Lektion 10.3

Matrixpotenzen, Fixvektoren und Grenzmatrizen

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

iterierte Übergänge als $A^n \vec{p}_0$ schreiben,
einen Fixvektor aus $A\vec{q} = \vec{q}$ bestimmen und als Gleichgewicht deuten,
bei stochastischen $2\times 2$ -Matrizen die Konvergenz gegen die Grenzverteilung sehen,
Fixvektor und Startvektor unterscheiden: Das Gleichgewicht hängt (hier) nicht vom Start ab, sobald $A^n$ konvergiert.

Nach einem Jahr ist der Bestand $A\vec{p}$ , nach zwei Jahren $A(A\vec{p}) = A^2 \vec{p}$ . Die Matrixpotenz bündelt $n$ gleiche Übergänge.

Oft beruhigt sich das System: $A^n$ nähert sich einer Matrix, deren Spalten alle gleich sind — dieselbe Verteilung, egal wo man startete. Diese Spalte ist ein Fixvektor: $A\vec{q} = \vec{q}$ . Wer schon im Gleichgewicht ist, bleibt es.

Vermute zuerst

Ist $\vec{q} = (1,\,0)$ ein Fixvektor von $A = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ ?

Gleichgewicht als Richtung, die

A

nicht dreht

a_x

= 3

a_y

= 2

a_z

= 0

b_x

= 0,6

b_y

= 0,4

b_z

= 0

$|\vec{a}|$: 3,61
$|\vec{b}|$: 0,72
$|\vec{a} + \vec{b}|$: 4,33

Die gestrichelten Linien schließen das Parallelogramm. $\vec{a} + \vec{b}$ ist die Diagonale. Die Länge der Summe ist nur dann $|\vec{a}| + |\vec{b}|$ , wenn beide in dieselbe Richtung zeigen.

Fixvektor = Eigenvektor zum Eigenwert $1$ . Bei stochastischen Matrizen existiert er immer; bei $2\times 2$ mit positiven Einträgen ist er (bis auf Vielfache) eindeutig.

Probier es aus

Ein Fixvektor zeigt in eine Richtung, die die Abbildung auf sich selbst schickt (höchstens streckt). Beim Übergangsprozess ist die Streckung $1$ , die Länge bleibt, weil die Summe der Bestände fest ist.
Das Beispiel $(3,2)$ und $(0{,}6, 0{,}4)$ sind Vielfache. Dieselbe Verteilung, einmal als Anzahlen, einmal als Anteile. $A$ sieht nur die Richtung, wenn es um das Gleichgewicht geht.
Startet man woanders, wandert der Zustandsvektor Schritt für Schritt in diese Richtung — sofern die Potenzen konvergieren.

Definition

Fixvektor und Grenzmatrix

Ein Vektor $\vec{q} \neq \vec{0}$ mit $A\vec{q} = \vec{q}$ heißt Fixvektor von $A$ . Bei Übergangsmatrizen sucht man meist den mit Summennorm $1$ (Anteile).

Die Potenz $A^n$ entsteht durch $n$ -faches Multiplizieren. Konvergiert $A^n$ gegen eine Matrix $A^{\infty}$ , deren Spalten alle gleich $\vec{q}$ sind, dann gilt

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} A^n \vec{p}_0 = \vec{q}$

für jeden Start $\vec{p}_0$ mit derselben Summe wie $\vec{q}$ . Das Gleichgewicht „vergisst“ den Start.

Nicht jede Matrix konvergiert: Eine Vertauschung $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ oszilliert, $A^2 = I$ .

Schritt für Schritt

Gleichgewicht von $A = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix}$

Anteile $q$ in A, $1-q$ in B. Dann $A\vec{q} = \vec{q}$ .

Erste Zeile: $0{,}8 q + 0{,}3(1-q) = q$ . Also $0{,}3 = 0{,}5 q$ , $q = 0{,}6$ .

Schritt 1 von 3

Beispiel

Oszillation statt Grenze

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ tauscht die beiden Zustände jedes Jahr vollständig. $A^n$ ist $A$ oder $I$ , je nach Parität von $n$ . Keine Grenzmatrix.

A^2 = I, \quad A^3 = A

Fixvektoren gibt es trotzdem: $(1,1)$ bleibt (beide Zustände gleich voll). Aber die Folge $A^n \vec{p}$ pendelt, wenn der Start ungleich ist. Konvergenz braucht, dass nicht die ganze Masse jedes Mal umschlägt — typisch: alle Einträge von $A$ echt positiv.

Kurz geprüft

Wenn $A^n$ gegen eine Matrix mit zwei identischen Spalten $\vec{q}$ konvergiert, wovon hängt $\lim A^n \vec{p}_0$ ab?

Häufige Fehler

Fixvektor mit Startvektor verwechseln

Wer $A\vec{p}_0$ einmal rechnet und das Ergebnis „Gleichgewicht“ nennt, hat nur das nächste Jahr. Gleichgewicht heißt: nochmal $A$ ändert nichts.

Auch: $A^n$ als $n$ -faches der Einträge, $n a_{ij}$ . Potenz ist wiederholtes Matrixprodukt.

Richtig ist

$A\vec{q} = \vec{q}$ lösen, oder $A^n$ für große $n$ ansehen. Einzelschritt $\neq$ Grenze.

Zusammenfassung

$n$ Übergänge: $A^n \vec{p}_0$ . Potenz = wiederholtes Produkt, nicht Einträge mal $n$ .
Fixvektor: $A\vec{q} = \vec{q}$ . Bei stochastischem $A$ immer existent; normieren auf Summe $1$ .
Oft $A^n \to$ Matrix mit gleichen Spalten $\vec{q}$ : Start wird vergessen.
Oszillation möglich (Tauschmatrix). Positive Einträge machen Konvergenz wahrscheinlich.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Fixanteil in A für $A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ (erste Komponente des Anteilsvektors).

Aufgabe 2Multiple Choice

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Was ist $A^2$ ?

Aufgabe 3Numerisch

Bei $A\vec{q} = \vec{q}$ und $\vec{q} = (3,1)$ (Anzahlen): Welcher Anteil liegt im ersten Zustand, wenn man auf Summe $1$ normiert?

Aufgabe 4Freitext

Warum gibt es bei einer spaltenstochastischen Matrix immer mindestens einen Fixvektor, auch ohne zu rechnen, dass $A-I$ singulär ist?