Lektion 12.4

Simulationen von Zufallsexperimenten

35 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

ein Zufallsexperiment mit Zufallszahlen nachbilden und dabei jedem Ergebnis den richtigen Bereich von Zufallszahlen zuordnen
mit vielen Simulationsdurchläufen Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte schätzen, die man nicht leicht ausrechnen kann
das Gesetz der großen Zahlen erklären und mit der Ungleichung von Tschebyschow begründen
einschätzen, wie genau ein Simulationsergebnis ist und wie viele Durchläufe man braucht

Wenn Rechnen zu schwer wird. Bei manchen Zufallsexperimenten ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung einfach: Für zwei Sechsen in zwei Würfen genügt die Pfadregel. Schon bei harmlos klingenden Fragen wird es aber schnell unübersichtlich. Wie oft muss man im Mittel würfeln, bis jede Augenzahl mindestens einmal gefallen ist? Wie viele Packungen muss man kaufen, bis man alle Sammelbilder einer Serie hat? Wie wahrscheinlich ist es, dass in einer Klasse von $25$ Personen zwei am selben Tag Geburtstag haben?

Statt zu rechnen, kann man das Experiment nachspielen: sehr oft, schnell und billig, mit einem Computer und Zufallszahlen. Die relative Häufigkeit aus vielen Durchläufen ist dann ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit. Dieses Vorgehen heißt Simulation. Es ist heute in Physik, Wirtschaft, Medizin und Klimaforschung ein Standardwerkzeug, oft unter dem Namen Monte-Carlo-Methode, nach dem Spielcasino in Monaco.

Vermute zuerst

Man würfelt so lange, bis jede Augenzahl von $1$ bis $6$ mindestens einmal gefallen ist. Wie viele Würfe braucht man im Mittel?

Würfeln, bis alle Augenzahlen da sind

$\text{Durchläufe}$: 0
$\text{mittlere Zahl der Würfe}$: –
$\text{exakter Erwartungswert}$: ?

Ein Durchlauf: So lange ziehen, bis jede Augenzahl von $1$ bis $6$ mindestens einmal vorkam. Schätze vorher: Wie viele Würfe braucht man im Mittel?

Jeder Balken zählt, wie viele Durchläufe genau so viele Würfe gebraucht haben. Die durchgezogene Linie ist der Mittelwert aller Durchläufe.

Probier es aus

Starte einen einzelnen Durchlauf und sieh dir die Folge an. Fett sind die Würfe, die eine neue Augenzahl bringen. Wo in der Folge liegen die langen Wartezeiten?
Lass $10$ und dann $100$ Durchläufe laufen. Wie stark bewegt sich der Mittelwert noch?
Lass $1000$ Durchläufe laufen und zeig dann den exakten Wert. Wie viele Stellen stimmen?
Beschreibe die Form des Histogramms. Warum ist es nicht symmetrisch?

Definition

Simulation

Eine Simulation bildet ein Zufallsexperiment mit Zufallszahlen nach. Sie läuft in vier Schritten ab:

1. Modell festlegen. Welche Ergebnisse gibt es, und mit welchen Wahrscheinlichkeiten? Welche Größe wird gezählt oder gemessen?
2. Zufallszahlen zuordnen. Jedem Ergebnis wird ein Bereich von Zufallszahlen zugeordnet, dessen Anteil genau der Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses entspricht.
3. Oft wiederholen. Das Experiment wird viele Male durchgespielt, jedes Mal mit neuen Zufallszahlen.
4. Auswerten. Die relative Häufigkeit eines Ereignisses schätzt seine Wahrscheinlichkeit, der Mittelwert einer Größe schätzt ihren Erwartungswert.

Zufallszahlen liefern Taschenrechner (Taste „Ran#“) und Tabellenkalkulationen: $\texttt{ZUFALLSZAHL()}$ ergibt eine Zahl zwischen $0$ und $1$ , $\texttt{ZUFALLSBEREICH(1;6)}$ eine ganze Zahl von $1$ bis $6$ . Computer erzeugen sie mit einer festen Rechenvorschrift. Streng genommen sind es deshalb Pseudozufallszahlen, für Simulationen verhalten sie sich aber wie echter Zufall.

Schritt für Schritt

Zufallszahlen den Ergebnissen zuordnen

Eine Reißzwecke landet mit Wahrscheinlichkeit $0{,}62$ mit der Spitze nach oben. Ein Würfel zeigt jede Augenzahl mit $\frac{1}{6}$ . Wie simuliert man beides mit einer Zufallszahl $z$ zwischen $0$ und $1$ ?

Reißzwecke: Die Zahlen von $0$ bis $1$ in zwei Bereiche teilen, deren Längen den Wahrscheinlichkeiten entsprechen.
$z < 0{,}62 \ \Rightarrow\ \text{Spitze oben}, \qquad z \ge 0{,}62 \ \Rightarrow\ \text{Spitze unten}$

Schritt 1 von 3

Kurz geprüft

Eine Basketballspielerin trifft einen Freiwurf mit Wahrscheinlichkeit $0{,}7$ . Du simulierst mit einstelligen Zufallsziffern $0$ bis $9$ . Welche Zuordnung ist richtig?

Warum funktioniert das überhaupt? Eine Simulation liefert nie den exakten Wert. Nach $100$ Durchläufen kann die relative Häufigkeit noch deutlich danebenliegen. Dass sie sich mit mehr Durchläufen der Wahrscheinlichkeit nähert, ist eine der wichtigsten Tatsachen der Stochastik: das Gesetz der großen Zahlen. Im folgenden Versuch kannst du es selbst beobachten. Bei der Reißzwecke kennt man $p$ nicht im Voraus. Die Simulation tut hier so, als würdest du echte Würfe zählen.

Die relative Häufigkeit pendelt sich ein

$n \text{ (Würfe)}$: 0
$\text{Wappen}$: 0
$h_n = \tfrac{\text{Treffer}}{n}$: –
$p$: 0,5

Was erwartest du: Bei wie vielen von 10 Würfen kommt Wappen? Und bei 1000? Wirf und vergleiche.

Das helle Band reicht von $p - \frac{1}{\sqrt{n}}$ bis $p + \frac{1}{\sqrt{n}}$ . Es wird mit wachsendem $n$ enger, aber nur langsam: Für die halbe Breite braucht man viermal so viele Würfe.

Probier es aus

Wirf die Münze zehnmal einzeln. Wie stark springt die relative Häufigkeit von Wurf zu Wurf?
Wirf dann mehrmals $1000$ -mal. Verlässt die Kurve das helle Band noch?
Wechsle zur Reißzwecke. Schätze $p$ nach $100$ , $1000$ und $10\,000$ Würfen, bevor du die Wahrscheinlichkeit aufdeckst.

Satz

Gesetz der großen Zahlen (Bernoulli)

Ein Ereignis habe bei jedem Versuch die Wahrscheinlichkeit $p$ , die Versuche seien unabhängig. $h_n$ sei die relative Häufigkeit des Ereignisses nach $n$ Versuchen. Dann gilt für jede noch so kleine Abweichung $\varepsilon > 0$ :

P\big(|h_n - p| \ge \varepsilon\big) \le \frac{p(1 - p)}{n\,\varepsilon^2} \ \xrightarrow{\ n \to \infty\ }\ 0

Die Zahl

\pi

mit Zufallspunkten schätzen

$n$: 0
$\text{im Viertelkreis}$: 0
$4 \cdot \tfrac{\text{innen}}{n}$: –
$\text{Abweichung von } \pi$: –

Jeder Punkt landet an einer zufälligen Stelle im Quadrat mit der Seitenlänge $1$ . Der Viertelkreis hat die Fläche $\frac{\pi}{4}$ , das Quadrat die Fläche $1$ . Welcher Anteil der Punkte wird wohl im Viertelkreis landen?

Die kräftig gefärbten Punkte liegen im Viertelkreis mit dem Radius $1$ , die blassen außerhalb. Der Viertelkreis hat die Fläche $\frac{\pi}{4} \approx 0{,}785$ , das Quadrat die Fläche $1$ .

Probier es aus

Setze $10$ Punkte und dann $100$ . Wie weit liegt der Schätzwert noch von $\pi \approx 3{,}1416$ entfernt?
Setze $10\,000$ Punkte. Wie viele Stellen stimmen? Drück auf „Neu“ und wiederhole: Stimmen dieselben Stellen wieder?
Warum ist der Anteil der Punkte im Viertelkreis ungefähr $\frac{\pi}{4}$ ?

Beispiel

Wie genau ist eine Simulation?

Der Anteil der Punkte im Viertelkreis ist eine relative Häufigkeit mit $p = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785$ . Seine Standardabweichung ist $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ . Der Schätzwert für $\pi$ ist viermal so groß, also auch seine Standardabweichung:

\sigma_{\pi} = 4 \cdot \sqrt{\frac{0{,}785 \cdot 0{,}215}{n}} \approx \frac{1{,}64}{\sqrt{n}}

Mit $n = 10\,000$ Punkten ist $\sigma_\pi \approx 0{,}016$ . Nach der $2\sigma$ -Regel liegt der Schätzwert dann mit etwa $95\,\%$ Wahrscheinlichkeit zwischen $3{,}11$ und $3{,}17$ . Für eine weitere richtige Stelle muss $\sigma_\pi$ zehnmal kleiner werden, also $\sqrt{n}$ zehnmal größer und $n$ hundertmal größer. Für $\pi$ gibt es viel bessere Verfahren. Für Fragen ohne Formel ist die Simulation aber oft der einzige Weg, und dieselbe Abschätzung sagt, wie viele Durchläufe man braucht.

Kurz geprüft

Eine Simulation schätzt eine Wahrscheinlichkeit von etwa $0{,}5$ . Wie viele Durchläufe braucht man ungefähr, damit die Standardabweichung der relativen Häufigkeit höchstens $0{,}01$ beträgt?

Simulation und Rechnung vergleichen

n

= 10

p

= 0,3

$\text{Ketten}$: 0
$\text{häufigste Trefferzahl}$: –
$\text{wahrscheinlichste Trefferzahl}$: 3
$\text{Abweichung (halbe Summe)}$: –

Eine Kette besteht aus $n = 10$ Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0{,}3$ . Jede Kette liefert eine Trefferzahl zwischen $0$ und $10$ . Welche Trefferzahl kommt wohl am häufigsten vor?

Wo man die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen kann, kann man eine Simulation an ihnen prüfen. Das ist der übliche Test, ob ein Simulationsprogramm richtig arbeitet.

Probier es aus

Simuliere $1000$ Ketten aus je $10$ Versuchen mit $p = 0{,}3$ . Passen die gefüllten Balken in die umrandeten?
Welche Trefferzahl kommt am häufigsten vor? Stimmt sie mit der wahrscheinlichsten Trefferzahl der Binomialverteilung überein?

Häufige Fehler

Zu wenige Durchläufe

Nach $20$ Durchläufen gibt man die relative Häufigkeit $0{,}35$ als Wahrscheinlichkeit an.

Richtig ist

Bei $n = 20$ ist die Standardabweichung der relativen Häufigkeit bis zu $\sqrt{\frac{0{,}25}{20}} \approx 0{,}11$ . Das Ergebnis kann leicht um $0{,}2$ danebenliegen. Man braucht hunderte oder tausende Durchläufe und gibt nur so viele Stellen an, wie die Genauigkeit erlaubt.

Häufige Fehler

Ein Bereich zu viel oder zu wenig

Für $p = 0{,}25$ ordnet man mit zweistelligen Zufallszahlen $00$ bis $25$ dem Treffer zu.

Richtig ist

Das sind $26$ Zahlen, also $p = 0{,}26$ . Richtig ist $00$ bis $24$ . Bei jeder Zuordnung zählt man nach, ob die Anzahl stimmt.

Häufige Fehler

Auf einen Ausgleich warten

Nach vielen Würfen ohne Sechs glaubt man, die Sechs sei jetzt „fällig“.

Richtig ist

Unabhängige Versuche haben kein Gedächtnis. Die Wahrscheinlichkeit bleibt bei jedem Wurf $\frac{1}{6}$ . Das Gesetz der großen Zahlen macht eine Aussage über relative Häufigkeiten auf lange Sicht, nicht über den nächsten Wurf.

Zusammenfassung

Eine Simulation bildet ein Zufallsexperiment mit Zufallszahlen nach: Modell, Zuordnung, viele Wiederholungen, Auswertung.
Jedem Ergebnis wird ein Bereich der Zufallszahlen zugeordnet, dessen Anteil seiner Wahrscheinlichkeit entspricht.
Relative Häufigkeiten schätzen Wahrscheinlichkeiten, Mittelwerte schätzen Erwartungswerte.
Gesetz der großen Zahlen: $P(|h_n - p| \ge \varepsilon) \le \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \to 0$ . Es folgt aus der Ungleichung von Tschebyschow.
Die Genauigkeit wächst nur mit $\sqrt{n}$ : Für eine weitere Stelle braucht man hundertmal so viele Durchläufe.
Abweichungen gleichen sich nicht aus. Sie verlieren nur bei wachsendem $n$ an Gewicht.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Mit $z$ als Zufallszahl zwischen $0$ und $1$ : Welche Formel simuliert einen Würfel mit den Augenzahlen $1$ bis $6$ ?

Aufgabe 2Numerisch

Bei einer Simulation von $500$ Durchläufen tritt ein Ereignis $185$ -mal ein. Welchen Schätzwert für seine Wahrscheinlichkeit liefert die Simulation?

Aufgabe 3Numerisch

Wie viele Würfe braucht man im Mittel, bis zum ersten Mal eine Sechs fällt?

Aufgabe 4Numerisch

Eine Sammelserie hat $4$ verschiedene Figuren, jede Packung enthält eine zufällige davon, alle gleich wahrscheinlich. Wie viele Packungen braucht man im Mittel für die vollständige Serie? Gib zwei Nachkommastellen an.

Aufgabe 5Numerisch

Eine Münze wird $10\,000$ -mal geworfen. Schätze mit der Ungleichung von Tschebyschow nach oben ab, wie wahrscheinlich die relative Häufigkeit von Wappen um mindestens $0{,}02$ von $0{,}5$ abweicht.

Aufgabe 6Multiple Choice

Bei einem Roulette fiel neunmal hintereinander Rot. Was gilt für den zehnten Wurf?

Aufgabe 7Freitext

Beschreibe eine Simulation, mit der man die Wahrscheinlichkeit schätzen kann, dass in einer Klasse mit $25$ Personen mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben. Gib alle vier Schritte an und sage, wie viele Durchläufe für eine Genauigkeit von etwa $\pm 0{,}02$ sinnvoll sind.