Lektion 10.4

Vektorielle Beweise

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

eine geometrische Aussage in Ortsvektoren übersetzen,
Mittelpunkte, Teilverhältnisse und Parallelität als Vektorgleichungen schreiben,
einen klassischen Satz (Schwerpunkt, Varignon, Mittelparallelen) vektoriell beweisen,
erklären, warum die Wahl des Ursprungs in solchen Rechnungen oft verschwindet.

In der synthetischen Geometrie braucht man Kongruenz, Wechselwinkel, Hilfslinien. Mit Vektoren wird aus „M ist Mitte von AB“ die Zeile $\vec{m} = \tfrac12(\vec{a}+\vec{b})$ . Parallelität ist „ein Vielfaches“, ein Schnittpunkt eine Gleichung $\vec{a}+t\vec{u} = \vec{c}+s\vec{v}$ .

Die Rechnung ist kurz, wenn man die Übersetzung sitzt. Der Ursprung darf irgendwo liegen: Differenzen $\vec{b}-\vec{a}$ sind unabhängig davon. Genau deshalb sind Vektorbeweise für Teilverhältnisse so sauber.

Vermute zuerst

Mitte $M$ von $A$ und $B$ , Mitte $N$ von $A$ und $C$ . Was ist $\overrightarrow{MN}$ in Abhängigkeit von $\overrightarrow{BC}$ ?

Zwei Verbindungsvektoren: Parallelität als Vielfaches

a_x

= 2

a_y

= 0,4

a_z

= 0,2

b_x

= 1

b_y

= 0,2

b_z

= 0,1

$|\vec{a}|$: 2,05
$|\vec{b}|$: 1,02
$|\vec{a} + \vec{b}|$: 3,07

Die gestrichelten Linien schließen das Parallelogramm. $\vec{a} + \vec{b}$ ist die Diagonale. Die Länge der Summe ist nur dann $|\vec{a}| + |\vec{b}|$ , wenn beide in dieselbe Richtung zeigen.

Parallel und gleich lang (gleicher Sinn): $k = 1$ . Gegenrichtung: $k = -1$ . Halb so lang: $k = \pm 1/2$ .

Probier es aus

Im Beispiel ist $\vec b$ ungefähr die Hälfte von $\vec a$ . Dann sind die Pfeile parallel. In einem Beweis schreibt man $\vec{b} = k\vec{a}$ und rechnet $k$ aus.
Setze $\vec b$ unabhängig. Die Summe $\vec a+\vec b$ ist die Diagonale — im Parallelogramm genau die Aussage von Varignon über Mitten.
Ein Vektorbeweis ersetzt das Bild durch solche Rechnungen. Das Bild bleibt die Kontrolle: Zeigen die Pfeile, was die Formel behauptet?

Definition

Übersetzung ins Vektorielle

Typische Wörter und ihre Formeln (Ortsvektoren):

Mitte von $A,B$ : $\vec{m} = \dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$ .
Teilverhältnis $AT:TB = k:1$ : $\vec{t} = \dfrac{\vec{a} + k\vec{b}}{1+k}$ (innen, $k>0$ ).
$AB \parallel CD$ : $\vec{b}-\vec{a} = k(\vec{d}-\vec{c})$ für ein $k \neq 0$ .
$ABCD$ Parallelogramm (gegenüberliegende Seiten): $\vec{b}-\vec{a} = \vec{c}-\vec{d}$ oder $\vec{a}+\vec{c} = \vec{b}+\vec{d}$ .
Schwerpunkt $S$ im Dreieck: $\vec{s} = \dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ .

Der Ursprung fällt aus Differenzen und aus Mittelwerten mit Gewichtssumme $1$ heraus.

Schritt für Schritt

Die Seitenmitten eines Vierecks bilden ein Parallelogramm (Varignon)

Viereck $ABCD$ , Mitten $P,Q,R,S$ von $AB, BC, CD, DA$ .

$\vec{p} = \tfrac12(\vec{a}+\vec{b})$ , $\vec{q} = \tfrac12(\vec{b}+\vec{c})$ , $\vec{r} = \tfrac12(\vec{c}+\vec{d})$ , $\vec{s} = \tfrac12(\vec{d}+\vec{a})$ .

Schritt 1 von 3

Beispiel

Schwerpunkt auf jeder Seitenhalbierenden, Verhältnis $2:1$

Seitenhalbierende von $A$ zur Mitte $M$ von $BC$ : $\vec{m} = \tfrac12(\vec{b}+\vec{c})$ . Punkt $T$ mit $\vec{t} = \vec{a} + \tfrac23(\vec{m}-\vec{a})$ (zwei Drittel von $A$ nach $M$ ).

\vec{t} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}

Dasselbe $T$ kommt von den anderen Seitenhalbierenden. Also schneiden sie sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt, und teilen einander im Verhältnis $2:1$ .

Kurz geprüft

Warum darf man den Ursprung in einem Vektorbeweis über Mitten frei wählen?

Häufige Fehler

Punkte addieren ohne Gewicht

$\vec{a}+\vec{b}$ ist kein Punkt, sondern hängt vom Ursprung ab. Erst $\tfrac12(\vec{a}+\vec{b})$ (Gewichtssumme $1$ ) ist wieder ein Ort, unabhängig vom Ursprung.

Auch: $\overrightarrow{AB} = \vec{a}-\vec{b}$ statt $\vec{b}-\vec{a}$ . Die Buchstabenreihenfolge ist die Richtung.

Richtig ist

Orte: affine Kombinationen (Gewichte Summe $1$ ). Verschiebungen: Differenzen.

Zusammenfassung

Mitte, Teilverhältnis, Parallelität, Parallelogramm: je eine Vektorzeile.
Varignon: Seitenmitten eines Vierecks bilden ein Parallelogramm — Differenzrechnung.
Schwerpunkt: Mittel der drei Ortsvektoren, teilt Seitenhalbierende $2:1$ .
Ursprung frei: Differenzen und Konvexkombinationen sind invariant unter Verschiebung.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Die Mitte von $A(0,0,0)$ und $B(4,2,0)$ ist

Aufgabe 2Multiple Choice

$AB \parallel CD$ heißt vektoriell

Aufgabe 3Numerisch

Schwerpunkt von $A(0,0,0)$ , $B(3,0,0)$ , $C(0,6,0)$ : $y$ -Koordinate.

Aufgabe 4Freitext

Skizziere den Vektorbeweis, dass die Verbindungsstrecke der Mitten zweier Seiten in einem Dreieck parallel zur dritten Seite und halb so lang ist (Mittelparallele).