Lektion 11.3

Wahrscheinlichkeit: Ergebnisse, Ereignisse und Pfadregeln

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Bei einem Würfelwurf weißt du vorher nicht, welche Zahl fällt. Trotzdem ist nicht alles gleich unklar: Dass eine Sieben fällt, ist unmöglich, und dass irgendeine Zahl von eins bis sechs fällt, ist sicher. Die Stochastik macht das Dazwischen messbar. Sie ordnet jedem möglichen Ausgang eine Zahl zwischen $0$ und $1$ zu, die Wahrscheinlichkeit. Je näher an $1$ , desto eher erwartest du den Ausgang.

Ein wichtiger Grund für diese Zahlen: Wiederholst du ein Zufallsexperiment sehr oft, nähert sich die relative Häufigkeit eines Ausgangs seiner Wahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeiten lassen sich also im Großen überprüfen, auch wenn der einzelne Versuch unvorhersehbar bleibt.

Definition

Ergebnisraum, Ergebnis und Ereignis

Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang mit mehreren möglichen Ausgängen, dessen Ergebnis vom Zufall abhängt.

Jeder mögliche Ausgang heißt Ergebnis.
Die Menge aller Ergebnisse heißt Ergebnisraum $\Omega$ (großes Omega).
Eine Teilmenge von $\Omega$ heißt Ereignis. Es tritt ein, wenn das Ergebnis in dieser Teilmenge liegt.

Beim Würfel ist $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Das Ereignis „gerade Zahl" ist $A = \{2, 4, 6\}$ . Das Gegenereignis $\overline{A}$ enthält alle Ergebnisse, die nicht in $A$ liegen, hier $\{1, 3, 5\}$ .

\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}, \qquad A = \{2,4,6\}, \qquad \overline{A} = \{1,3,5\}

Definition

Wahrscheinlichkeit und Laplace-Experiment

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet jedem Ergebnis eine Zahl $P(\omega)$ mit $0 \le P(\omega) \le 1$ zu, und alle Zahlen zusammen ergeben $1$ . Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse.

Ein Laplace-Experiment liegt vor, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (fairer Würfel, faire Münze). Dann gilt die einfache Zählregel:

Daraus folgen drei Rechenregeln für beliebige Ereignisse: $P(\Omega) = 1$ , $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ und der Additionssatz $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . Die Schnittmenge muss abgezogen werden, weil sie sonst doppelt gezählt wird.

P(A) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}} = \frac{|A|}{|\Omega|}

Beispiel

Zwei Würfel: Augensumme 7

Beim Wurf mit zwei unterscheidbaren Würfeln gibt es $6 \cdot 6 = 36$ gleich wahrscheinliche Ergebnisse $(a, b)$ . Die Summe $7$ erhalten wir bei $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ , das sind $6$ Ergebnisse.

P(\text{Summe } 7) = \frac{6}{36} = \frac16

Die Sieben ist die häufigste Augensumme, weil sie die meisten Zerlegungen hat. Für die Summe $2$ gibt es nur $(1,1)$ , also $\frac{1}{36}$ .

Definition

Baumdiagramm und Pfadregeln

Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten zeichnet man ein Baumdiagramm: Jede Stufe ist ein Experiment, jeder Ast trägt die Wahrscheinlichkeit des Ausgangs, jeder Weg von der Wurzel bis zu einem Ende heißt Pfad.

Erste Pfadregel (Produktregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang der Äste.
Zweite Pfadregel (Summenregel): Besteht ein Ereignis aus mehreren Pfaden, addierst du deren Wahrscheinlichkeiten.

Wird nach jedem Zug nicht zurückgelegt (Ziehen ohne Zurücklegen), ändern sich die Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe, weil weniger Kugeln im Gefäß sind.

P(\text{Pfad}) = p_1 \cdot p_2 \cdots p_k, \qquad P(E) = \sum_{\text{Pfade in } E} P(\text{Pfad})

Beispiel

Urne ohne Zurücklegen

In einer Urne liegen $3$ rote und $2$ blaue Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen. Wie wahrscheinlich sind zwei rote?

Im ersten Zug ist die Wahrscheinlichkeit für Rot $\frac35$ . Dann liegen noch $2$ rote und $2$ blaue, also $4$ Kugeln, in der Urne.

P(\text{rot, rot}) = \frac35 \cdot \frac24 = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}

Mit Zurücklegen wäre es $\frac35\cdot\frac35 = \frac{9}{25} = 0{,}36$ . Ohne Zurücklegen ist die Wahrscheinlichkeit geringer ( $0{,}3$ ), weil nach einer roten Kugel weniger rote übrig sind.

Zusammenfassung

Der Ergebnisraum $\Omega$ enthält alle Ergebnisse; ein Ereignis ist eine Teilmenge davon.
Laplace-Experiment: $P(A) = |A| / |\Omega|$ , wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.
Gegenereignis: $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ . Additionssatz: $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ .
Pfadregeln: Entlang eines Pfades multiplizieren, über mehrere Pfade addieren.
Bei „mindestens einmal" lohnt sich der Weg über das Gegenereignis.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Zwei faire Würfel werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist die Augensumme $8$ ? (Als Dezimalzahl auf vier Stellen.)

Aufgabe 2Numerisch

Wie wahrscheinlich ist es, bei drei Würfen mit einem fairen Würfel mindestens eine Sechs zu werfen?

Aufgabe 3Multiple Choice

Aus einer Urne mit $4$ roten und $6$ blauen Kugeln werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen?

Aufgabe 4Freitext

Für zwei Ereignisse gilt $P(A) = 0{,}5$ , $P(B) = 0{,}4$ und $P(A \cap B) = 0{,}2$ . Berechne $P(A \cup B)$ und $P(\overline{A \cup B})$ und erkläre, warum man $P(A \cap B)$ abziehen muss.