Lektion 11.4

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

30 min Lesezeit

Ein medizinischer Schnelltest zeigt bei dir ein positives Ergebnis an. Wie wahrscheinlich bist du tatsächlich krank? Viele Menschen antworten mit der Trefferquote des Tests, etwa $90\,\%$ . Das ist aber eine andere Frage. Die Trefferquote sagt: Wenn jemand krank ist, wie oft erkennt der Test das? Die Frage nach deiner Situation lautet dagegen: Wenn der Test positiv ist, wie oft ist die Person krank?

Beide Fragen haben die Form „Wie wahrscheinlich ist $A$ , wenn ich schon weiß, dass $B$ eingetreten ist?". Das ist die bedingte Wahrscheinlichkeit. Sie ist eines der wichtigsten Werkzeuge der Stochastik, weil du in der Praxis fast immer zusätzliches Wissen hast.

Definition

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Seien $A$ und $B$ Ereignisse mit $P(B) > 0$ . Die bedingte Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ eintritt, wenn man schon weiß, dass $B$ eingetreten ist. Man schreibt $P(A \mid B)$ , gesprochen „ $P$ von $A$ unter $B$ ".

Du schränkst den Blick auf die Fälle ein, in denen $B$ eintritt, und fragst, welcher Anteil davon auch zu $A$ gehört. Aus der Definition folgt die allgemeine Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten, ist die Wahrscheinlichkeit von $B$ mal die bedingte Wahrscheinlichkeit von $A$ unter $B$ . Das ist genau die erste Pfadregel im Baumdiagramm.

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \qquad P(A \cap B) = P(B)\cdot P(A \mid B)

Beispiel

Vierfeldertafel zum Schnelltest

Wir stellen uns $1000$ Personen vor. Davon sind $20$ krank ( $2\,\%$ ). Der Test erkennt $90\,\%$ der Kranken, also $18$ von $20$ . Bei den $980$ Gesunden zeigt er fälschlich bei $5\,\%$ ein positives Ergebnis, das sind $49$ Personen. Diese Zahlen trägst du in eine Vierfeldertafel ein, die Häufigkeiten nach beiden Merkmalen sortiert:

krank und positiv: $18$ , krank und negativ: $2$ (Summe $20$ )
gesund und positiv: $49$ , gesund und negativ: $931$ (Summe $980$ )
positiv insgesamt: $18 + 49 = 67$ , negativ insgesamt: $933$

P(\text{krank} \mid \text{positiv}) = \frac{18}{67} \approx 0{,}269

Obwohl der Test $90\,\%$ der Kranken findet, sind nur etwa $27\,\%$ der positiv Getesteten wirklich krank. Der Grund: Die Krankheit ist selten, deshalb stammen die meisten positiven Ergebnisse von den vielen Gesunden. Mit Anzahlen statt Prozenten sieht man das sofort.

Satz

Satz von Bayes

Wenn du $P(B \mid A)$ kennst, aber $P(A \mid B)$ suchst, kannst du die Bedingung umkehren. Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit im Nenner gilt:

Im Beispiel: $P(\text{krank}) = 0{,}02$ , $P(\text{pos} \mid \text{krank}) = 0{,}9$ , $P(\text{pos} \mid \text{gesund}) = 0{,}05$ . Dann ist der Zähler $0{,}9 \cdot 0{,}02 = 0{,}018$ und der Nenner $0{,}018 + 0{,}05 \cdot 0{,}98 = 0{,}018 + 0{,}049 = 0{,}067$ . Das Ergebnis ist wieder $\frac{0{,}018}{0{,}067} \approx 0{,}269$ .

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B \mid A)\,P(A) + P(B \mid \overline{A})\,P(\overline{A})}

Definition

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse $A$ und $B$ heißen stochastisch unabhängig, wenn das Wissen über $B$ die Wahrscheinlichkeit von $A$ nicht verändert, also $P(A \mid B) = P(A)$ . Gleichwertig, und bequemer zu prüfen:

Beispiel: Zwei Münzwürfe sind unabhängig, denn die erste Münze weiß nichts von der zweiten. Beim Ziehen ohne Zurücklegen sind aufeinanderfolgende Züge dagegen abhängig.

P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B)

Zusammenfassung

$P(A \mid B) = P(A \cap B) / P(B)$ : die Wahrscheinlichkeit von $A$ , wenn $B$ schon feststeht.
Produktregel: $P(A \cap B) = P(B)\cdot P(A \mid B)$ ; sie ist die Pfadregel im Baumdiagramm.
Mit einer Vierfeldertafel (Anzahlen statt Prozent) kannst du bedingte Wahrscheinlichkeiten sicher ablesen.
Satz von Bayes kehrt die Bedingung um und erklärt, warum selten auftretende Ereignisse auch bei guten Tests viele Fehlalarme erzeugen.
Unabhängigkeit: $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ .

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Wie groß ist im Schnelltest-Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person tatsächlich krank ist? Gib einen Dezimalwert mit drei Stellen an.

Aufgabe 2Multiple Choice

Ein Würfel wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs, wenn man weiß, dass die Augenzahl gerade ist?

Aufgabe 3Numerisch

Die Ereignisse $A$ und $B$ sind unabhängig mit $P(A) = 0{,}5$ und $P(B) = 0{,}4$ . Berechne $P(A \cap B)$ .

Aufgabe 4Freitext

Beim Würfeln sei $A$ das Ereignis „gerade Zahl" und $B$ das Ereignis „Zahl höchstens $2$ ". Prüfe, ob $A$ und $B$ unabhängig sind.