Lektion 5.2

Der Hauptsatz und Flächen zwischen Kurven

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Im letzten Abschnitt hast du das Integral als Grenzwert vieler Rechteckflächen kennengelernt. Das ist anschaulich, aber mühsam: Schon für $x^2$ braucht man eine längere Rechnung mit Summenformeln. Gäbe es keine bessere Methode, wäre die Integralrechnung kaum nutzbar.

Die bessere Methode liefert ein überraschender Zusammenhang. Stell dir einen Wasserstand $F(t)$ vor und die Zuflussrate $f(t) = F'(t)$ . Wie viel Wasser kam zwischen den Zeitpunkten $a$ und $b$ hinzu? Entweder du summierst die Zuflussrate über die Zeit auf (das Integral), oder du liest einfach den Wasserstand zu Beginn und am Ende ab und bildest die Differenz. Beides muss dasselbe ergeben.

Satz

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Sei $f$ auf $[a;\,b]$ stetig und $F$ eine Stammfunktion von $f$ . Dann gilt:

Du bestimmst also eine Stammfunktion, setzt die obere Grenze ein und ziehst den Wert an der unteren Grenze ab. Man schreibt dafür die Klammer $\bigl[F(x)\bigr]_a^b$ . Die Konstante $C$ kannst du weglassen, weil sie sich aufhebt.

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Bigl[F(x)\Bigr]_a^b

Beispiel

Bestimmte Integrale berechnen

a) $\int_1^3 x^2\,dx$ : Eine Stammfunktion ist $F(x) = \frac{x^3}{3}$ .

\int_1^3 x^2\,dx = \Bigl[\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_1^3 = \tfrac{27}{3} - \tfrac13 = \tfrac{26}{3} \approx 8{,}67

b) $\int_0^{\pi} \sin x\,dx = \bigl[-\cos x\bigr]_0^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$ . Die Fläche unter einem Bogen der Sinuskurve beträgt genau $2$ . c) $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$ , weil die Fläche oberhalb und unterhalb der Achse gleich groß ist.

Definition

Fläche zwischen zwei Graphen

Verlaufen auf $[a;\,b]$ die Graphen von $f$ und $g$ so, dass $f(x) \ge g(x)$ gilt, dann ist die eingeschlossene Fläche das Integral der Differenz, also der Höhe des Streifens zwischen den Kurven. Die Grenzen $a$ und $b$ sind meist die Schnittpunkte der Graphen, die du aus $f(x) = g(x)$ erhältst.

Wechselt das Vorzeichen von $f - g$ im Intervall, musst du an den Schnittstellen aufteilen und die Beträge der Teilflächen addieren. Sonst heben sich positive und negative Beiträge gegenseitig auf.

A = \int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,dx

Beispiel

Fläche zwischen Gerade und Parabel

Gesucht ist die Fläche zwischen $f(x) = x + 2$ und $g(x) = x^2$ . Schnittpunkte: $x + 2 = x^2$ ergibt $x^2 - x - 2 = 0$ , also $(x-2)(x+1) = 0$ mit $x = -1$ und $x = 2$ . Zwischen den Schnittstellen liegt die Gerade oberhalb der Parabel (Test bei $x = 0$ : $f(0) = 2 > 0 = g(0)$ ).

A = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2)\,dx = \Bigl[\tfrac{x^2}{2} + 2x - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{-1}^{2} = \tfrac{10}{3} - \left(-\tfrac{7}{6}\right) = \tfrac{9}{2}

Die Zwischenwerte: $F(2) = 2 + 4 - \frac83 = \frac{10}{3}$ und $F(-1) = \frac12 - 2 + \frac13 = -\frac76$ . Die Fläche beträgt $4{,}5$ Flächeneinheiten.

Zusammenfassung

Hauptsatz: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ für eine beliebige Stammfunktion $F$ von $f$ .
Die Integrationskonstante $C$ hebt sich bei bestimmten Integralen auf.
Fläche zwischen zwei Graphen: Integral von obere Funktion minus untere Funktion, begrenzt durch die Schnittstellen.
Bei Vorzeichenwechsel der Differenz Fläche an den Nullstellen aufteilen und Beträge addieren.
Flächen unterhalb der $x$ -Achse liefern negative Integralwerte, die Flächenmaßzahl ist positiv.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Berechne $\int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx$ .

Aufgabe 2Multiple Choice

Was ergibt $\int_{-1}^{1} x^3\,dx$ ?

Aufgabe 3Numerisch

Berechne die Fläche zwischen den Graphen von $f(x) = x$ und $g(x) = x^2$ im Intervall $[0;\,1]$ .

Aufgabe 4Freitext

Die Funktion $f(x) = x^2 - 4$ schließt mit der $x$ -Achse eine Fläche ein. Berechne deren Inhalt.