Lektion 6.2

Mittelwert einer Funktion

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

den Mittelwert von $f$ auf $[a;\,b]$ als Höhe des Rechtecks gleicher Fläche deuten,
die Formel $m = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ anwenden,
den Mittelwertsatz der Integralrechnung als „es gibt eine Stelle mit $f(c) = m$ “ lesen,
Mittelwert von Durchschnittswert einer Wertetabelle unterscheiden.

Ein Auto fährt zwei Stunden, die Geschwindigkeit schwankt. Die Fläche unter dem $v$ - $t$ -Graphen ist der Weg. Derselbe Weg in derselben Zeit ginge auch mit einer konstanten Geschwindigkeit: genau dem Mittelwert von $v$ .

Geometrisch: Die Fläche unter $f$ zwischen $a$ und $b$ formt man zu einem Rechteck der Breite $b-a$ um. Dessen Höhe ist der Mittelwert. Wo $f$ über dieser Höhe liegt, wird der Überschuss von den Tälern darunter ausgeglichen.

Vermute zuerst

Auf $[0;\,2]$ ist $f(x) = x$ . Die Fläche unter der Strecke ist ein Dreieck mit Inhalt $2$ . Welchen Mittelwert hat $f$ ?

Rechteck gleicher Fläche

$b - a$: 4
$\int_a^b f(x)\,dx$: 8
$m = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f$: 2

Das Rechteck von $a$ bis $b$ mit Höhe $2$ hat dieselbe Fläche wie unter dem Graphen. $m$ ist der Mittelwert von $f$ auf dem Intervall.

Mittelwert = Inhalt geteilt durch Breite. Das Rechteck macht den Inhalt sichtbar, ohne die Form von $f$ zu zerstören.

Probier es aus

Die getönte Fläche unter $f$ und das Rechteck sollen denselben Inhalt haben. Die Höhe des Rechtecks ist der Mittelwert.
Zieh $b$ nach links. Wird das Intervall kürzer, ändert sich der Mittelwert — bei einer steigenden Geraden sinkt er, weil die hohen Werte rechts wegfallen.
Stell dir $f(x) = x^2$ auf $[0;\,1]$ vor: Mittelwert $1/3$ , kleiner als $f(1/2) = 1/4$ ? Nein, $1/3 > 1/4$ , die Parabel hängt durch, der Mittelwert liegt über dem Wert in der Mitte.

Definition

Mittelwert einer Funktion

Ist $f$ auf $[a;\,b]$ integrierbar und $a \neq b$ , so heißt

$\displaystyle m = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx$

der Mittelwert von $f$ auf $[a;\,b]$ .

Deutung: $m \cdot (b-a)$ ist derselbe (vorzeichenbehaftete) Inhalt wie unter $f$ . Ist $f$ stetig, gibt es nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung mindestens ein $c$ in $[a;\,b]$ mit $f(c) = m$ : Die Kurve schneidet die Rechteckhöhe.

Schritt für Schritt

Mittelwert von $f(x) = x^2$ auf $[0;\,1]$

Integral, dann durch die Länge teilen.

$\int_0^1 x^2\,dx = [x^3/3]_0^1 = 1/3$ .

Schritt 1 von 3

Beispiel

Durchschnittsgeschwindigkeit

$v(t) = 10 + 2t$ (in m/s) von $t = 0$ bis $t = 5$ .

m = \frac{1}{5} \int_0^5 (10 + 2t)\,dt = \frac{1}{5}\Bigl[10t + t^2\Bigr]_0^5 = \frac{75}{5} = 15

Nach fünf Sekunden sind $15$ m/s der konstante Ersatz. Weil $v$ linear ist, reicht der Wert bei $t = 2{,}5$ : $10 + 5 = 15$ . Derselbe Trick gilt nicht für $v(t) = t^2$ .

Kurz geprüft

Der Mittelwert von $f$ auf $[1;\,3]$ ist $4$ . Was ist $\int_1^3 f(x)\,dx$ ?

Häufige Fehler

Mittelwert mit $f\bigl((a+b)/2\bigr)$ verwechseln

Nur bei linearen Funktionen ist der Mittelwert der Funktionswert in der Intervallmitte. Bei $x^2$ auf $[0;\,1]$ wäre $1/4$ falsch.

Zweiter Schnitzer: Den Mittelwert einer Liste von Messwerten (Summe durch Anzahl) mit dem Integralmittel zu vermischen, ohne die Abstände zu beachten. Ungleichmäßige $x$ -Werte brauchen Gewichte — genau das tut das Integral.

Richtig ist

Immer $\int f$ durch $b-a$ . Die Mitte des Intervalls nur bei Geraden als Abkürzung.

Zusammenfassung

$m = \frac{1}{b-a}\int_a^b f$ . Rechteck der Höhe $m$ hat denselben Inhalt.
Stetiges $f$ : mindestens eine Stelle $c$ mit $f(c) = m$ .
Linear: Mittelwert = Wert in der Mitte. Gekrümmt: integrieren.
Anwendung: mittlere Geschwindigkeit, mittlere Temperatur, mittlere Stromstärke.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Mittelwert von $f(x) = x$ auf $[0;\,4]$ .

Aufgabe 2Numerisch

Mittelwert von $f(x) = x^2$ auf $[0;\,3]$ .

Aufgabe 3Multiple Choice

Wann ist $f\bigl((a+b)/2\bigr)$ gleich dem Mittelwert von $f$ auf $[a;\,b]$ ?

Aufgabe 4Freitext

Ein Graph liegt auf $[0;\,2]$ erst unter, dann über seinem Mittelwert. Warum kann der Mittelwert trotzdem existieren und eindeutig sein?