Lektion 2.6

Rekonstruktion von Funktionen und Extremwertaufgaben

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

aus gegebenen Punkten, Steigungen oder Extremstellen eine ganzrationale Funktion aufbauen,
erklären, warum $n+1$ unabhängige Bedingungen genau einen Ansatz vom Grad $n$ festlegen,
eine Extremwertaufgabe als Funktion einer Variablen schreiben und den sinnvollen Bereich angeben,
den Kandidaten mit der zweiten Ableitung oder am Rand prüfen.

Bisher war die Funktion gegeben und man hat Punkte gesucht: Nullstellen, Hochpunkte. Jetzt ist es umgekehrt. Man kennt Eigenschaften und soll den Term rekonstruieren.

Ein typisches Abiturstück: „Der Graph geht durch $P(1 \mid 2)$ , hat bei $x = 0$ eine waagerechte Tangente und bei $x = 3$ eine Nullstelle.“ Das sind drei Bedingungen. Ein Polynom zweiten Grades hat drei Koeffizienten. Drei Unbekannte, drei Gleichungen — wenn die Bedingungen unabhängig sind, gibt es genau eine Lösung.

Dieselbe Idee steckt in Extremwertaufgaben. Ein Zaun der Länge $20$ m soll ein Rechteck maximaler Fläche einfassen. Die Fläche hängt von der Breite ab; man sucht den Hochpunkt dieser Flächenfunktion.

Vermute zuerst

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion vom Grad $2$ mit $f(0) = 0$ , $f(2) = 0$ und $f(1) = 3$ . Wie viele solche Funktionen gibt es?

Passt

f(x) = -3x^2 + 6x

zu den drei Bedingungen?

Punkt	x	y
Nullstelle	0	0
Hochpunkt	1	3
Nullstelle	2	0

Blende die Teile einzeln ein. Achte darauf, welcher Graph an den markierten Stellen eine Nullstelle hat.

Drei Bedingungen, eine Parabel. Mehr Bedingungen bräuchten einen höheren Grad.

Probier es aus

Die Nullstellen liegen bei $0$ und $2$ . Der Hochpunkt sollte bei $x = 1$ die Höhe $3$ haben. Stimmt das?
Blende $f'$ ein. Ist die Tangente bei $x = 1$ waagerecht?
Was passiert, wenn du dir $f(x) = -2x^2 + 4x$ vorstellst? Dieselbe Form, aber $f(1) = 2$ , nicht $3$ .

Definition

Rekonstruktion

Unter Rekonstruktion versteht man: Man bestimmt die Koeffizienten eines Ansatzes so, dass gegebene Bedingungen erfüllt sind.

Üblicher Ansatz für ganzrational vom Grad $n$ :

$f(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0$ .

Jede Bedingung wird eine Gleichung:

Punkt $(x_0 \mid y_0)$ : $f(x_0) = y_0$ ,
Steigung $m$ bei $x_0$ : $f'(x_0) = m$ ,
Extremstelle bei $x_0$ : $f'(x_0) = 0$ ,
Wendestelle bei $x_0$ : $f''(x_0) = 0$ .

$n+1$ unabhängige Bedingungen legen den Grad- $n$ -Ansatz eindeutig fest. Kennt man Nullstellen, setzt man besser in Faktorform an.

Schritt für Schritt

Parabel durch $P(1 \mid 4)$ mit Scheitel $S(0 \mid 1)$

Scheitel bei $x = 0$ heißt: $f'(0) = 0$ und $f(0) = 1$ .

Ansatz $f(x) = ax^2 + bx + c$ . Aus $f(0) = 1$ folgt $c = 1$ .

Schritt 1 von 3

Vom Zaun zur Funktion. $20$ m Zaun, drei Seiten eines Rechtecks (die vierte ist eine Wand). Breite $x$ , Tiefe $y$ . Es gilt $2y + x = 20$ , also $y = 10 - x/2$ . Die Fläche ist $A(x) = x \cdot y = x(10 - x/2)$ . Nur $x$ zwischen $0$ und $20$ ist geometrisch möglich. Der Hochpunkt von $A$ auf diesem Intervall ist die Lösung.

Definition

Extremwertaufgabe

Eine Extremwertaufgabe sucht den größten oder kleinsten Wert einer Größe, die von einer wählbaren Variablen abhängt.

Ablauf:

1. Skizze, Größen benennen.
2. Zielgröße als Funktion einer Variablen schreiben (Nebenbedingungen einsetzen).
3. Definitionsbereich aus der Sache: Längen positiv, oft ein abgeschlossenes Intervall.
4. $f'(x) = 0$ im Inneren, Kandidaten mit $f''$ oder Wertevergleich prüfen.
5. Ränder nicht vergessen: Auf einem abgeschlossenen Intervall kann das Extremum am Rand liegen.
6. Die Antwort in der Sache formulieren (nicht nur „ $x = 10$ “).

Beispiel

Maximale Rechteckfläche am Zaun

$A(x) = 10x - \tfrac12 x^2$ auf $(0,\,20)$ .

A'(x) = 10 - x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 10, \quad A''(x) = -1 < 0

Hochpunkt. $y = 10 - 5 = 5$ , Fläche $A(10) = 50$ . An den Rändern $A \to 0$ . Das Rechteck ist $10$ m breit und $5$ m tief. Die Wand trägt die lange Seite.

Kurz geprüft

Bei einer Extremwertaufgabe auf $[0;\,4]$ ist $f'(2) = 0$ und $f''(2) > 0$ . Was muss man trotzdem noch tun?

Häufige Fehler

Den Definitionsbereich weglassen

Wer $A'(x) = 0$ löst und $x = -2$ als Breite akzeptiert, hat die Sache verloren. Negative Längen gibt es nicht. Ebenso: Eine Nullstelle von $f'$ außerhalb des Intervalls ist kein Kandidat.

Zweiter Schnitzer: Den gefundenen $x$ -Wert als Antwort stehen lassen, obwohl nach der Fläche oder nach beiden Seiten gefragt war.

Richtig ist

Zuerst den sachlichen Bereich aufschreiben. Am Ende die Größe nennen, nach der gefragt wurde.

Zusammenfassung

Rekonstruktion: Ansatz mit so vielen Koeffizienten, wie Bedingungen da sind, dann Gleichungssystem.
Bekannte Nullstellen gehören in die Faktorform.
Extremwert: eine Variable, Definitionsbereich, $f' = 0$ , Ränder, Antwort in der Sache.
Lokales Extremum (aus $f''$ ) ist nicht automatisch das globale auf einem Intervall.

Übungen

Aufgabe 1Term eingeben

Bestimme $f(x) = ax^2 + bx$ mit $f(1) = 0$ und $f(2) = 2$ .

Aufgabe 2Numerisch

Ein Rechteck hat Umfang $24$ . Wie groß ist die maximale Fläche?

Aufgabe 3Multiple Choice

Wie viele Koeffizienten hat der allgemeine Ansatz einer ganzrationalen Funktion dritten Grades?

Aufgabe 4Freitext

Warum muss man bei einer Extremwertaufgabe auf einem abgeschlossenen Intervall die Randpunkte prüfen?