Lektion 4.1

Natürliche Exponentialfunktion

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

Exponentialfunktionen $a\cdot b^{x}$ von Potenzfunktionen $x^n$ unterscheiden,
erklären, was die Zahl $e$ auszeichnet: Die Steigung von $e^{x}$ ist an jeder Stelle gleich der Höhe,
die Ableitung von $e^{kx}$ und von $b^{x}$ bestimmen,
Wachstum und Zerfall an $f(x) = a\,e^{kx}$ ablesen.

Ein Kapital von $1000$ Euro, das jedes Jahr um $5\,\%$ wächst, steht nach einem Jahr bei $1050$ , nach zwei Jahren bei $1102{,}50$ , nach drei Jahren bei $1157{,}63$ . Jedes Jahr wird mit $1{,}05$ multipliziert, nicht $50$ Euro dazugerechnet. Nach $20$ Jahren sind es rund $2653$ Euro, nach $40$ Jahren rund $7040$ . Die Zuwächse selbst werden immer größer.

Dasselbe Muster bei einer Bakterienkultur, die sich alle Stunden verdoppelt, und — nur mit einem Faktor kleiner als $1$ — beim radioaktiven Zerfall. Die Formel ist immer von der Form $f(t) = a \cdot b^{t}$ : Die Variable steht im Exponenten.

Solche Funktionen steigen (oder fallen) anders als alles, was du von Geraden und Parabeln kennst. In dieser Lektion siehst du den Graphen, lernst die besondere Basis $e$ kennen und leitest ab.

Vermute zuerst

Zwei Funktionen starten bei $x = 0$ beide bei $1$ und steigen: $p(x) = 1 + x$ (eine Gerade) und $f(x) = 2^{x}$ . Welche ist bei $x = 10$ größer?

Exponentialfunktion gegen Gerade

a

= 1

k

= 0,5

f(x) = e^{0{,}5x}

$D_f$: alle reellen x
$f(0)$: 1
$f(x) = 0$: keine im Fenster

Exponentialfunktion. Definitionsbereich: alle reellen x. Zum Vergleich gestrichelt: die Gerade. Symmetrie: weder gerade noch ungerade.

Die $x$ -Achse ist waagerechte Asymptote: $e^{kx}$ wird für $k > 0$ nach links beliebig klein, nie negativ. $a$ streckt, $k$ steuert, wie schnell.

Probier es aus

Die gestrichelte Gerade ist $x + 1$ . Die Exponentialfunktion startet bei $a = 1$ , $k = 0{,}5$ , also $e^{0{,}5 x}$ .
Schieb $k$ nach oben. Ab wann liegt die Exponentialfunktion rechts im Bild klar über der Geraden?
Setze $k$ negativ, etwa $-0{,}5$ . Der Graph fällt und nähert sich der $x$ -Achse, ohne sie zu schneiden.
Setze $a$ negativ. Der ganze Graph wird an der $x$ -Achse gespiegelt: Zerfall unter der Achse.

Definition

Exponentialfunktion

Eine Funktion der Form $f(x) = a \cdot b^{x}$ mit $a \neq 0$ und $b > 0$ , $b \neq 1$ heißt Exponentialfunktion zur Basis $b$ .

$a = f(0)$ ist der Startwert (der $y$ -Achsenabschnitt).
$b > 1$ : Wachstum. Der Graph steigt, von links kommt er aus der $x$ -Achse, nach rechts wird er steil.
$0 < b < 1$ : Zerfall. Der Graph fällt, nach rechts nähert er sich der $x$ -Achse.

Der Definitionsbereich ist $\mathbb{R}$ , der Wertebereich ist $(0,\,\infty)$ für $a > 0$ und $(-\infty,\,0)$ für $a < 0$ . Nullstellen gibt es keine: $b^{x}$ ist nie $0$ .

Jede Exponentialfunktion lässt sich auf dieselbe Basis umschreiben, weil $b^{x} = e^{x \ln b}$ . Deshalb reicht in der Analysis oft eine einzige Funktion: $e^{x}$ .

Warum gerade $e$ ? Man kann $2^{x}$ ableiten, und $10^{x}$ , und jede andere Basis. Die Ableitung ist immer ein Vielfaches der Funktion selbst: $(b^{x})' = c \cdot b^{x}$ , mit einer Zahl $c$ , die von $b$ abhängt. Für $b = 2$ ist $c \approx 0{,}69$ , für $b = 3$ ist $c \approx 1{,}10$ . Dazwischen gibt es genau eine Basis, bei der $c = 1$ ist: Die Steigung ist an jeder Stelle gleich dem Funktionswert. Diese Basis heißt $e$ , die Eulersche Zahl, $e \approx 2{,}71828$ .

Anschaulich: Am Punkt $(0 \mid 1)$ hat der Graph von $e^{x}$ die Steigung $1$ . Die Tangente dort ist die Gerade $y = x + 1$ , genau die Vergleichsgerade aus dem Bild oben.

Die Steigung von

e^{x}

ist die Höhe

$x$: −1,5
$f(x)$: 0,223
$f'(x)$: 0,223

$f$ steigt an dieser Stelle, die Tangente hat die Steigung $0{,}22$ . Deshalb liegt der Punkt von $f'$ über der $x$ -Achse.

Nirgendwo sonst ist die Ableitung die Funktion selbst. Genau das macht $e^{x}$ zur natürlichen Exponentialfunktion.

Probier es aus

Zieh den Punkt über den Graphen. Die Tangentensteigung steht unten als Punkt von $f'$ .
Vergleiche an ein paar Stellen den $y$ -Wert oben mit dem $y$ -Wert von $f'$ unten. Was fällt auf?
Drück auf „Ganzen Graphen von f' zeigen“. Die beiden Kurven liegen aufeinander: $f' = f$ .

Definition

Natürliche Exponentialfunktion

Die Funktion $f(x) = e^{x}$ heißt natürliche Exponentialfunktion. Es gilt

$\displaystyle (e^{x})' = e^{x}$ .

Mit der Kettenregel folgt für einen inneren linearen Term

$\displaystyle (e^{kx})' = k\,e^{kx}$ .

Und für eine beliebige Basis $b > 0$ :

$\displaystyle (b^{x})' = b^{x} \ln b$ ,
weil $b^{x} = e^{x \ln b}$ und $\ln b$ die innere Ableitung ist.

$\ln b$ ist der natürliche Logarithmus von $b$ , die nächste Lektion. Für den Moment reicht: $\ln e = 1$ , $\ln 2 \approx 0{,}693$ , $\ln 10 \approx 2{,}303$ .

Schritt für Schritt

Ableiten von $f(x) = 3e^{2x}$

Äußere Funktion $e^{u}$ , innere Funktion $u = 2x$ , Faktor $3$ .

Der Faktor $3$ bleibt stehen (Faktorregel).
$f'(x) = 3 \cdot (e^{2x})'$

Schritt 1 von 2

Beispiel

Radioaktiver Zerfall

Eine Substanz zerfällt nach $N(t) = N_0 e^{-kt}$ mit $k > 0$ . $N_0$ ist die Anfangsmenge, $t$ die Zeit. Die Halbwertszeit $T$ ist die Zeit, in der $N$ auf die Hälfte sinkt:

N_0 e^{-kT} = \tfrac12 N_0 \quad\Rightarrow\quad e^{-kT} = \tfrac12 \quad\Rightarrow\quad T = \frac{\ln 2}{k}

Je größer $k$ , desto kürzer die Halbwertszeit. Die Ableitung $N'(t) = -k N_0 e^{-kt} = -k N(t)$ sagt: In jedem Moment ist die Zerfallsgeschwindigkeit proportional zur noch vorhandenen Menge. Genau das steckt im Faktor $e^{-kt}$ .

Kurz geprüft

Wie lautet die Ableitung von $f(x) = e^{-x}$ ?

Häufige Fehler

$x^{2}$ und $2^{x}$ verwechseln

Bei $x^{2}$ steht $x$ in der Basis, der Exponent ist fest: Potenzfunktion, Ableitung $2x$ . Bei $2^{x}$ steht $x$ im Exponenten: Exponentialfunktion, Ableitung $2^{x}\ln 2$ .

Ein zweiter Schnitzer: $(e^{x^{2}})' = e^{x^{2}}$ zu schreiben. Innen steht $x^{2}$ , die innere Ableitung ist $2x$ . Also $(e^{x^{2}})' = 2x\,e^{x^{2}}$ .

Richtig ist

Immer nachschauen, wo $x$ steht. Und bei $e^{\text{etwas}}$ die Kettenregel nicht vergessen: mal Ableitung von „etwas“.

Zusammenfassung

$a\cdot b^{x}$ hat die Variable im Exponenten. $b > 1$ wächst, $0 < b < 1$ zerfällt. Keine Nullstelle, Asymptote ist die $x$ -Achse.
$e \approx 2{,}718$ ist die Basis, bei der Steigung und Höhe an jeder Stelle übereinstimmen: $(e^{x})' = e^{x}$ .
$(e^{kx})' = k e^{kx}$ und $(b^{x})' = b^{x} \ln b$ .
Wachstum und Zerfall: $a e^{kx}$ mit $k > 0$ bzw. $k < 0$ . Die Halbwertszeit erfüllt $e^{kT} = 1/2$ .

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Welche Funktion ist eine Exponentialfunktion?

Aufgabe 2Term eingeben

Bestimme $f'(x)$ für $f(x) = 2e^{3x}$ .

Aufgabe 3Numerisch

Wie groß ist die Steigung von $f(x) = e^{x}$ an der Stelle $x = 0$ ?

Aufgabe 4Multiple Choice

Die Funktion $N(t) = 80 e^{-0{,}2 t}$ beschreibt einen Zerfall. Was bedeutet die $80$ ?

Aufgabe 5Term eingeben

Bestimme $f'(x)$ für $f(x) = e^{-x^{2}}$ (das ist die Glockenkurve ohne den Vorfaktor der Normalverteilung).

Aufgabe 6Freitext

Erkläre in eigenen Worten, warum $e$ die „natürliche“ Basis ist. Was wäre an $2^{x}$ unnatürlich beim Ableiten?