Lektion 12.2

Bernoulli-Ketten und die Binomialverteilung

30 min Lesezeit

Ein Bauteil ist mit Wahrscheinlichkeit $5\,\%$ defekt. Du prüfst $20$ Teile aus der laufenden Produktion. Wie wahrscheinlich ist es, dass genau zwei defekt sind? Oder höchstens zwei? Die Baumdiagramme dafür wären riesig: Es gibt über eine Million Pfade.

Zum Glück haben solche Aufgaben eine gemeinsame Struktur: Immer wird derselbe Versuch wiederholt, jedes Mal gibt es nur „Treffer" oder „Niete", und die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt gleich. Für diese Struktur gibt es eine fertige Formel, die Binomialverteilung. Sie taucht bei Qualitätskontrollen, Umfragen, Tests mit Ankreuzfragen und vielen weiteren Situationen auf.

Definition

Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette

Ein Bernoulli-Experiment hat genau zwei mögliche Ausgänge: Treffer (Wahrscheinlichkeit $p$ ) und Niete (Wahrscheinlichkeit $1-p$ ). Typisches Beispiel ist ein Münzwurf oder „Sechs gewürfelt: ja oder nein".

Werden $n$ solche Experimente unabhängig voneinander und mit gleichbleibender Trefferwahrscheinlichkeit $p$ durchgeführt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ . Die Zufallsgröße $X$ zählt die Treffer und kann die Werte $0, 1, \dots, n$ annehmen.

X = \text{Anzahl der Treffer in } n \text{ Versuchen}, \qquad X \in \{0, 1, \dots, n\}

Satz

Formel von Bernoulli (Binomialverteilung)

Für eine Bernoulli-Kette der Länge $n$ mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$ gilt für $k = 0, 1, \dots, n$ :

Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ zählt, auf wie viele Arten die $k$ Treffer auf die $n$ Positionen verteilt werden können. Jeder einzelne Pfad mit genau $k$ Treffern hat nach der Pfadregel die Wahrscheinlichkeit $p^k\,(1-p)^{n-k}$ .

P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^k\,(1-p)^{n-k}

Beispiel

Zehn Münzwürfe

Wie wahrscheinlich sind genau fünf Wappen bei zehn Würfen einer fairen Münze? Hier ist $n = 10$ , $p = 0{,}5$ , $k = 5$ . Mit $\binom{10}{5} = 252$ gilt:

P(X = 5) = 252 \cdot 0{,}5^{5}\cdot 0{,}5^{5} = \frac{252}{1024} \approx 0{,}246

Das ist die wahrscheinlichste Anzahl, trotzdem tritt sie nur in etwa einem Viertel aller Fälle auf. Dass genau der Mittelwert herauskommt, ist also keineswegs sicher.

Definition

Erwartungswert und Standardabweichung

Der Erwartungswert $E(X)$ ist der Wert, um den die Trefferzahl bei sehr vielen Wiederholungen des gesamten Experiments im Mittel liegt. Bei der Binomialverteilung ist er einfach die Kettenlänge mal die Trefferwahrscheinlichkeit: Bei $100$ Münzwürfen erwartest du $50$ Wappen.

Die Standardabweichung $\sigma$ misst, wie stark die Trefferzahl typischerweise um den Erwartungswert streut. Je größer $\sigma$ , desto breiter ist die Verteilung. Bei $n = 100$ und $p = 0{,}5$ ist $\sigma = 5$ : Die meisten Ergebnisse liegen zwischen $45$ und $55$ Treffern.

E(X) = n\cdot p, \qquad \sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}

Zusammenfassung

Eine Bernoulli-Kette besteht aus $n$ unabhängigen Versuchen mit zwei Ausgängen und gleichbleibender Trefferwahrscheinlichkeit $p$ .
Formel: $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}$ .
Erwartungswert $E(X) = n p$ ; Standardabweichung $\sigma = \sqrt{n p (1-p)}$ .
Der Binomialkoeffizient zählt die Pfade, in denen genau $k$ Treffer vorkommen.
Für „höchstens/mindestens" addierst du Einzelwahrscheinlichkeiten oder nutzt das Gegenereignis.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Ein fairer Würfel wird fünfmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Sechsen? Gib den Wert auf vier Stellen gerundet an.

Aufgabe 2Numerisch

Ein Bauteil ist mit Wahrscheinlichkeit $0{,}3$ fehlerhaft. Wie viele fehlerhafte Teile erwartest du unter $200$ geprüften Teilen?

Aufgabe 3Multiple Choice

Bei welcher Situation ist die Trefferzahl nicht binomialverteilt?

Aufgabe 4Freitext

Eine Münze wird viermal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten $P(X = k)$ für alle $k = 0, \dots, 4$ und überprüfe, dass ihre Summe $1$ ergibt.