Lektion 11.5

Totale Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen, das auf mehreren Wegen eintreten kann (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit)
eine bedingte Wahrscheinlichkeit „umdrehen“: aus $P_A(B)$ die Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ bestimmen
mit Baumdiagramm, umgekehrtem Baum und Vierfeldertafel sicher zwischen beiden Richtungen wechseln
erklären, warum ein guter Test bei einer seltenen Krankheit trotzdem viele falsche Alarme liefert

Zwei Werke, ein Lager. Ein Hersteller bezieht dasselbe Bauteil aus zwei Werken. Werk 1 liefert $60\,\%$ aller Teile, davon sind $3\,\%$ defekt. Werk 2 liefert die übrigen $40\,\%$ , dort sind $5\,\%$ defekt. Im Lager liegen die Teile gemischt.

Zwei Fragen liegen nahe, und sie gehen in entgegengesetzte Richtungen:

1. Vorwärts: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gegriffenes Teil defekt ist? Ein defektes Teil kann auf zwei Wegen entstehen, in Werk 1 oder in Werk 2. Man muss die Wege zusammenrechnen.
2. Rückwärts: Ein Teil ist defekt. Wie wahrscheinlich stammt es aus Werk 1? Jetzt kennt man das Ergebnis und fragt nach der Ursache.

Die erste Frage beantwortet der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit, die zweite der Satz von Bayes. Beide folgen direkt aus den Pfadregeln, die du schon kennst.

Vermute zuerst

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gegriffenes Teil defekt ist?

Das Baumdiagramm der Lieferung

P(W)

= 0,6

P_{W}(D)

= 0,03

P_{\overline{W}}(D)

= 0,05

$P(D)$: 0,038
$P_{D}(W)$: 0,4737
$P(W \cap D)$: 0,018

W: Teil aus Werk 1D: Teil defekt

Zweite Pfadregel: Zu $D$ führen zwei Pfade, ihre Wahrscheinlichkeiten werden addiert. $P(D) = 0{,}018 + 0{,}02 = 0{,}038$ . Tipp auf ein Blatt, um seinen Pfad zu verfolgen.

Beide Bäume haben dieselben vier Blätter mit denselben Wahrscheinlichkeiten. Der umgedrehte Baum ordnet sie nur anders, zuerst nach dem Ergebnis, dann nach der Ursache.

Probier es aus

Klick auf das Blatt $W \cap D$ (aus Werk 1 und defekt). Welche Wahrscheinlichkeit hat dieser Pfad?
Klick auf $\overline{W} \cap D$ . Welche beiden Pfade führen zu einem defekten Teil, und was ergibt ihre Summe?
Dreh den Baum um. Jetzt steht zuerst „defekt oder nicht“, dann das Werk. Lies $P_D(W)$ ab: Wie wahrscheinlich stammt ein defektes Teil aus Werk 1?
Stell $P_W(D)$ und $P_{\overline{W}}(D)$ auf denselben Wert. Was wird dann aus $P_D(W)$ ?

Satz

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Die Ereignisse $A_1, A_2, \ldots, A_n$ sollen den Ergebnisraum zerlegen: Sie schließen sich paarweise aus, und eines von ihnen tritt immer ein. (Im Beispiel: „Werk 1“ und „Werk 2“.) Dann gilt für jedes Ereignis $B$ :

P(B) = P(A_1) \cdot P_{A_1}(B) + P(A_2) \cdot P_{A_2}(B) + \ldots + P(A_n) \cdot P_{A_n}(B)

Schritt für Schritt

Drei Maschinen

Eine Firma fertigt Schrauben auf drei Maschinen. Maschine $M_1$ stellt $50\,\%$ her, $M_2$ $30\,\%$ und $M_3$ $20\,\%$ . Die Ausschussquoten sind $1\,\%$ , $2\,\%$ und $4\,\%$ . Wie groß ist der Ausschussanteil insgesamt?

Prüfen, dass die drei Maschinen eine Zerlegung bilden:
$0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1$

Schritt 1 von 3

Kurz geprüft

Ein Bus ist bei Regen mit Wahrscheinlichkeit $0{,}3$ verspätet, sonst mit Wahrscheinlichkeit $0{,}1$ . An $40\,\%$ der Tage regnet es. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Bus an einem zufälligen Tag verspätet ist?

Die Frage umdrehen. Jetzt die Rückwärtsfrage: Ein Teil ist defekt. Wie wahrscheinlich kommt es aus Werk 1? Gesucht ist $P_D(W)$ . Bekannt ist aber nur die andere Richtung, $P_W(D) = 0{,}03$ . Diese beiden Zahlen werden oft verwechselt, sie haben aber ganz verschiedene Bedeutungen: $P_W(D)$ fragt, welcher Anteil der Teile aus Werk 1 defekt ist. $P_D(W)$ fragt, welcher Anteil der defekten Teile aus Werk 1 stammt.

Mit den $1000$ Teilen ist die Antwort schnell gefunden: Von den $38$ defekten Teilen kommen $18$ aus Werk 1. Also ist $P_D(W) = \frac{18}{38} \approx 47\,\%$ . Obwohl Werk 1 das bessere Werk ist, stammt fast die Hälfte der defekten Teile von dort, weil es so viel mehr liefert.

Satz

Satz von Bayes

Für Ereignisse $A$ und $B$ mit $P(A) > 0$ und $P(B) > 0$ gilt

P_B(A) = \frac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(A) \cdot P_A(B) + P(\overline{A}) \cdot P_{\overline{A}}(B)}

Schritt für Schritt

Aus welchem Werk kommt das defekte Teil?

Zähler: der Pfad „Werk 1 und defekt“:
$P(W) \cdot P_W(D) = 0{,}6 \cdot 0{,}03 = 0{,}018$

Schritt 1 von 3

Vermute zuerst

Eine Krankheit hat $1\,\%$ der Bevölkerung. Ein Test erkennt $90\,\%$ der Kranken und gibt bei $91\,\%$ der Gesunden korrekt Entwarnung, bei $9\,\%$ der Gesunden also falschen Alarm. Jemand wird positiv getestet. Wie wahrscheinlich ist die Person krank?

1000 Menschen werden getestet

krank, Test positiv
krank, Test negativ
gesund, Test positiv
gesund, Test negativ

\text{Anteil } P(K)

= 1 %

P_K(T)

= 90 %

P_{\overline{K}}(\overline{T})

= 91 %

$\text{positive Tests}$: 98
$\text{davon wirklich krank}$: 9
$P_T(K)$: 9,2 %

Vierfeldertafel mit 1000 Personen
	Test positiv	Test negativ	Summe
krank	9	1	10
gesund	89	901	990
Summe	98	902	1000

Von 1000 Personen sind 10 krank. Der Test erkennt 9 davon, schlägt aber auch bei 89 Gesunden an. Was schätzt du: Wie viele der positiv Getesteten sind wirklich krank? Wähle „Nur positive Tests“.

Jeder Punkt ist ein Mensch. Die Tabelle unter dem Bild enthält dieselben Anzahlen als Vierfeldertafel.

Probier es aus

Wähle „Nur positive Tests“. Zähle grob: Wie viele der hervorgehobenen Punkte gehören zu Kranken?
Erhöhe die Sensitivität auf $99\,\%$ . Ändert sich der Anteil der Kranken unter den Positiven stark?
Setze die Sensitivität zurück und erhöhe stattdessen die Spezifität auf $99\,\%$ . Was bewirkt das?
Stell die Prävalenz auf $20\,\%$ , wie in einer Gruppe mit typischen Beschwerden. Wie aussagekräftig ist ein positiver Test jetzt?

Definition

Begriffe beim Testen

Bei medizinischen Tests (und ebenso bei Spamfiltern, Rauchmeldern oder Kontrollen am Flughafen) haben die Wahrscheinlichkeiten eigene Namen. $K$ ist „krank“, $T$ ist „Test positiv“.

Prävalenz $P(K)$ : der Anteil der Kranken in der untersuchten Gruppe, bevor getestet wird. In der Sprache von Bayes ist das die A-priori-Wahrscheinlichkeit.
Sensitivität $P_K(T)$ : der Anteil der Kranken, die der Test erkennt.
Spezifität $P_{\overline{K}}(\overline{T})$ : der Anteil der Gesunden, bei denen der Test korrekt negativ ist. $1 -$ Spezifität ist die Rate der falschen Alarme.
Positiver Vorhersagewert $P_T(K)$ : der Anteil der Kranken unter den positiv Getesteten. Er ist die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit nach dem Test. Für die getestete Person ist er die wichtigste Zahl.

Sensitivität und Spezifität sind Eigenschaften des Tests. Der Vorhersagewert hängt zusätzlich stark von der Prävalenz ab: Derselbe Test sagt in einer Gruppe mit vielen Kranken viel mehr aus als bei einer Reihenuntersuchung der ganzen Bevölkerung.

Kurz geprüft

Berechne mit dem Satz von Bayes den positiven Vorhersagewert für Prävalenz $1\,\%$ , Sensitivität $90\,\%$ und Spezifität $91\,\%$ . Gib das Ergebnis als Dezimalzahl auf drei Stellen an.

Beispiel

Ein zweiter Test

Wer positiv getestet wurde, wird meist ein zweites Mal getestet. Wir nehmen an, der zweite Test hat dieselben Eigenschaften und fällt unabhängig vom ersten aus. Für den zweiten Test ist die Lage aber eine andere: Die Person gehört jetzt zur Gruppe der positiv Getesteten, in der etwa $9{,}2\,\%$ krank sind. Diese Zahl ist die neue Prävalenz.

P = \frac{0{,}092 \cdot 0{,}9}{0{,}092 \cdot 0{,}9 + 0{,}908 \cdot 0{,}09} = \frac{0{,}0828}{0{,}0828 + 0{,}0817} \approx 0{,}50

Nach zwei positiven Tests liegt die Wahrscheinlichkeit bei etwa $50\,\%$ , nach einem dritten bei etwa $91\,\%$ . So arbeitet der Satz von Bayes im Alltag: Jede neue Beobachtung macht aus der A-posteriori-Wahrscheinlichkeit die A-priori-Wahrscheinlichkeit für die nächste Beobachtung.

Häufige Fehler

$P_A(B)$ und $P_B(A)$ verwechseln

Weil der Test $90\,\%$ der Kranken erkennt, sei ein positiv Getesteter zu $90\,\%$ krank.

Richtig ist

Das sind zwei verschiedene Anteile mit verschiedenen Bezugsgruppen. $P_K(T)$ bezieht sich auf alle Kranken, $P_T(K)$ auf alle positiv Getesteten. Vor Gericht heißt dieser Fehler „Trugschluss des Anklägers“: Aus „Ein Unschuldiger hätte diese Spur nur mit Wahrscheinlichkeit $0{,}1\,\%$ “ folgt nicht „Der Angeklagte ist mit $99{,}9\,\%$ schuldig“.

Häufige Fehler

Die Grundrate übersehen

Man rechnet nur mit Sensitivität und Spezifität und lässt die Prävalenz weg.

Richtig ist

Ohne $P(A)$ kann man $P_B(A)$ nicht berechnen. Ist $A$ selten, entstehen die meisten Fälle von $B$ auf dem anderen Weg, über $\overline{A}$ , selbst wenn dieser Weg für jeden Einzelnen unwahrscheinlich ist.

Häufige Fehler

Im Nenner einen Pfad vergessen

Man rechnet $P_T(K) = \frac{P(K) \cdot P_K(T)}{P_K(T)}$ oder lässt im Nenner den Pfad der falschen Alarme weg.

Richtig ist

Im Nenner steht $P(T)$ , die Wahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis auf allen Wegen. Im Baum sind das alle Blätter, die zu $T$ gehören.

Zusammenfassung

Totale Wahrscheinlichkeit: Kann $B$ auf mehreren Wegen eintreten, so multipliziert man entlang jedes Weges und addiert: $P(B) = P(A) \cdot P_A(B) + P(\overline{A}) \cdot P_{\overline{A}}(B)$ .
Satz von Bayes: $P_B(A) = \frac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(B)}$ . Er kehrt die Richtung der Bedingung um.
Im Baumdiagramm ist Bayes das Umdrehen des Baums: Dieselben Blätter werden zuerst nach $B$ und dann nach $A$ sortiert.
Der Vorhersagewert eines Tests hängt stark von der Prävalenz ab. Bei seltenen Ereignissen überwiegen die falschen Alarme.
Natürliche Häufigkeiten in einer Vierfeldertafel machen Bayes-Aufgaben übersichtlich.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

In einer Klasse kommen $70\,\%$ mit dem Bus und $30\,\%$ mit dem Fahrrad. Von den Busfahrern kommen $10\,\%$ zu spät, von den Radfahrern $5\,\%$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Kind zu spät kommt?

Aufgabe 2Numerisch

Ein Kind aus Aufgabe 1 kommt zu spät. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es mit dem Bus gekommen? Gib drei Nachkommastellen an.

Aufgabe 3Numerisch

Für die drei Maschinen aus der Lektion ( $50\,\%$ , $30\,\%$ , $20\,\%$ mit $1\,\%$ , $2\,\%$ , $4\,\%$ Ausschuss): Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt eine defekte Schraube von $M_3$ ? Gib drei Nachkommastellen an.

Aufgabe 4Multiple Choice

Ein Test hat die Sensitivität $99\,\%$ und die Spezifität $99\,\%$ . Er wird einmal in einer Gruppe mit Prävalenz $0{,}1\,\%$ eingesetzt und einmal in einer Gruppe mit Prävalenz $10\,\%$ . Welche Aussage stimmt?

Aufgabe 5Numerisch

Ein Spamfilter markiert $95\,\%$ aller Spam-Mails, aber auch $2\,\%$ der normalen Mails. $30\,\%$ aller Mails sind Spam. Wie groß ist der Anteil an Spam unter den markierten Mails? Gib drei Nachkommastellen an.

Aufgabe 6Numerisch

Im Test aus der Lektion (Prävalenz $1\,\%$ , Sensitivität $90\,\%$ , Spezifität $91\,\%$ ): Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, krank zu sein, wenn der Test negativ ist? Gib vier Nachkommastellen an.

Aufgabe 7Freitext

Erkläre ohne Formeln, nur mit einer Vorstellung von $10\,000$ Menschen, warum ein positiver Test auf eine sehr seltene Krankheit (Prävalenz $0{,}1\,\%$ ) auch dann wenig aussagt, wenn der Test $99\,\%$ der Kranken erkennt und nur $1\,\%$ falschen Alarm gibt. Was folgt daraus für Reihenuntersuchungen?

Drei Maschinen

Aus welchem Werk kommt das defekte Teil?

Ein zweiter Test

PA(B)P_A(B)PA​(B) und PB(A)P_B(A)PB​(A) verwechseln

Die Grundrate übersehen

Im Nenner einen Pfad vergessen

Zusammenfassung

Übungen

$P_A(B)$ und $P_B(A)$ verwechseln