Lektion 6.1

Partielle Integration und Integration durch Substitution

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Nach dieser Lektion kannst du

die Produktregel umkehren: $\int u v' = uv - \int u' v$ ,
sinnvoll wählen, welcher Faktor $u$ wird (abgeleitet einfacher) und welcher $v'$ (leicht zu integrieren),
eine Substitution $u = g(x)$ ausführen, wenn $g'$ im Integranden sichtbar ist,
beide Techniken an Standardtypen der Oberstufe anwenden.

Die Produktregel sagt $(uv)' = u'v + uv'$ . Stellt man nach $uv'$ um und integriert, bleibt

$\int u v' = uv - \int u' v$ .

Das nennt man partielle Integration: Ein Produkt wird so aufgeteilt, dass das neue Integral leichter ist als das alte. Typisch: $x \cdot e^{x}$ , $x \cdot \sin x$ , $\ln x$ (geschrieben $1 \cdot \ln x$ ).

Die Substitution ist die Kettenregel von hinten, jetzt nicht nur linear. Steht im Integranden eine Kette und daneben (fast) die innere Ableitung, ersetzt man das Innere durch $u$ .

Vermute zuerst

Für $\int x e^{x}\,dx$ setzt man oft $u = x$ und $v' = e^{x}$ . Warum nicht umgekehrt?

Produktregel vorwärts: daraus wird partielle Integration

x

= 1

h

= 0,4

$u = x$: 1
$v = e^x$: 2,718
$\Delta u \cdot v \,/\, h$: 2,7183
$u \cdot \Delta v \,/\, h$: 3,3423
$\Delta u \cdot \Delta v \,/\, h$: 1,3369
$\Delta(uv) \,/\, h$: 7,3975
$u'v + uv'$: 5,4366

Der Flächenzuwachs besteht aus drei Teilen: dem Streifen rechts ( $\Delta u \cdot v$ ), dem Streifen oben ( $u \cdot \Delta v$ ) und der kleinen Ecke ( $\Delta u \cdot \Delta v$ ). Die Ecke macht gerade $18{,}1\,\%$ des Zuwachses aus. Halbiere $h$ ein paar Mal.

Wer die Produktregel am Rechteck gesehen hat, erkennt die Umstellung: eine Seite bekannt, die andere das neue Integral.

Probier es aus

Die Produktregel zerlegt den Zuwachs von $uv$ in „ $u$ ändert sich“ plus „ $v$ ändert sich“.
Partiell integrieren heißt: Den Anteil $u v'$ behalten wir als gesucht, den Anteil $u' v$ schieben wir auf die andere Seite — als neues Integral.
Hier wird $u = x$ schmaler beim Ableiten, $v = e^{x}$ bleibt vom Typ her gleich. Deshalb wird das Restintegral einfacher.

Definition

Partielle Integration

Sind $u$ und $v$ stetig differenzierbar, so gilt

$\displaystyle\int u(x)\, v'(x)\,dx = u(x)\,v(x) - \int u'(x)\, v(x)\,dx$ .

Am bestimmten Integral dieselben Grenzen an $uv$ und am Restintegral.

Wahl: $u$ ableiten, $v'$ integrieren. Nach endlich vielen Schritten soll ein Integral stehen, das man kennt — oder dasselbe Integral mit einem Faktor, den man auf die andere Seite holt (etwa bei $\int e^{x}\sin x$ ).

Schritt für Schritt

$\int x e^{x}\,dx$

$u = x$ , $v' = e^{x}$ , also $u' = 1$ , $v = e^{x}$ .

Einsetzen in die Formel.
$\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int 1 \cdot e^{x}\,dx$

Schritt 1 von 3

Definition

Substitution (allgemein)

Sei $u = g(x)$ differenzierbar, $g'$ stetig, und $f$ stetig auf den Werten von $g$ . Dann

$\displaystyle\int f\bigl(g(x)\bigr)\, g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$ .

Man braucht den Faktor $g'(x)$ (oder ein konstantes Vielfaches) im Integranden. Fehlt er, ist die Substitution oft die falsche Idee — außer $g$ ist linear, dann ist $g'$ konstant und darf ergänzt werden.

Nach dem Integrieren: $u$ zurück in $x$ oder Grenzen in $u$ umrechnen.

Beispiel

$\int 2x e^{x^2}\,dx$

$u = x^2$ , $du = 2x\,dx$ . Der Faktor $2x$ steht schon da.

\int 2x e^{x^2}\,dx = \int e^{u}\,du = e^{u} + C = e^{x^2} + C

Ohne $2x$ ginge das nicht direkt: $\int e^{x^2}\,dx$ hat keine elementare Stammfunktion. Die innere Ableitung muss mitspielen.

Beispiel

$\int \ln x\,dx$

Schreiben als $1 \cdot \ln x$ . Dann $u = \ln x$ , $v' = 1$ , also $v = x$ , $u' = 1/x$ .

\int \ln x\,dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x \ln x - x + C

Probe: $(x\ln x - x)' = \ln x + x\cdot(1/x) - 1 = \ln x$ . Der Logarithmus allein hat keine offensichtliche Stammfunktion; der Trick ist, ihn als $u$ zu wählen.

Kurz geprüft

Welche Substitution passt zu $\int \cos x \cdot \sin^3 x\,dx$ ?

Häufige Fehler

$dx$ und Grenzen vergessen

Bei Substitution $u = g(x)$ muss $dx$ durch $du/g'(x)$ ersetzt werden. Wer nur $u$ in den Term schreibt und $dx$ stehen lässt, rechnet Mischmasch.

Beim bestimmten Integral: Entweder neue Grenzen $g(a)$ , $g(b)$ — und dann nicht zurücksubstituieren — oder zurück in $x$ und die alten Grenzen. Beides mischen ergibt Unsinn.

Richtig ist

Eine Zeile: $u = \ldots$ , $du = \ldots$ . Eine Zeile: Grenzen in $u$ oder zurück nach $x$ . Nicht beides halb.

Zusammenfassung

Partiell: $\int u v' = uv - \int u' v$ . $u$ soll einfacher werden, $v'$ leicht integrierbar sein.
Klassiker: Polynom mal $e^{x}$ oder $\sin$ / $\cos$ ; $\ln x$ als $u$ mit $v' = 1$ .
Substitution, wenn $f(g(x)) g'(x)$ dasteht. Linearer Fall: $g'$ konstant.
Probe ableiten. Bestimmte Integrale: Grenzen konsequent in einer Variablen.

Übungen

Aufgabe 1Term eingeben

Eine Stammfunktion von $x e^{x}$ (ohne $C$ ).

Aufgabe 2Term eingeben

Eine Stammfunktion von $2x e^{x^2}$ (ohne $C$ ).

Aufgabe 3Multiple Choice

Für $\int x \ln x\,dx$ ist die bessere Wahl

Aufgabe 4Freitext

Warum hilft Substitution $u = x^2$ nicht bei $\int e^{x^2}\,dx$ ?

∫xex dx\int x e^{x}\,dx∫xexdx

∫2xex2 dx\int 2x e^{x^2}\,dx∫2xex2dx

∫ln⁡x dx\int \ln x\,dx∫lnxdx

dxdxdx und Grenzen vergessen

Zusammenfassung

Übungen

$\int x e^{x}\,dx$

$\int 2x e^{x^2}\,dx$

$\int \ln x\,dx$

$dx$ und Grenzen vergessen