist 1 kg · m²/s² = 1 J.

Weil vv quadratisch eingeht, hat ein Körper bei doppelter Geschwindigkeit die vierfache Bewegungsenergie:

Ekin=12⋅m⋅v2E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2
Definition

Spannenergie

Eine Feder mit der Federkonstante DD wird um die Strecke ss gedehnt. Dabei ist ss die Verlängerung, keine Weglänge einer Fahrt. Nach dem Hookeschen Gesetz wächst die Kraft von 0 bis D⋅sD \cdot s, im Mittel ist sie 12Ds\frac{1}{2} D s. Die Arbeit ist die mittlere Kraft mal der Weg, also 12Ds⋅s\frac{1}{2} D s \cdot s. Sie steckt als Spannenergie in der Feder, solange die Feder elastisch bleibt:

ESpann=12⋅D⋅s2E_{\text{Spann}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2
Definition

Energieerhaltungssatz der Mechanik

Die Summe der drei Formen heißt mechanische Energie: Emech=Epot+Ekin+ESpannE_{\text{mech}} = E_{\text{pot}} + E_{\text{kin}} + E_{\text{Spann}}. Wirken nur Gewichtskraft und Federkraft, aber keine Reibung, bleibt sie konstant. Fällt ein Stein, nimmt die potenzielle Energie um genau so viel ab, wie die kinetische zunimmt.

Mit Reibung wird ein Teil der mechanischen Energie zu thermischer Energie EthermE_{\text{therm}} (Wärme). Die mechanische Energie sinkt, die gesamte Energie bleibt gleich. Eine Energiebilanz vergleicht Anfang und Ende:

Emech,1=Emech,2+EthermE_{\text{mech},1} = E_{\text{mech},2} + E_{\text{therm}}
Beispiel

Die Achterbahn

Ein Wagen startet aus der Ruhe in 40 m Höhe und rollt reibungsfrei hinab. Wie schnell ist er am Boden? Wie schnell ist er in 15 m Höhe?

Am Start gilt Ekin=0E_{\text{kin}} = 0, am Boden Epot=0E_{\text{pot}} = 0. Also mgh=12mv2m g h = \frac{1}{2} m v^2. Die Masse kürzt sich: v=2ghv = \sqrt{2 g h}.

Am Boden: v=2⋅9,81⋅40≈28v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 40} \approx 28 m/s, das sind etwa 100 km/h.

In 15 m Höhe sind erst 25 m der Höhe in Bewegungsenergie umgewandelt: v=2⋅9,81⋅25≈22v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 25} \approx 22 m/s. Die Form der Bahn spielt keine Rolle, nur der Höhenunterschied.

Beispiel

Das Federkatapult

Eine Feder (D = 200 N/m) wird um 5,0 cm gespannt und schießt eine Kugel von 10 g waagerecht ab. Wie viel Energie steckt in der Feder? Wie schnell ist die Kugel, wie hoch käme sie senkrecht nach oben? Reibung wird vernachlässigt.

Spannenergie: E=12⋅200⋅0,0502=0,25E = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 0{,}050^2 = 0{,}25 J.

Geschwindigkeit: 12⋅0,010⋅v2=0,25\frac{1}{2} \cdot 0{,}010 \cdot v^2 = 0{,}25, also v2=50v^2 = 50 und v≈7,1v \approx 7{,}1 m/s.

Höhe: Die Bewegungsenergie wird zu potenzieller Energie, 0,25=0,010⋅9,81⋅h0{,}25 = 0{,}010 \cdot 9{,}81 \cdot h, also h≈2,5h \approx 2{,}5 m.

Beispiel

Die Rutsche

Ein Kind (30 kg) rutscht von einer 3,0 m hohen Rutsche aus der Ruhe hinab und ist unten 6,0 m/s schnell. Wie viel Energie wird zu Wärme? Welcher Anteil der anfänglichen Energie ist das?

Anfang: Epot=30⋅9,81⋅3,0≈883E_{\text{pot}} = 30 \cdot 9{,}81 \cdot 3{,}0 \approx 883 J.

Ende: Ekin=12⋅30⋅6,02=540E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 6{,}0^2 = 540 J.

Die Energiebilanz ergibt Etherm=883−540=343E_{\text{therm}} = 883 - 540 = 343 J. Das sind 343:883≈0,39343 : 883 \approx 0{,}39, also etwa 39 %.

Definition

Wirkungsgrad, Energieflussschema und typische Leistungen

Maschinen wandeln Energie um, ein Teil wird dabei zu nicht mehr nutzbarer Wärme. Der Wirkungsgrad η\eta ist der Anteil der Nutzenergie an der zugeführten Energie, η=Enutz:Ezu\eta = E_{\text{nutz}} : E_{\text{zu}}. Ein Energieflussschema zeigt die Bilanz als Pfeile. Ein breiter Pfeil führt die zugeführte Energie heran, er teilt sich in einen Pfeil für die Nutzenergie und einen für die Wärme. Die Breite jedes Pfeils entspricht dem Energiebetrag. Bei Maschinen hintereinander multiplizieren sich die Wirkungsgrade.

Die Leistung P=E:tP = E : t nennt die übertragene Energie pro Zeit. Typische Größenordnungen (gerundet):

BeispielLeistung (etwa)
LED-Lampe10 W
Mensch, Tagesdurchschnitt100 W
Wasserkocher2 kW
Pkw-Motor80 kW
Windkraftanlage an Land3 MW
Block eines großen Kraftwerksetwa 1 GW (Gigawatt, 1000 MW)
ηges=η1⋅η2\eta_{\text{ges}} = \eta_1 \cdot \eta_2
Beispiel

Wasserkraftwerk

Ein Wasserkraftwerk erhält 200 MJ aus dem herabfließenden Wasser. Die Turbine hat η1=0,90\eta_1 = 0{,}90, der Generator η2=0,95\eta_2 = 0{,}95 (angenommene Werte). Zeichne das Energieflussschema als Tabelle und bestimme den Gesamtwirkungsgrad.

StelleEnergie in MJWärme in MJ
Wasser (zugeführt)2000
hinter der Turbine18020
hinter dem Generator1719

Turbine: 0,90⋅200=1800{,}90 \cdot 200 = 180 MJ. Generator: 0,95⋅180=1710{,}95 \cdot 180 = 171 MJ. Gesamt: 171:200=0,855=0,90⋅0,95171 : 200 = 0{,}855 = 0{,}90 \cdot 0{,}95, also 85,5 %. Die Wärme beträgt 20+9=2920 + 9 = 29 MJ, und 171+29=200171 + 29 = 200 MJ. Die Energie bleibt erhalten, nur nicht alles ist nutzbar.

Häufige Fehler

Doppelte Geschwindigkeit, doppelte Energie

„Fährt ein Auto doppelt so schnell, hat es doppelt so viel Bewegungsenergie.“

Richtig ist

Die Bewegungsenergie wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit. Bei doppelter Geschwindigkeit ist sie viermal so groß. Darum braucht ein Auto bei gleicher Bremskraft den vierfachen Bremsweg: Die Bremskraft muss die Energie auf dem Bremsweg abbauen, F⋅s=12mv2F \cdot s = \frac{1}{2} m v^2.

Häufige Fehler

Beim Bremsen geht Energie verloren

„Wenn der Wagen durch Reibung langsamer wird, verschwindet seine Energie.“

Richtig ist

Die Gesamtenergie bleibt erhalten. Nur die mechanische Energie sinkt. Der Rest steckt als thermische Energie in Bremsen, Reifen und Luft. Sie ist verteilt und lässt sich nicht mehr nutzen.

Zusammenfassung

  • Potenzielle Energie (Lageenergie): E = m · g · h. Die Höhe zählt von einem frei gewählten Nullniveau.

  • Kinetische Energie (Bewegungsenergie): E = ½ · m · v². Doppelte Geschwindigkeit bedeutet vierfache Energie.

  • Spannenergie einer Feder: E = ½ · D · s². Doppelte Dehnung bedeutet vierfache Energie.

  • Ohne Reibung bleibt die mechanische Energie (Summe der drei Formen) konstant. Daraus folgt zum Beispiel v = √(2 · g · h).

  • Mit Reibung wird mechanische Energie zu thermischer Energie. Die Gesamtenergie bleibt erhalten, die Energiebilanz geht auf.

  • Der Wirkungsgrad ist Nutzenergie durch zugeführte Energie. Ein Energieflussschema zeigt die Verteilung als Pfeile. Typische Leistungen reichen von 10 W (LED) bis zu etwa 1 GW (Kraftwerksblock).

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Ein Kind (Masse 50 kg) fährt mit 6,0 m/s auf Rollschuhen. Wie groß ist seine Bewegungsenergie in Joule?

Aufgabe 2Multiple Choice

Ein Auto fährt mit doppelter Geschwindigkeit. Wie ändert sich seine Bewegungsenergie?

Aufgabe 3Numerisch

Eine Feder (D = 400 N/m) wird um 6,0 cm gedehnt. Wie groß ist die Spannenergie in Joule?

Aufgabe 4Numerisch

Ein Ball fällt aus 5,0 m Höhe, die Luftreibung wird vernachlässigt. Wie schnell trifft er auf dem Boden auf, in m/s? Rechne mit g = 9,81 m/s² und runde auf eine Nachkommastelle.

Aufgabe 5Numerisch

Ein Kind mit Roller (zusammen 20 kg) rollt aus der Ruhe 4,0 m tiefer und ist unten 5,0 m/s schnell. Wie viel Energie wurde zu thermischer Energie, in Joule, auf ganze Joule gerundet? Rechne mit 9,81 N/kg.

Aufgabe 6Freitext

Warum ist der Bremsweg eines Autos bei 100 km/h viermal so lang wie bei 50 km/h, wenn die Bremskraft gleich ist? Erkläre mit Energie.