Lektion 10.2

Matrizen und Übergangsprozesse

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

eine Matrix als rechteckiges Zahlenschema und als Abbildung $\vec{x} \mapsto A\vec{x}$ lesen,
Matrizen multiplizieren und die Reihenfolge als Hintereinanderausführung deuten,
einen Übergangsprozess als $A\vec{p}$ schreiben, wobei $A$ spaltenweise die Anteile enthält,
stochastische Matrizen erkennen: nichtnegative Einträge, Spaltensumme $1$ .

Jedes Jahr bleiben $80\,\%$ der Bewohner in Stadt A, $20\,\%$ ziehen nach B. Von B bleiben $70\,\%$ , $30\,\%$ gehen nach A. Aus den zwei Zahlen „jetzt in A, jetzt in B“ werden zwei neue Zahlen. Das ist keine einzelne Multiplikation, sondern vier: Jeder der zwei Bestände speist beide Ziele.

Diese vier Anteile schreibt man in ein Rechteck, eine Matrix. Der Zustand ist ein Vektor. Ein Jahr später: Matrix mal Vektor. Nach zwei Jahren: dieselbe Matrix noch einmal. Die Reihenfolge ist ernst: Erst $A$ , dann $B$ ist nicht dasselbe wie erst $B$ , dann $A$ .

Vermute zuerst

Die Matrix $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ macht aus $(1,\,1)$ welchen Vektor?

Vektoren als Zustände: Addition bleibt, die Matrix kommt danach

a_x

= 2

a_y

= 0

a_z

= 0

b_x

= 0

b_y

= 1,5

b_z

= 0

$|\vec{a}|$: 2
$|\vec{b}|$: 1,5
$|\vec{a} + \vec{b}|$: 2,5

Die gestrichelten Linien schließen das Parallelogramm. $\vec{a} + \vec{b}$ ist die Diagonale. Die Länge der Summe ist nur dann $|\vec{a}| + |\vec{b}|$ , wenn beide in dieselbe Richtung zeigen.

Matrix mal Vektor = Linearkombination der Spalten. Deshalb steckt in den Spalten einer Übergangsmatrix, wohin jeder Bestand verteilt wird.

Probier es aus

Ein Zustandsvektor in der Ebene hat zwei Komponenten. Hier siehst du sie als Pfeile. $A\vec{x}$ wäre ein neuer Pfeil, den man aus Linearkombinationen der Spalten von $A$ baut.
Die Spalten von $A$ sind die Bilder der Standardbasis. Wer $\vec{e}_1$ und $\vec{e}_2$ kennt, kennt jedes $A\vec{x} = x_1 A\vec{e}_1 + x_2 A\vec{e}_2$ .
Übergangsmatrizen haben Spalten, die selbst Zustände sind: Anteile, Summe $1$ , keine negativen Einträge.

Definition

Matrix und Produkt

Eine $(m \times n)$ -Matrix hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten. Sie beschreibt eine lineare Abbildung $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ : $\vec{x} \mapsto A\vec{x}$ .

Das Produkt $AB$ ist definiert, wenn die Spaltenzahl von $A$ zur Zeilenzahl von $B$ passt. Die Spalten von $AB$ sind $A$ mal die Spalten von $B$ . Im Allgemeinen $AB \neq BA$ .

Ein Übergangsprozess (hier: zwei Zustände): Ist $\vec{p}_k$ der Bestandsvektor im Jahr $k$ und $A$ die Matrix der Anteile,

$\vec{p}_{k+1} = A \vec{p}_k$ .

$A$ heißt stochastisch (spaltenstochastisch), wenn alle Einträge $\ge 0$ sind und jede Spalte zu $1$ summiert. Dann bleibt die Gesamtsumme der Bestände erhalten.

Schritt für Schritt

Ein Jahr Stadt A / Stadt B

$A$ behält $0{,}8$ , gibt $0{,}2$ an B. $B$ behält $0{,}7$ , gibt $0{,}3$ an A. Start $\vec{p}_0 = (100,\,50)$ (in Tausend).

Spalten: erste Spalte = Bild von „alles in A“, also $(0{,}8,\, 0{,}2)$ . Zweite Spalte = Bild von „alles in B“, $(0{,}3,\, 0{,}7)$ .
$A = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix}$

Schritt 1 von 3

Beispiel

Reihenfolge

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Dann $AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ , aber $BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

AB \neq BA

Hintereinander: $B$ zuerst kippt die $x$ -Achse auf die $y$ -Achse, $A$ kippt die $y$ -Achse auf die $x$ -Achse — je nach Reihenfolge überlebt eine andere Achse.

Kurz geprüft

Welche Matrix ist spaltenstochastisch?

Häufige Fehler

Zeilen und Spalten tauschen

Wer die Anteile „von A nach B“ in die Zeile statt in die Spalte schreibt, bekommt $A\vec{p}$ als Zeilenvektor-Logik und die falschen Zahlen. In der Schule üblich: Spalten = wohin ein Bestand geht.

Zweiter Schnitzer: $AB$ als komponentenweises Produkt rechnen. Matrixprodukt ist Zeile mal Spalte, nicht $a_{ij} b_{ij}$ .

Richtig ist

Erste Spalte = Bild von $(1,0,\ldots)$ . Probe an einem Einheitsvektor.

Zusammenfassung

$A\vec{x}$ ist die Linearkombination der Spalten von $A$ mit den Koeffizienten aus $\vec{x}$ .
Produkt $AB$ : erst $B$ , dann $A$ . Im Allgemeinen nicht kommutativ.
Übergangsmatrix: Spalten sind die Bilder der reinen Zustände. Stochastisch: Einträge $\ge 0$ , Spaltensumme $1$ .
Gesamtbestand bleibt bei stochastischem $A$ erhalten.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ ist

Aufgabe 2Numerisch

Bei $A = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ und $\vec{p} = (100,\,0)$ : Wie groß ist die erste Komponente von $A\vec{p}$ ?

Aufgabe 3Multiple Choice

Wann gilt $AB = BA$ für alle $B$ derselben Größe?

Aufgabe 4Freitext

Warum muss bei einem Bevölkerungsübergang jede Spalte zu $1$ summieren, wenn niemand verschwindet oder dazukommt?