Lektion 10.1

Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus

45 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

ein lineares System als Ebenen (oder Geraden) im Raum deuten,
die drei Typen Lösung: eindeutig, unendlich (Gerade/Ebene), leer (parallel) erkennen,
den Gauß-Algorithmus als erlaubte Zeilenumformungen ausführen,
den Rang mit der Anzahl freier Parameter verbinden.

Zwei Geraden in der Ebene: Schnittpunkt, parallel, oder dieselbe Gerade. Drei Unbekannte: Jede Gleichung $a x + b y + c z = d$ ist eine Ebene. Zwei Ebenen schneiden sich (typisch) in einer Geraden, drei in einem Punkt — oder sie verfehlen einander.

Der Gauß-Algorithmus macht dasselbe, ohne zu zeichnen: Er formt das System so um, dass man die Unbekannten nacheinander ablesen kann, und zwar ohne die Lösungsmenge zu ändern. Erlaubte Schritte sind vertauschen, eine Zeile mit einer Zahl $\neq 0$ multiplizieren, ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren.

Vermute zuerst

Das System $x + y = 1$ , $x + y = 2$ . Wie viele Lösungen?

Eine Gleichung = eine Ebene

u_x

= 0

u_y

= 2

u_z

= 0

v_x

= 0

v_y

= 0

v_z

= 2

s

= 0,5

t

= 0,5

$s$: 0,5
$t$: 0,5
$|\vec{n}|$: 4
$X$: (1 | 1 | 1)

$X = A + s\vec{u} + t\vec{v}$ läuft in der Ebene. $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ steht senkrecht darauf. Werden $\vec{u}$ und $\vec{v}$ parallel, klappt das Parallelogramm zusammen — dann spannen sie keine Ebene auf.

Gauß ändert nicht diese Geometrie, nur die Beschreibung: Dieselben Ebenen, bequemere Gleichungen.

Probier es aus

Das Beispiel ist (bis auf Parallelverschiebung) $x = 1$ : eine Ebene senkrecht zur $x$ -Achse. Jede lineare Gleichung sieht so aus, nur gekippt.
Zwei solche Ebenen: ihre Schnittgerade sind die gemeinsamen $(s,t)$ -Paare beider Gleichungen — ein linearer Zwang weniger, ein Parameter mehr.
Drei Ebenen: typisch ein Punkt. Sind zwei parallel und verschieden, bleibt die Menge leer, egal was die dritte tut.

Definition

Gauß-Algorithmus

Ein lineares Gleichungssystem hat die Form $A\vec{x} = \vec{b}$ mit einer Matrix $A$ aus den Koeffizienten.

Elementare Zeilenumformungen (ändern die Lösungsmenge nicht):

1. zwei Zeilen tauschen,
2. eine Zeile mit $k \neq 0$ multiplizieren,
3. das $k$ -fache einer Zeile zu einer anderen addieren.

Ziel ist eine Stufenform: unter den ersten Einsen (Pivotstellen) stehen Nullen. Danach setzt man von unten nach oben ein (Rückwärtseinsetzen).

Fehlt in einer Spalte ein Pivot, ist die zugehörige Variable frei. Eine Zeile $0 = 1$ heißt: keine Lösung.

Schritt für Schritt

$x + y + z = 6$ , $2x + y = 5$ , $x + 2z = 5$

Zeilen $Z_1, Z_2, Z_3$ .

$Z_2 \leftarrow Z_2 - 2 Z_1$ ergibt $-y - 2z = -7$ . $Z_3 \leftarrow Z_3 - Z_1$ ergibt $-y + z = -1$ .

Schritt 1 von 3

Beispiel

Freie Variable

$x + y = 1$ in drei Unbekannten: $z$ kommt nicht vor. Lösungen: $(1-t,\, t,\, s)$ mit freien $t,s$ . Eine Ebene im Raum (eine Gleichung).

\vec{x} = (1,0,0) + t(-1,1,0) + s(0,0,1)

Zwei freie Parameter, eine Ebene. Eine freie Variable wäre eine Gerade. Keine freie und kein Widerspruch: ein Punkt.

Kurz geprüft

Nach Gauß steht die letzte Zeile $0 = 0$ , und es gibt zwei Pivots in drei Unbekannten. Die Lösungsmenge ist

Häufige Fehler

Eine Zeile durch $0$ teilen oder falsch addieren

Pivot $0$ in der Spalte: tauschen, nicht durch $0$ dividieren. Zeile $2$ plus Zeile $1$ überschreibt Zeile $2$ — Zeile $1$ bleibt. Wer beide „vermischt und beide neu schreibt“, ändert die Menge.

Auch: Aus drei Gleichungen „die Lösung $(1,2,3)$ “ raten und nur in einer Zeile prüfen.

Richtig ist

Nur erlaubte Umformungen. Probe in allen Ausgangsgleichungen.

Zusammenfassung

Jedes lineare System: eindeutig, unendlich oder leer. Geometrie: Ebenen schneiden sich oder nicht.
Gauß: tauschen, skalieren $\neq 0$ , Vielfaches addieren. Stufenform, dann rückwärts.
Pivots = gebundene Variable. Rest = freie Parameter. $0=1$ = leer.
Probe in den ursprünglichen Zeilen.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

$x + y = 1$ , $2x + 2y = 2$ hat

Aufgabe 2Numerisch

Löse $x + y = 5$ , $x - y = 1$ . Der Wert von $x$ ist

Aufgabe 3Multiple Choice

Die Umformung „Zeile 1 durch $0$ teilen, um ein Pivot zu erzeugen“ ist

Aufgabe 4Freitext

Drei Ebenen im Raum können leer schneiden, obwohl je zwei sich in einer Geraden treffen. Skizziere die Idee in Worten.