Lektion 11.1

Lage- und Streumaße einer Stichprobe

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

arithmetisches Mittel als Balancepunkt einer Punktwolke deuten,
Median und Mittel unterscheiden, besonders bei Ausreißern,
Varianz und Standardabweichung als mittlere quadratische Abweichung vom Mittel lesen,
eine Stichprobe von einer Zufallsgröße mit Erwartungswert trennen.

Zehn Klausuren, Punkte: $8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 40$ . Das Mittel zieht der $40$ kräftig nach oben. Der Median — der Wert in der Mitte der sortierten Liste — bleibt bei $10$ und beschreibt „die typische Klausur“ besser.

Beide Zahlen sind Lagemaße: Wo sitzt die Wolke? Wie weit sie auseinanderliegt, sagen Streumaße. Die Standardabweichung ist groß, sobald Ausreißer weit vom Mittel wegstehen — weil quadriert wird, zählen große Abweichungen überproportional.

Vermute zuerst

Drei Werte $0$ , $0$ , $12$ . Was ist das arithmetische Mittel, was der Median?

Balancepunkt: der Erwartungswert als Mittel mit Gewichten

P(X = 0)

= 0,125

P(X = 1)

= 0,375

P(X = 2)

= 0,375

P(X = 3)

= 0,125

$E(X) = \mu$: 1,5
$V(X)$: 0,75
$\sigma = \sqrt{V(X)}$: 0,866

Jeder Wert zählt so stark, wie wahrscheinlich er ist: $E(X) = 0 \cdot 0{,}125 + 1 \cdot 0{,}375 + 2 \cdot 0{,}375 + 3 \cdot 0{,}125 = 1{,}5$ . Das Dreieck steht genau dort, wo die Säulen im Gleichgewicht wären. Der Streifen unter der Achse reicht eine Standardabweichung $\sigma \approx 0{,}87$ nach beiden Seiten.

Stichprobenmittel und Erwartungswert sind dieselbe Idee: Balancepunkt. Einmal aus Daten, einmal aus einem Modell.

Probier es aus

Die Balken sind relative Häufigkeiten (bzw. Wahrscheinlichkeiten). Der Dreiecksmarker unter der Achse ist der Balancepunkt — das Mittel, gewichtet mit den Balkenhöhen.
Zieh Gewicht von der $0$ auf die $3$ . Der Balancepunkt wandert nach rechts, die Streuungsbreite ändert sich.
Bei einer Stichprobe sind die Gewichte die Anzahlen: zehnmal die $2$ zählt wie Gewicht $10$ an der Stelle $2$ .
Die markierte Breite um den Mittelwert ist eine Standardabweichung nach jeder Seite. Werden die Massen außen größer, wird das Band breiter.

Definition

Mittel, Median, Varianz

Stichprobe $x_1,\ldots,x_n$ .

Arithmetisches Mittel: $\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ .
Median: nach dem Sortieren der mittlere Wert (bei geradem $n$ das Mittel der zwei zentralen).
Empirische Varianz (hier mit $n$ im Nenner, die „Bevölkerung“ in der Stichprobe): $s^2 = \dfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2$ .
Standardabweichung: $s = \sqrt{s^2}$ , dieselbe Einheit wie die Daten.

In manchen Formelsammlungen steht $n-1$ im Nenner (unverzerrte Schätzung). In der Oberstufe muss die Aufgabe sagen, welche Variante gemeint ist. Die Idee bleibt: mittlere quadratische Abweichung vom Mittel.

Das Mittel minimiert die Summe der Quadratabweichungen. Der Median minimiert die Summe der Betragsabweichungen.

Schritt für Schritt

Mittel und Streuung von $2, 4, 6$

Drei Werte, übersichtlich.

Mittel $\bar{x} = (2+4+6)/3 = 4$ . Median ebenfalls $4$ .

Schritt 1 von 3

Beispiel

Ausreißer

$1,2,3,4,100$ . Mittel $22$ , Median $3$ . Die Standardabweichung ist groß wegen $100-22$ .

\bar{x} = 22, \quad \tilde{x} = 3

Wer „das typische Einkommen“ beschreibt, nimmt oft den Median. Wer Gesamtmenge und Durchschnitt braucht (Steuer, Verbrauch), das Mittel.

Kurz geprüft

Warum ist die Varianz von $1,3$ dieselbe wie die von $101,103$ ?

Häufige Fehler

Mittel der Abweichungen ohne Quadrat

$\frac1n \sum (x_i-\bar{x})$ ist immer $0$ , das ist die Definition des Mittels. Wer das als Streuung ausgibt, misst nichts.

Auch: Median bei geradem $n$ vergessen (zwei mittlere Werte). Und Stichprobe mit Grundgesamtheit verwechseln: $\bar{x}$ ist eine Zahl aus Daten, $E(X)$ eine Zahl aus einem Modell.

Richtig ist

Streuung: Quadrate oder Beträge. Lage: Mittel oder Median, je nach Frage.

Zusammenfassung

Mittel: Balancepunkt, nutzt alle Werte. Median: Mitte der sortierten Liste, robust gegen Ausreißer.
Varianz: mittlere quadratische Abweichung. Standardabweichung: Wurzel, gleiche Einheit.
Nenner $n$ oder $n-1$ : der Aufgabentext entscheidet.
Verschieben ändert die Lage, nicht die Streuung. Strecken ändert beides.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Arithmetisches Mittel von $2, 4, 6, 8$ .

Aufgabe 2Numerisch

Median von $1, 2, 100$ .

Aufgabe 3Multiple Choice

Ein einzelner sehr großer Ausreißer

Aufgabe 4Freitext

Warum kann die Summe der Abweichungen vom Mittel keine Streuung messen?