Lektion 2.1

Von der Sekante zur Tangente: die Ableitung

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

die mittlere Änderungsrate einer Funktion berechnen und als Steigung einer Sekante deuten,
erklären, warum man für die Steigung in einem einzigen Punkt einen Grenzwert braucht,
die Ableitung $f'(x_0)$ mit der h-Methode bestimmen,
die Ableitungsfunktionen von $x^2$ und $x^3$ herleiten und eine Tangentengleichung aufstellen.

Ein Auto fährt von München nach Nürnberg, 170 km in zwei Stunden. Im Schnitt war es also 85 km/h schnell. Der Tacho hat während der Fahrt aber ganz andere Zahlen gezeigt: 50 in der Stadt, 130 auf der Autobahn, 0 im Stau. Er zeigt die Geschwindigkeit in einem Augenblick.

Hier steckt ein echtes Rätsel. Geschwindigkeit ist Weg geteilt durch Zeit. In einem einzigen Augenblick vergeht aber keine Zeit, und das Auto legt keinen Weg zurück. Rechnet man naiv „0 Meter durch 0 Sekunden“, kommt nichts Sinnvolles heraus. Trotzdem hat das Auto in jedem Moment eine ganz bestimmte Geschwindigkeit, der Tacho zeigt sie ja an.

Die Differentialrechnung löst dieses Rätsel. Die Idee: Man misst über immer kürzere Zeitspannen und schaut, welchem Wert sich die Ergebnisse nähern. In dieser Lektion gehst du diesen Weg selbst, zuerst mit Zahlen, dann im Bild, zuletzt allgemein mit Formeln.

Vermute zuerst

Ein Stein fällt von einer Brücke. Nach $t$ Sekunden ist er $s(t) = 5t^2$ Meter tief gefallen (Luftwiderstand vernachlässigt). Nach einer Sekunde ist er also $5$ m gefallen, nach zwei Sekunden $20$ m. Wie schnell ist der Stein genau im Zeitpunkt $t = 1$ ?

Definition

Mittlere Änderungsrate (Differenzenquotient)

Sei $f$ eine Funktion, und seien $x_0$ und $x_0 + h$ zwei Stellen mit $h \neq 0$ . Die mittlere Änderungsrate von $f$ zwischen diesen Stellen ist die Änderung der Funktionswerte geteilt durch die Änderung der $x$ -Werte:

Im Graphen ist das die Steigung der Geraden durch die Punkte $P(x_0 \mid f(x_0))$ und $Q(x_0 + h \mid f(x_0 + h))$ . Eine solche Gerade, die den Graphen in zwei Punkten schneidet, heißt Sekante. Der Bruch heißt auch Differenzenquotient, weil oben und unten eine Differenz steht.

m_S = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{(x_0 + h) - x_0} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Beispiel

Mittlere Änderungsrate beim fallenden Stein

Für $s(t) = 5t^2$ zwischen $t_0 = 1$ und $t_0 + h = 2$ , also $h = 1$ :

\frac{s(2) - s(1)}{2 - 1} = \frac{20 - 5}{1} = 15

Die Einheit verrät die Bedeutung: Meter geteilt durch Sekunden, also $15$ m/s. Eine mittlere Änderungsrate ist immer „so viel Änderung von $f$ pro Einheit von $x$ “. Bei einer Wegfunktion ist sie eine Durchschnittsgeschwindigkeit, bei einer Kostenfunktion „Euro pro Stück“, bei einer Temperaturkurve „Grad pro Stunde“.

Kurz geprüft

Berechne die mittlere Änderungsrate von $f(x) = x^2$ zwischen $x = 1$ und $x = 3$ .

Vom Bild her gedacht. Was die Tabelle mit Zahlen gezeigt hat, sieht man auch im Graphen. Der Punkt $P$ bleibt fest, der Punkt $Q$ rückt auf dem Graphen immer näher an $P$ heran. Die Sekante durch beide Punkte dreht sich dabei, bis sie in einer ganz bestimmten Lage zur Ruhe kommt: Sie schmiegt sich an den Graphen an und berührt ihn im Punkt $P$ . Diese Grenzlage heißt Tangente. Probier es selbst aus.

Von der Sekante zur Tangente bei

f(x) = x^2

h

= 1,5

$h$: 1,5
$\Delta y = f(x_0 + h) - f(x_0)$: 5,25
$m_S = \dfrac{\Delta y}{h}$: 3,5

Die Sekante durch P und Q hat die Steigung $3{,}5$ . Zieh Q näher an P heran oder halbiere $h$ und beobachte, wohin die Steigung strebt.

Das gestrichelte Dreieck ist das Steigungsdreieck: waagerecht der Schritt $h$ , senkrecht die Änderung $\Delta y$ . Ihr Verhältnis ist die Sekantensteigung.

Probier es aus

Zieh den Punkt $Q$ langsam auf $P$ zu. Wie dreht sich die Sekante?
Drück mehrmals auf „h halbieren“. Welchem Wert nähert sich die Sekantensteigung in der Tabelle?
Stell $h$ negativ ein, sodass $Q$ links von $P$ liegt. Nähert sich die Steigung demselben Wert?
Blende die Tangente ein. Ab welchem $h$ kannst du Sekante und Tangente kaum noch unterscheiden?

Definition

Ableitung und Tangente

Die Funktion $f$ heißt an der Stelle $x_0$ differenzierbar, wenn sich die Sekantensteigungen für $h \to 0$ einer festen Zahl nähern, und zwar von beiden Seiten ( $h > 0$ und $h < 0$ ). Diese Zahl heißt Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$ :

Gelesen: „ $f$ Strich von $x_0$ ist der Grenzwert für $h$ gegen null von ...“. Die Ableitung hat zwei Bedeutungen, die dasselbe sind:

geometrisch die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt $P(x_0 \mid f(x_0))$ ,
inhaltlich die momentane Änderungsrate von $f$ an der Stelle $x_0$ , beim fallenden Stein also die Geschwindigkeit im Zeitpunkt $t_0$ .

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Schritt für Schritt

Die h-Methode für $f(x) = x^2$ an einer beliebigen Stelle $x$

Wir rechnen nicht an einer festen Stelle, sondern gleich allgemein. Dann erhalten wir die Steigung an jeder Stelle auf einmal.

Differenzenquotient aufschreiben, $x_0$ heißt jetzt einfach $x$ :
$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{(x + h)^2 - x^2}{h}$

Schritt 1 von 5

Kurz geprüft

Bestimme mit der h-Methode die Ableitungsfunktion von $f(x) = x^2 + 3$ . Tipp: Was passiert mit der $3$ im Differenzenquotienten?

Schritt für Schritt

Dasselbe für $f(x) = x^3$

Die Rechnung läuft genauso, nur die Klammer ist aufwendiger.

Differenzenquotient:
$\frac{(x + h)^3 - x^3}{h}$

Schritt 1 von 4

Definition

Ableitungsfunktion

Ist $f$ an jeder Stelle eines Intervalls differenzierbar, ordnet man jeder Stelle $x$ die Steigung $f'(x)$ zu. So entsteht eine neue Funktion $f'$ , die Ableitungsfunktion von $f$ . Ihr Graph zeigt an jeder Stelle, wie steil der Graph von $f$ dort ist: über der $x$ -Achse, wo $f$ steigt, unter der $x$ -Achse, wo $f$ fällt, und auf der Achse, wo die Tangente waagerecht ist.

Der Graph von

f'

entsteht aus den Steigungen von

f

$x$: −2,2
$f(x)$: 4,84
$f'(x)$: −4,4

$f$ fällt an dieser Stelle, die Tangente hat die Steigung $-4{,}4$ . Deshalb liegt der Punkt von $f'$ unter der $x$ -Achse.

Probier es aus

Schieb den Punkt von links nach rechts über den ganzen Graphen. Unten bleibt eine Spur aus Punkten $(x \mid f'(x))$ stehen.
An welcher Stelle liegt der untere Punkt genau auf der $x$ -Achse? Was ist dort oben mit der Tangente?
Welche Form hat die Spur? Vergleiche mit der Formel $f'(x) = 2x$ und blende dann den ganzen Graphen von $f'$ ein.

Satz

Gleichung der Tangente

Ist $f$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar, so hat die Tangente an den Graphen im Punkt $P(x_0 \mid f(x_0))$ die Gleichung

t(x) = f'(x_0)\,(x - x_0) + f(x_0)

Beispiel

Tangente an $f(x) = x^3$ im Punkt mit $x_0 = 1$

Wir brauchen zwei Zahlen: den Funktionswert $f(1) = 1$ und die Steigung $f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$ . Eingesetzt in die Tangentengleichung:

t(x) = 3\,(x - 1) + 1 = 3x - 2

Probe: $t(1) = 3 - 2 = 1 = f(1)$ , die Tangente geht durch $P(1 \mid 1)$ . Nahe bei $x = 1$ ist die Tangente eine sehr gute Näherung für die Funktion: $f(1{,}1) = 1{,}331$ , die Tangente liefert $t(1{,}1) = 1{,}3$ .

Häufige Fehler

Funktionswert und Ableitung verwechseln

$f(x_0)$ sagt, wie hoch der Graph an der Stelle $x_0$ liegt. $f'(x_0)$ sagt, wie steil er dort ist. Bei $f(x) = x^2$ und $x_0 = 3$ ist $f(3) = 9$ , aber $f'(3) = 6$ . In der Tangentengleichung braucht man beide, an verschiedenen Stellen.

Richtig ist

Vor dem Einsetzen kurz fragen: Brauche ich hier eine Höhe (dann $f$ ) oder eine Steigung (dann $f'$ )?

Häufige Fehler

Zu früh $h = 0$ setzen

Wer im Differenzenquotienten $\frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$ sofort $h = 0$ einsetzt, erhält $\frac{0}{0}$ und kommt nicht weiter. Wer dagegen $(x+h)^2 = x^2 + h^2$ rechnet, erhält $\frac{h^2}{h} = h \to 0$ , also fälschlich überall die Steigung null.

Richtig ist

Erst die Klammer richtig ausmultiplizieren, dann vereinfachen und durch $h$ kürzen, und erst ganz am Ende $h \to 0$ .

Wo es keine Ableitung gibt. Nicht jede Funktion hat überall eine Tangente. Der Betrag $f(x) = |x|$ hat bei $x = 0$ einen Knick. Rechts davon ist der Graph eine Gerade mit Steigung $1$ , links davon eine Gerade mit Steigung $-1$ . Was passiert mit den Sekanten?

Ein Knick bei

f(x) = |x|

h

= 1

$h$: 1
$\Delta y = f(x_0 + h) - f(x_0)$: 1
$m_S = \dfrac{\Delta y}{h}$: 1

Die Sekante durch P und Q hat die Steigung $1$ . Zieh Q näher an P heran oder halbiere $h$ und beobachte, wohin die Steigung strebt.

Von rechts sind alle Sekantensteigungen $1$ , von links alle $-1$ . Es gibt keinen gemeinsamen Grenzwert, also ist $|x|$ bei $0$ nicht differenzierbar.

Probier es aus

Lass $Q$ von rechts an $P$ heranrücken. Welche Sekantensteigung siehst du?
Schieb $Q$ nun auf die linke Seite. Welche Steigung siehst du jetzt?
Gibt es eine Zahl, der sich die Steigungen von beiden Seiten nähern?

Zusammenfassung

Die mittlere Änderungsrate $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ ist die Steigung der Sekante durch zwei Punkte des Graphen.
Lässt man $h$ gegen null gehen, dreht sich die Sekante in die Tangente. Der Grenzwert der Sekantensteigungen ist die Ableitung $f'(x_0)$ , die momentane Änderungsrate.
h-Methode: Differenzenquotient aufschreiben, ausmultiplizieren, durch $h$ kürzen, erst dann $h \to 0$ .
Es gilt $(x^2)' = 2x$ und $(x^3)' = 3x^2$ . Eine Konstante als Summand ändert die Ableitung nicht.
Tangente in $P(x_0 \mid f(x_0))$ : $t(x) = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$ .
An einem Knick nähern sich die Sekantensteigungen von links und rechts verschiedenen Werten, dort gibt es keine Ableitung.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Berechne die mittlere Änderungsrate von $f(x) = x^3$ im Intervall $[0;\,2]$ .

Aufgabe 2Multiple Choice

Welche Aussage über die Ableitung $f'(x_0)$ ist richtig?

Aufgabe 3Term eingeben

Bestimme mit der h-Methode die Ableitungsfunktion von $f(x) = 3x^2$ .

Aufgabe 4Numerisch

Wie groß ist die Steigung des Graphen von $f(x) = x^2$ an der Stelle $x_0 = -2{,}5$ ?

Aufgabe 5Term eingeben

Stelle die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f(x) = x^2$ im Punkt $P(3 \mid 9)$ auf.

Aufgabe 6Numerisch

Der Stein von oben fällt $s(t) = 5t^2$ Meter in $t$ Sekunden. Wie schnell ist er (in m/s) im Zeitpunkt $t = 3$ ?

Aufgabe 7Freitext

Erkläre in eigenen Worten, warum $f(x) = |x|$ an der Stelle $0$ keine Ableitung hat, obwohl der Graph dort keine Lücke hat.

Lektion 2.1 · Ableitung und Funktionsuntersuchung

Von der Sekante zur Tangente: die Ableitung

Wir messen die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen $t = 1$ und einem etwas späteren Zeitpunkt $t = 1 + h$ und machen die Zeitspanne $h$ immer kürzer:

Zeitspanne $h$	Weg $s(1+h) - s(1)$	Durchschnitt
$1$ s	$20 - 5 = 15$ m	$15$ m/s
$0{,}1$ s	$6{,}05 - 5 = 1{,}05$ m	$10{,}5$ m/s
$0{,}01$ s	$5{,}1005 - 5 = 0{,}1005$ m	$10{,}05$ m/s
$0{,}001$ s	$0{,}010005$ m	$10{,}005$ m/s

Die Durchschnittswerte kommen der Zahl $10$ beliebig nahe. Diese Zahl nennen wir die Geschwindigkeit im Zeitpunkt $t = 1$ . Wir haben nie durch null geteilt, wir haben nur beobachtet, wohin die Werte streben.

Definition

Mittlere Änderungsrate (Differenzenquotient)

m_S = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{(x_0 + h) - x_0} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Beispiel

Mittlere Änderungsrate beim fallenden Stein

Für $s(t) = 5t^2$ zwischen $t_0 = 1$ und $t_0 + h = 2$ , also $h = 1$ :

\frac{s(2) - s(1)}{2 - 1} = \frac{20 - 5}{1} = 15

Definition

Ableitung und Tangente

Gelesen: „ $f$ Strich von $x_0$ ist der Grenzwert für $h$ gegen null von ...“. Die Ableitung hat zwei Bedeutungen, die dasselbe sind:

geometrisch die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt $P(x_0 \mid f(x_0))$ ,
inhaltlich die momentane Änderungsrate von $f$ an der Stelle $x_0$ , beim fallenden Stein also die Geschwindigkeit im Zeitpunkt $t_0$ .

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Schritt für Schritt

Die h-Methode für $f(x) = x^2$ an einer beliebigen Stelle $x$

Wir rechnen nicht an einer festen Stelle, sondern gleich allgemein. Dann erhalten wir die Steigung an jeder Stelle auf einmal.

Differenzenquotient aufschreiben, $x_0$ heißt jetzt einfach $x$ :
$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{(x + h)^2 - x^2}{h}$
Die Klammer mit der ersten binomischen Formel ausmultiplizieren:
$= \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$
$x^2$ und $-x^2$ heben sich auf:
$= \frac{2xh + h^2}{h}$
Im Zähler $h$ ausklammern und kürzen. Das ist erlaubt, weil $h \neq 0$ ist:
$= \frac{h\,(2x + h)}{h} = 2x + h$
Jetzt erst $h$ gegen null gehen lassen. Der Summand $h$ verschwindet:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$

Für $f(x) = x^2$ ist $f'(x) = 2x$ . An der Stelle $x = 1$ hat die Tangente also die Steigung $2$ , das passt zum Bild oben. Bei $x = 3$ ist die Steigung $6$ , bei $x = 0$ ist sie $0$ : Am Scheitel ist die Tangente waagerecht. Links vom Scheitel, etwa bei $x = -1$ , ist die Steigung $-2$ , der Graph fällt dort.

Schritt für Schritt

Dasselbe für $f(x) = x^3$

Die Rechnung läuft genauso, nur die Klammer ist aufwendiger.

Differenzenquotient:
$\frac{(x + h)^3 - x^3}{h}$
Die dritte Potenz ausmultiplizieren:
$(x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$
$x^3$ hebt sich weg, dann $h$ ausklammern und kürzen:
$\frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2$
Für $h \to 0$ verschwinden alle Summanden, die noch ein $h$ enthalten:
$f'(x) = 3x^2$

Für $f(x) = x^3$ ist $f'(x) = 3x^2$ . Erkennst du ein Muster mit $f(x) = x^2$ und $f'(x) = 2x$ ? Es führt zur Potenzregel in der nächsten Lektion.

Definition

Ableitungsfunktion

Satz

Gleichung der Tangente

Ist $f$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar, so hat die Tangente an den Graphen im Punkt $P(x_0 \mid f(x_0))$ die Gleichung

t(x) = f'(x_0)\,(x - x_0) + f(x_0)

Beweis

Die Tangente ist eine Gerade, also $t(x) = m x + b$ . Ihre Steigung ist nach Definition $m = f'(x_0)$ . Sie geht durch $P$ , also gilt $t(x_0) = f(x_0)$ , das heißt $m x_0 + b = f(x_0)$ und damit $b = f(x_0) - m x_0$ . Eingesetzt:

$t(x) = m x + f(x_0) - m x_0 = m (x - x_0) + f(x_0)$ mit $m = f'(x_0)$ .

q.e.d.

Beispiel

Tangente an $f(x) = x^3$ im Punkt mit $x_0 = 1$

Wir brauchen zwei Zahlen: den Funktionswert $f(1) = 1$ und die Steigung $f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$ . Eingesetzt in die Tangentengleichung:

t(x) = 3\,(x - 1) + 1 = 3x - 2

Häufige Fehler

Funktionswert und Ableitung verwechseln

Vor dem Einsetzen kurz fragen: Brauche ich hier eine Höhe (dann $f$ ) oder eine Steigung (dann $f'$ )?

Häufige Fehler

Zu früh $h = 0$ setzen

Erst die Klammer richtig ausmultiplizieren, dann vereinfachen und durch $h$ kürzen, und erst ganz am Ende $h \to 0$ .

Zusammenfassung

Die mittlere Änderungsrate $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ ist die Steigung der Sekante durch zwei Punkte des Graphen.
Lässt man $h$ gegen null gehen, dreht sich die Sekante in die Tangente. Der Grenzwert der Sekantensteigungen ist die Ableitung $f'(x_0)$ , die momentane Änderungsrate.
h-Methode: Differenzenquotient aufschreiben, ausmultiplizieren, durch $h$ kürzen, erst dann $h \to 0$ .
Es gilt $(x^2)' = 2x$ und $(x^3)' = 3x^2$ . Eine Konstante als Summand ändert die Ableitung nicht.
Tangente in $P(x_0 \mid f(x_0))$ : $t(x) = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$ .
An einem Knick nähern sich die Sekantensteigungen von links und rechts verschiedenen Werten, dort gibt es keine Ableitung.

Mittlere Änderungsrate beim fallenden Stein

Die h-Methode für f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2 an einer beliebigen Stelle xxx

Dasselbe für f(x)=x3f(x) = x^3f(x)=x3

Tangente an f(x)=x3f(x) = x^3f(x)=x3 im Punkt mit x0=1x_0 = 1x0​=1

Funktionswert und Ableitung verwechseln

Zu früh h=0h = 0h=0 setzen

Zusammenfassung

Übungen

Die h-Methode für $f(x) = x^2$ an einer beliebigen Stelle $x$

Dasselbe für $f(x) = x^3$

Tangente an $f(x) = x^3$ im Punkt mit $x_0 = 1$

Zu früh $h = 0$ setzen