Lektion 5.3

Flächeninhalte zwischen Graphen

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

die Fläche zwischen zwei Graphen als Integral der Differenz lesen,
Schnittstellen als Integrationsgrenzen bestimmen und prüfen, wer oben liegt,
bei Vorzeichenwechsel der Differenz die Teilflächen getrennt addieren,
Integralwert (mit Vorzeichen) und Flächenmaßzahl (positiv) unterscheiden.

Ein Streifen zwischen zwei Kurven hat die Höhe „oben minus unten“, nicht „Funktion minus Achse“. Deshalb ist die Fläche zwischen $f$ und $g$ das Integral von $f - g$ — sobald man weiß, auf welchem Intervall $f$ oben liegt.

Im Hauptsatz-Abschnitt hast du das schon einmal an Gerade und Parabel gesehen. Hier übst du den Ablauf, bis er sitzt: Schnittstellen, Lage, Stammfunktion, Aufteilen wenn nötig. Das Bild zeigt live, was passiert, wenn die Grenzen nicht auf den Schnittpunkten sitzen oder wenn die Graphen die Rollen tauschen.

Vermute zuerst

Zwischen $x = 0$ und $x = 2$ liegt $f(x) = 4$ über $g(x) = x$ . Wie groß ist die Fläche zwischen den Graphen?

Gerade über Parabel: Grenzen auf die Schnittstellen ziehen

$x + 2 > x^2$ $x + 2 < x^2$

$[a;\,b]$: [−1; 2]
$\int_{-1}^{2} (f - g)\,dx$: 4,5
$\text{Flächeninhalt}$: 4,5

Auf diesem Intervall liegt $x + 2$ überall über $x^2$ . Dann ist der Flächeninhalt einfach $\int_a^b (f - g)\,dx = 4{,}5$ : Jeder senkrechte Streifen hat die Höhe $f(x) - g(x)$ .

Das Integral von $f-g$ zählt mit Vorzeichen. Die Fläche, nach der in Klausuren meist gefragt ist, addiert die Beträge der Stücke.

Probier es aus

Die hohlen Punkte sind Schnittstellen. Mit dem Knopf „Grenzen auf Schnittstellen“ sitzen $a$ und $b$ genau dort. Welche Fläche liest du ab?
Zieh $a$ nach links über den Schnitt hinaus. Ein Stück kommt dazu, in dem die Parabel oben liegt. Wie ändert sich der Integralwert gegenüber der Flächenmaßzahl?
Vertausche in Gedanken $f$ und $g$ : Das Integral wird negativ, die gemessene Fläche bleibt positiv. Deshalb merkt man eine vertauschte Lage am Vorzeichen.

Definition

Fläche zwischen Graphen

Seien $f$ und $g$ stetig auf $[a;\,b]$ .

Liegt $f$ überall über $g$ , also $f(x) \ge g(x)$ , dann ist der Flächeninhalt $A = \int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$ .
Die Grenzen $a$ und $b$ sind oft die Schnittstellen, Lösungen von $f(x) = g(x)$ . Ein Testpunkt dazwischen sagt, wer oben liegt.
Wechselt $f-g$ das Vorzeichen, teilt man an den inneren Nullstellen und addiert $\int |f-g|$ .

Das bestimmte Integral $\int_a^b (f-g)$ allein ist die Bilanz (oben positiv, unten negativ). Die Flächenmaßzahl ist immer positiv.

Schritt für Schritt

Fläche zwischen $f(x) = x + 2$ und $g(x) = x^2$

Schnitt, Lage, Stammfunktion, Grenzen einsetzen.

Schnitt: $x + 2 = x^2$ , also $x^2 - x - 2 = 0$ , $(x-2)(x+1) = 0$ . Grenzen $-1$ und $2$ .

Schritt 1 von 3

Beispiel

Zwei Teilflächen, weil die Graphen die Rollen tauschen

$f(x) = x$ und $g(x) = x^3$ schneiden sich bei $-1$ , $0$ und $1$ . Links von $0$ liegt die Gerade unter der kubischen Kurve, rechts darüber. Die Flächenmaßzahl ist die Summe der Beträge.

A = \int_{-1}^{0} (x^3 - x)\,dx + \int_{0}^{1} (x - x^3)\,dx = \tfrac12

Beide Stücke sind gleich groß (ungerade Differenz, symmetrisch). Das Integral von $-1$ bis $1$ ohne Aufteilen wäre $0$ — die Bilanz, nicht die Fläche.

Kurz geprüft

Was ist $\int_{-1}^{1} (x^3 - x)\,dx$ , und was ist die Fläche zwischen den Graphen von $x^3$ und $x$ auf $[-1;\,1]$ ?

Häufige Fehler

Grenzen aus dem Bauch, Lage nicht prüfen

Wer von $0$ bis $2$ integriert, weil „positive $x$ “, verpasst den Schnitt links von $0$ . Wer immer $f-g$ schreibt, ohne zu testen, bekommt ein negatives Ergebnis und streicht das Vorzeichen — dann hat man die Fläche, aber nicht verstanden, dass die Reihenfolge falsch war.

Richtig ist

Zuerst $f = g$ lösen. Dann einen Punkt dazwischen in beide Terme setzen. Erst dann integrieren.

Zusammenfassung

Fläche zwischen Graphen: Integral von oben minus unten, Grenzen meist die Schnittstellen.
Lage mit einem Testpunkt prüfen. Negatives Integral heißt: Die Reihenfolge war falsch oder es gibt Vorzeichenwechsel.
Bei Vorzeichenwechsel an den Nullstellen von $f-g$ aufteilen und Beträge addieren.
Integralwert und Flächenmaßzahl sind verschiedene Antworten; die Aufgabe sagt, welche gemeint ist.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Fläche zwischen $y = 4$ und $y = x$ von $x = 0$ bis $x = 2$ .

Aufgabe 2Numerisch

Fläche zwischen $f(x) = 2x$ und $g(x) = x^2$ von $0$ bis $2$ (Gerade oben).

Aufgabe 3Multiple Choice

Das Integral $\int_a^b (f-g)\,dx$ ist negativ. Was folgt?

Aufgabe 4Freitext

Warum muss man bei $f(x) = \sin x$ und $g(x) = 0$ auf $[0;\,2\pi]$ die Fläche aufteilen, wenn nach dem Flächeninhalt gefragt ist?