Lektion 5.1

Flächeninhalt, Stammfunktion und das bestimmte Integral

45 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

die Fläche unter einem Graphen mit Unter- und Obersummen einschließen
für $x^2$ den Grenzwert der Streifensummen exakt ausrechnen
das bestimmte Integral als orientierte Fläche deuten und von der Fläche unterscheiden
die Integralfunktion lesen und sehen, warum ihre Steigung der Integrand ist
Stammfunktionen mit der Potenz-, Faktor- und Summenregel bilden und durch Ableiten prüfen

Weg aus Geschwindigkeit. Ein Auto fährt zwei Stunden lang mit $80\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ . Der Weg ist $80 \cdot 2 = 160$ Kilometer. Im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ist das die Fläche eines Rechtecks: Breite $2$ (Zeit) mal Höhe $80$ (Geschwindigkeit).

Was aber, wenn die Geschwindigkeit sich ständig ändert? Dann ist der Graph keine waagerechte Linie mehr, und die Fläche unter ihm ist kein Rechteck. Die Idee bleibt trotzdem dieselbe: Über eine kurze Zeitspanne ändert sich die Geschwindigkeit kaum, man darf sie dort als konstant ansehen. Man zerlegt die Zeit also in viele kurze Stücke, rechnet für jedes Stück Rechteck-Weg aus und addiert. Je kürzer die Stücke, desto genauer das Ergebnis.

Genau dieses Verfahren, schmale Rechtecke und ein Grenzübergang, führt zum Integral. Es beantwortet jede Frage der Form "Wie viel kommt insgesamt zusammen, wenn sich die Rate ständig ändert?": Weg aus Geschwindigkeit, Wassermenge aus Zuflussrate, Arbeit aus Kraft.

Vermute zuerst

Wie groß ist die Fläche zwischen dem Graphen von $f(x) = x^2$ , der $x$ -Achse und der Geraden $x = 1$ ? Schätze.

Die Fläche unter

x^2

einklemmen

n

= 4

$\text{Streifenbreite } \Delta x = \tfrac{b-a}{n}$: 0,25
$\underline{S}_n \text{ (Untersumme)}$: 0,2188
$\overline{S}_n \text{ (Obersumme)}$: 0,4688
$\overline{S}_n - \underline{S}_n$: 0,25
$\text{Flächeninhalt}$: 0,3333

Mit $n = 4$ Streifen liegt der flächeninhalt zwischen $0{,}219$ und $0{,}469$ . Der Spielraum ist noch $0{,}25$ breit. Verdopple $n$ : Wie ändert sich der Spielraum?

Die Untersumme liegt immer unter der Fläche, die Obersumme immer darüber. Wenn beide sich treffen, kennt man die Fläche.

Probier es aus

Wechsle zwischen Untersumme und Obersumme. Welche Rechtecke ragen über den Graphen hinaus?
Verdopple $n$ mehrmals: $4$ , $8$ , $16$ , $32$ . Was passiert mit dem Spielraum $\overline{S}_n - \underline{S}_n$ ?
Bei welchem $n$ ist der Spielraum zum ersten Mal kleiner als $0{,}05$ ? Findest du eine Regel, mit der man das ohne Probieren vorhersagt?

Definition

Untersumme und Obersumme

Man teilt das Intervall $[a;\,b]$ in $n$ gleich breite Streifen der Breite $\Delta x = \frac{b - a}{n}$ . Über jedem Streifen steht ein Rechteck.

Bei der Untersumme $\underline{S}_n$ ist jedes Rechteck so hoch wie der kleinste Funktionswert im Streifen. Alle Rechtecke liegen unter dem Graphen.
Bei der Obersumme $\overline{S}_n$ ist jedes Rechteck so hoch wie der größte Funktionswert im Streifen. Die Rechtecke überdecken die Fläche.

Ist $f$ steigend, liegt der kleinste Wert am linken Rand jedes Streifens und der größte am rechten. Für die gesuchte Fläche $A$ gilt immer:

\underline{S}_n \;\leq\; A \;\leq\; \overline{S}_n

Beispiel

Unter- und Obersumme für $f(x) = x^2$ auf $[0;\,1]$ mit $n = 4$

Die Streifenbreite ist $\frac{1}{4}$ . Da $f$ auf $[0;\,1]$ steigt, nimmt die Untersumme die linken Randwerte $0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}$ und die Obersumme die rechten $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1$ .

\underline{S}_4 = \tfrac14\left(0 + \tfrac1{16} + \tfrac4{16} + \tfrac9{16}\right) = \tfrac{14}{64} \approx 0{,}219, \qquad \overline{S}_4 = \tfrac14\left(\tfrac1{16} + \tfrac4{16} + \tfrac9{16} + \tfrac{16}{16}\right) = \tfrac{30}{64} \approx 0{,}469

Die Fläche liegt also zwischen $0{,}219$ und $0{,}469$ . Das ist noch grob. Mit $n = 100$ sind es schon $0{,}3284$ und $0{,}3384$ , beide nahe bei $\frac{1}{3}$ .

Satz

Der Spielraum schrumpft

Ist $f$ auf $[a;\,b]$ steigend, so ist der Abstand zwischen Ober- und Untersumme genau die Höhendifferenz mal der Streifenbreite. Er geht für $n \to \infty$ gegen $0$ .

\overline{S}_n - \underline{S}_n = \bigl(f(b) - f(a)\bigr) \cdot \frac{b - a}{n}

Kurz geprüft

Wie groß ist $\overline{S}_n - \underline{S}_n$ für $f(x) = x^2$ auf $[0;\,1]$ mit $n = 50$ ?

Schritt für Schritt

Die Fläche unter $x^2$ exakt

Für $f(x) = x^2$ auf $[0;\,1]$ kann man die Obersumme für jedes $n$ in geschlossener Form angeben und dann $n \to \infty$ gehen lassen.

Die Streifen haben die Breite $\frac{1}{n}$ , die rechten Ränder liegen bei $\frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \ldots, \frac{n}{n}$ . Also:
$\overline{S}_n = \frac{1}{n}\left(\frac{1^2}{n^2} + \frac{2^2}{n^2} + \ldots + \frac{n^2}{n^2}\right) = \frac{1}{n^3}\left(1^2 + 2^2 + \ldots + n^2\right)$

Schritt 1 von 4

Definition

Bestimmtes Integral

Sei $f$ auf $[a;\,b]$ stetig. Dann streben Unter- und Obersumme für $n \to \infty$ gegen denselben Wert. Dieser Wert heißt das bestimmte Integral von $f$ von $a$ bis $b$ .

Die Schreibweise erzählt, woher sie kommt: Das Zeichen $\int$ ist ein langgezogenes S für "Summe", $f(x)$ ist die Höhe eines Rechtecks und $dx$ erinnert an die Streifenbreite $\Delta x$ , die immer kleiner wird. $a$ und $b$ heißen Integrationsgrenzen, $f(x)$ heißt Integrand.

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x

Positive und negative Beiträge:

f(x) = 2 - x

auf

[0;\,4]

n

= 8

$\text{Streifenbreite } \Delta x = \tfrac{b-a}{n}$: 0,5
$\underline{S}_n \text{ (Untersumme)}$: −1
$\overline{S}_n \text{ (Obersumme)}$: 1
$\overline{S}_n - \underline{S}_n$: 2
$\int_a^b f(x)\,dx$: 0
$\text{Flächeninhalt (alle Teile positiv)}$: 4

Mit $n = 8$ Streifen liegt das integral zwischen $-1$ und $1$ . Der Spielraum ist noch $2$ breit. Verdopple $n$ : Wie ändert sich der Spielraum?

Das Dreieck über der Achse und das unter der Achse sind gleich groß. Im Integral heben sie sich auf, im Flächeninhalt addieren sie sich zu $2 + 2 = 4$ .

Probier es aus

Vergleiche in der Tabelle das Integral mit dem Flächeninhalt. Warum ist das Integral null?
Bei einer Geraden liefern die Mittelpunkte schon mit wenigen Streifen den exakten Wert. Warum?

Kurz geprüft

Welchen Wert hat $\displaystyle\int_{-1}^{1} x^3\,dx$ ?

Satz

Rechenregeln für Integrale

Für stetige Funktionen $f$ , $g$ und Zahlen $c$ gilt:

\int_a^b c \cdot f(x)\,dx = c\int_a^b f(x)\,dx, \qquad \int_a^b \bigl(f(x) + g(x)\bigr)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx, \qquad \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx

Die Fläche als Funktion der oberen Grenze. Bisher war die obere Grenze $b$ fest. Jetzt lassen wir sie wandern und nennen sie $x$ . Dann hängt die Fläche von $x$ ab, und man erhält eine neue Funktion, die Integralfunktion

$I_a(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt.$

(Die Variable unter dem Integral heißt jetzt $t$ , damit sie nicht mit der Grenze $x$ verwechselt wird.) Im Werkzeug unten kannst du $x$ ziehen. Achte auf eine Frage: Wie schnell wächst $I$ , wenn du $x$ ein Stück nach rechts schiebst?

Die Integralfunktion von

f(t) = 2 - t

$x$: 1
$I(x) = \int_a^x f(t)\,dt$: 1,5
$f(x)$: 1
$\text{Steigung von } I \text{ bei } x$: 1

Schiebst du $x$ ein kleines Stück $\Delta x$ nach rechts, kommt ein Streifen der Höhe $f(x) = 1$ hinzu. $I$ wächst also um ungefähr $f(x) \cdot \Delta x$ : Die Steigung von $I$ ist $f(x)$ .

Die Tangente an $I$ hat an jeder Stelle die Steigung $f(x)$ . Schiebt man $x$ um $\Delta x$ weiter, kommt ein Streifen der Höhe ungefähr $f(x)$ dazu, also wächst $I$ um ungefähr $f(x) \cdot \Delta x$ .

Probier es aus

Ziehe $x$ von $0$ bis $2$ . Warum wächst $I$ dabei immer langsamer?
Wo hat $I$ seinen Hochpunkt? Was ist dort mit $f$ ?
Ziehe weiter bis $4$ . Warum kehrt $I$ dort auf $0$ zurück?

Definition

Stammfunktion

Das Werkzeug hat gezeigt: Die Integralfunktion $I$ hat die Ableitung $f$ . Funktionen mit dieser Eigenschaft bekommen einen Namen. Eine Funktion $F$ heißt Stammfunktion von $f$ , wenn

$F'(x) = f(x)$ für alle $x$ .

Eine Stammfunktion zu finden heißt also, das Ableiten rückwärts zu gehen: Man sucht eine Funktion, deren Ableitung $f$ ist. Mit $F$ ist auch $F + C$ für jede Konstante $C$ eine Stammfunktion, denn die Konstante fällt beim Ableiten weg. Umgekehrt unterscheiden sich zwei Stammfunktionen derselben Funktion immer nur um eine Konstante: Ihre Differenz hat die Ableitung $0$ , ist also konstant. Die Menge aller Stammfunktionen schreibt man als unbestimmtes Integral $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ .

Wie man mit einer Stammfunktion bestimmte Integrale ausrechnet, ohne Streifen zu summieren, zeigt die nächste Lektion.

Satz

Regeln für Stammfunktionen

Jede Ableitungsregel lässt sich rückwärts lesen. Für $n \neq -1$ :

\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad \int c \cdot f(x)\,dx = c \int f(x)\,dx, \qquad \int \bigl(f + g\bigr)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx

Schritt für Schritt

Eine Stammfunktion von $f(x) = 6x^2 - 4x + 5$

Summand für Summand, Faktoren bleiben stehen.

$6x^2$ : Exponent um $1$ erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen.
$6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3$

Schritt 1 von 4

Kurz geprüft

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von $f(x) = x^3 - 2$ ?

Häufige Fehler

Integral und Fläche gleichsetzen

Man berechnet $\int_0^4 (2 - x)\,dx = 0$ und schließt, zwischen Graph und Achse liege keine Fläche.

Richtig ist

Das Integral verrechnet Teile über und unter der Achse gegeneinander. Für den Flächeninhalt teilt man an den Nullstellen auf und nimmt die Beträge: $\left|\int_0^2 (2 - x)\,dx\right| + \left|\int_2^4 (2 - x)\,dx\right| = 2 + 2 = 4$ .

Häufige Fehler

Beim Aufleiten mit dem alten Exponenten teilen

Man schreibt $\int x^3\,dx = \frac{x^4}{3}$ .

Richtig ist

Geteilt wird durch den neuen Exponenten: $\frac{x^4}{4}$ . Die Probe durch Ableiten deckt den Fehler sofort auf: $\left(\frac{x^4}{3}\right)' = \frac{4}{3}x^3 \neq x^3$ .

Häufige Fehler

Stammfunktion und Ableitung verwechseln

Gefragt ist eine Stammfunktion von $x^2$ , und man antwortet $2x$ .

Richtig ist

$2x$ ist die Ableitung. Die Stammfunktion ist die Funktion, deren Ableitung $x^2$ ist: $\frac{1}{3}x^3$ . Merkhilfe: Beim Aufleiten wird der Exponent größer, beim Ableiten kleiner.

Zusammenfassung

Die Fläche unter einem Graphen wird von Unter- und Obersumme eingeschlossen. Bei steigendem $f$ ist ihr Abstand $(f(b) - f(a)) \cdot \frac{b - a}{n}$ und geht gegen $0$ .
Der gemeinsame Grenzwert ist das bestimmte Integral $\int_a^b f(x)\,dx$ . Für $x^2$ auf $[0;\,1]$ ergibt er genau $\frac{1}{3}$ .
Das Integral misst die orientierte Fläche: Teile unter der Achse zählen negativ. Für den Flächeninhalt teilt man an den Nullstellen auf und addiert Beträge.
Die Integralfunktion $I_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ wächst mit der Steigung $f(x)$ .
Eine Stammfunktion $F$ erfüllt $F' = f$ . Sie ist nur bis auf eine Konstante bestimmt.
$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ für $n \neq -1$ . Jede Stammfunktion prüft man durch Ableiten.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Berechne die Untersumme von $f(x) = x^2$ auf $[0;\,1]$ mit $n = 2$ gleich breiten Streifen.

Aufgabe 2Multiple Choice

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von $f(x) = 3x^2 + 2$ ?

Aufgabe 3Numerisch

Berechne die Untersumme von $f(x) = x$ auf $[0;\,1]$ mit $n = 4$ Streifen.

Aufgabe 4Numerisch

Für $f(x) = x^2$ auf $[0;\,2]$ mit $n = 10$ Streifen: Wie weit liegen Obersumme und Untersumme auseinander?

Aufgabe 5Numerisch

Wie groß ist der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von $f(x) = x - 1$ und der $x$ -Achse auf $[0;\,3]$ ? (Tipp: Dreiecke.)

Aufgabe 6Term eingeben

Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = 4x^3 - 6x + 1$ mit $F(0) = 0$ .

Aufgabe 7Freitext

Warum hat eine Funktion unendlich viele Stammfunktionen, und warum unterscheiden sich zwei Stammfunktionen derselben Funktion nur um eine Konstante?

Unter- und Obersumme für f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2 auf [0; 1][0;\,1][0;1] mit n=4n = 4n=4

Die Fläche unter x2x^2x2 exakt

Eine Stammfunktion von f(x)=6x2−4x+5f(x) = 6x^2 - 4x + 5f(x)=6x2−4x+5

Integral und Fläche gleichsetzen

Beim Aufleiten mit dem alten Exponenten teilen

Stammfunktion und Ableitung verwechseln

Zusammenfassung

Übungen

Unter- und Obersumme für $f(x) = x^2$ auf $[0;\,1]$ mit $n = 4$

Die Fläche unter $x^2$ exakt

Eine Stammfunktion von $f(x) = 6x^2 - 4x + 5$