Lektion 6.3

Rotationsvolumen

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

einen Graphen um die $x$ -Achse als Schar von Kreisscheiben sehen,
die Formel $V = \pi \int_a^b \bigl(f(x)\bigr)^2\,dx$ herleiten und anwenden,
die Näherung durch Zylinder (Scheibenverfahren) mit dem Integral vergleichen,
das Vorzeichen von $f$ als unerheblich erkennen, weil quadriert wird.

Eine Vase auf der Töpferscheibe entsteht, indem eine Kurve um eine Achse kreist. Jeder $x$ -Wert liefert einen Kreis mit Radius $|f(x)|$ . Ein dünner Streifen der Breite $\Delta x$ wird zu einer Scheibe mit Volumen etwa $\pi r^2 \Delta x = \pi \bigl(f(x)\bigr)^2 \Delta x$ .

Viele Scheiben: eine Summe, im Grenzwert das Integral $\pi \int_a^b f(x)^2\,dx$ . Dasselbe Prinzip wie bei der Fläche, nur mit Kreisflächen statt Rechteckhöhen.

Vermute zuerst

Die Strecke $f(x) = 1$ von $x = 0$ bis $x = 2$ rotiert um die $x$ -Achse. Welcher Körper entsteht, und wie groß ist sein Volumen?

Scheiben nähern das Volumen an

n

= 6

$\Delta x$: 0,6667
$n \text{ Zylinder}$: 6
$\pi \sum r_i^2 \Delta x$: 25,1327
$\pi \int_a^b f(x)^2\,dx$: 25,1327

Jeder Streifen wird zu einem Zylinder mit Radius $|f|$ in der Mitte. Mit $n = 6$ ist das Volumen etwa $25{,}133$ , der Grenzwert $25{,}133$ .

Paraboloid-Kappe: $y = \sqrt{x}$ von $0$ bis $4$ um die $x$ -Achse. Volumen $8\pi$ .

Probier es aus

Jeder Balken ist ein Zylinder: Radius gleich $|f|$ in der Streifenmitte, Dicke $4/n$ . Ihre Volumina summieren sich.
Erhöhe $n$ . Die Treppe schmiegt sich an die Kurve, der Näherungswert wandert zum Integral $\pi \int_0^4 x\,dx = 8\pi$ .
Die gespiegelte Kurve unter der Achse ist dieselbe Rotation: $f$ und $-f$ erzeugen denselben Körper, weil quadriert wird.

Definition

Scheibenverfahren

Rotiert der Graph einer auf $[a;\,b]$ stetigen Funktion $f$ um die $x$ -Achse, so hat der entstandene Körper das Volumen

$\displaystyle V = \pi \int_a^b \bigl(f(x)\bigr)^2\,dx$ .

Herleitung: Streifenbreite $\Delta x$ , Radius $|f(x)|$ , Scheibenvolumen $\pi f(x)^2 \Delta x$ , Grenzwert der Summe.

$f$ darf unter der Achse liegen: Das Quadrat macht das Vorzeichen unschädlich. Rotiert man um die $y$ -Achse, tauscht man die Rollen (und braucht $x$ als Funktion von $y$ ), oder man verwendet eine andere Zerlegung.

Schritt für Schritt

Kegel: $f(x) = x$ auf $[0; 1]$

Radius am rechten Ende $1$ , Höhe $1$ . Schulformel $V = \frac13 \pi r^2 h$ .

Einsetzen in die Integralformel.
$V = \pi \int_0^1 x^2\,dx = \pi \Bigl[\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_0^1 = \tfrac{\pi}{3}$

Schritt 1 von 3

Beispiel

Kugel als Rotation eines Halbkreises

$f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}$ auf $[-r;\,r]$ , der obere Halbkreis.

V = \pi \int_{-r}^{r} (r^2 - x^2)\,dx = \pi \Bigl[r^2 x - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{-r}^{r} = \tfrac{4}{3}\pi r^3

Genau die Kugelformel. Die Rechnung ist kurz, weil $f^2$ das $r^2 - x^2$ ohne Wurzel ist — ein Grund, warum man $f^2$ und nicht $f$ integriert.

Kurz geprüft

Warum steht $\pi$ vor dem Integral und warum wird $f$ quadriert?

Häufige Fehler

$\int f$ statt $\int f^2$

Die Fläche unter der Kurve zu nehmen und mit $\pi$ zu multiplizieren, beschreibt keinen Rotationskörper. Ein Rechteck der Höhe $2$ und Breite $1$ hat Fläche $2$ ; rotiert liefert es den Zylinder $\pi \cdot 2^2 \cdot 1 = 4\pi$ , nicht $2\pi$ .

Auch: Grenzen in $y$ , obwohl $f$ als Funktion von $x$ gegeben ist, ohne umzustellen.

Richtig ist

Radius = Abstand zur Drehachse. Bei Drehung um die $x$ -Achse ist das $|f(x)|$ , also $\pi\int f^2\,dx$ .

Zusammenfassung

Rotation um die $x$ -Achse: $V = \pi \int_a^b f(x)^2\,dx$ (Scheibenverfahren).
Näherung: Zylinder der Dicke $\Delta x$ und des Radius $|f|$ .
Zylinder, Kegel, Kugel sind Sonderfälle derselben Formel.
$f$ und $-f$ denselben Körper. Nicht $\int f$ mit $\pi$ malnehmen.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Volumen des Körpers, den $f(x) = 1$ auf $[0;\,2]$ bei Rotation um die $x$ -Achse erzeugt, in Einheiten von $\pi$ (also die Zahl vor $\pi$ ).

Aufgabe 2Numerisch

Wie groß ist $V/\pi$ für $f(x) = x$ auf $[0;\,3]$ ?

Aufgabe 3Multiple Choice

Rotieren $f$ und $-f$ auf demselben Intervall um die $x$ -Achse, dann

Aufgabe 4Freitext

Warum integriert man $f^2$ und nicht den Umfang $2\pi f$ ?