Lektion 5.4

Integration mit linearer Substitution

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

erklären, warum $\int f(ax+b)\,dx$ nicht einfach $F(ax+b)$ ist,
die lineare Substitution $u = ax+b$ mit $du = a\,dx$ ausführen,
die Kettenregel rückwärts als „durch die innere Ableitung teilen“ sehen,
bestimmte Integrale nach der Substitution in $u$ -Grenzen oder zurück in $x$ rechnen.

Ableiten von $(2x+1)^4$ ist Kettenregel: außen die Potenz, innen Faktor $2$ . Integrieren ist die umgekehrte Richtung. Wer nur den Exponenten hochsetzt und $((2x+1)^5)/5$ hinschreibt, hat die innere $2$ vergessen — Ableiten würde $4(2x+1)^3 \cdot 2$ liefern, also das Doppelte von dem, was man wollte.

Die lineare Substitution macht das sichtbar: Man nennt das Innere $u$ , ersetzt $dx$ durch $du/a$ , integriert in $u$ und setzt zurück. Für Geraden im Argument reicht diese eine Idee; später kommt die allgemeine Substitution dazu.

Vermute zuerst

Eine Stammfunktion von $2x + 1$ ist $x^2 + x$ . Welche Stammfunktion hat $2(2x+1)$ , also die Kette mit innerer Ableitung $2$ ? Warte: Gesucht ist eine Stammfunktion von $(2x+1)$ selbst. Wenn $F'(u) = u$ und $u = 2x+1$ , was ist dann $\int (2x+1)\,dx$ ?

Fläche unter

(2x+1)^2

— Stammfunktion mit Faktor

1/2

C

= 0

$F(b) + C$: 4,5
$F(a) + C$: 0,167
$F(b) - F(a)$: 4,333
$\int_a^b (2x+1)^2\,dx$: 4,333

Der senkrechte Strich unten ist der Anstieg von $\frac{(2x+1)^3}{6}$ zwischen $a$ und $b$ . Er ist genau so groß wie die Fläche oben, wie weit du $a$ und $b$ auch ziehst. Verschiebe danach $C$ .

Innere Ableitung $a$ steht nach der Substitution im Nenner. Hier $a = 2$ und $\int u^2\,du = u^3/3$ , zusammen Nenner $6$ .

Probier es aus

Ohne den Faktor $6$ im Nenner: $(2x+1)^3/3$ abgeleitet ist $3(2x+1)^2 \cdot 2 / 3 = 2(2x+1)^2$ , das Doppelte. Deshalb $6 = 3 \cdot 2$ .
Lies $F(1) - F(0)$ ab. Das muss zur Fläche unter $f$ von $0$ bis $1$ passen.
Die Steigung von $F$ an einer Stelle $x$ ist $f(x)$ , der Hauptsatz — unabhängig davon, wie du $F$ gefunden hast.

Definition

Lineare Substitution

Sei $F$ eine Stammfunktion von $f$ und $a \neq 0$ . Dann ist

$\displaystyle\int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a} F(ax+b) + C$ .

Ausführung mit $u = ax + b$ :

$du = a\,dx$ , also $dx = du/a$ ,
die Grenzen $x = x_1$ und $x = x_2$ werden zu $u = ax_1+b$ und $u = ax_2+b$ ,
nach dem Integrieren entweder in $u$ die neuen Grenzen einsetzen oder $u$ zurückersetzen und die alten Grenzen nutzen.

Dasselbe als Kettenregel rückwärts: Die innere Ableitung $a$ muss „wegdividiert“ werden.

Schritt für Schritt

$\int (2x+1)^2\,dx$

Substitution $u = 2x+1$ .

$u = 2x+1$ , $du = 2\,dx$ , $dx = du/2$ .
$\int (2x+1)^2\,dx = \int u^2 \cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^3}{3}$

Schritt 1 von 3

Beispiel

Bestimmtes Integral in $u$ -Grenzen

$\int_0^1 e^{3x}\,dx$ . $u = 3x$ , $du = 3\,dx$ . $x = 0 \to u = 0$ , $x = 1 \to u = 3$ .

\int_0^1 e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}\int_0^3 e^{u}\,du = \frac{1}{3}\bigl(e^3 - 1\bigr)

Dasselbe ohne Umtaufen der Grenzen: $\frac13 e^{3x}$ von $0$ bis $1$ ist $\frac13(e^3 - e^0)$ .

Kurz geprüft

Eine Stammfunktion von $\cos(5x)$ ist

Häufige Fehler

Nur den äußeren Teil integrieren

$\int \sin(2x)\,dx$ ist nicht $-\cos(2x)$ . Ableiten würde $-\sin(2x)\cdot 2$ ergeben.

Ebenso $dx$ vergessen: Wer $u = 2x+1$ setzt und $\int u^2\,du$ ohne $1/2$ schreibt, verdoppelt das Ergebnis.

Richtig ist

Immer $du = a\,dx$ hinschreiben. Immer ableiten zur Probe.

Zusammenfassung

$\int f(ax+b)\,dx = \frac1a F(ax+b)+C$ , falls $F' = f$ und $a \neq 0$ .
Substitution: $u = ax+b$ , $dx = du/a$ , Grenzen mittransformieren oder zurücksubstituieren.
Das ist die Kettenregel von hinten: innere Ableitung in den Nenner.
Probe durch Ableiten. Bestimmte Integrale: neue Grenzen in $u$ oder alte in $x$ .

Übungen

Aufgabe 1Term eingeben

Eine Stammfunktion von $(3x-1)^4$ (ohne $C$ ).

Aufgabe 2Numerisch

Berechne $\int_0^{\pi/2} \cos(2x)\,dx$ .

Aufgabe 3Multiple Choice

Warum steht in $\int e^{kx}\,dx = \frac1k e^{kx}$ der Faktor $1/k$ ?

Aufgabe 4Freitext

Warum funktioniert die Formel mit $1/a$ nicht, wenn innen $x^2$ statt $ax+b$ steht?

∫(2x+1)2 dx\int (2x+1)^2\,dx∫(2x+1)2dx

Bestimmtes Integral in uuu-Grenzen

Nur den äußeren Teil integrieren

Zusammenfassung

Übungen

$\int (2x+1)^2\,dx$

Bestimmtes Integral in $u$ -Grenzen