Lektion 12.3

Sigma-Regeln und Prognoseintervall

35 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

erklären, warum man bei vielen Versuchen nicht einen einzelnen Wert, sondern einen Bereich vorhersagt
mit den Sigma-Regeln abschätzen, in welchem Bereich um $\mu$ eine binomialverteilte Zufallsgröße mit bestimmter Wahrscheinlichkeit liegt
Prognoseintervalle für absolute und relative Häufigkeiten aufstellen und die Laplace-Bedingung prüfen
begründen, warum die Genauigkeit einer Prognose nur mit $\sqrt{n}$ wächst

Wie viele Sechsen sind normal? Ein Würfel wird $600$ -mal geworfen. Im Mittel erwartet man $600 \cdot \frac{1}{6} = 100$ Sechsen. Genau $100$ Sechsen kommen aber selten vor: Die Wahrscheinlichkeit dafür ist nur etwa $4{,}4\,\%$ . Mal sind es $93$ , mal $108$ . Jemand wirft $600$ -mal und erhält $121$ Sechsen. Ist das noch Zufall, oder ist der Würfel gezinkt?

Um das zu entscheiden, braucht man einen Bereich, in dem die Anzahl der Sechsen bei einem fairen Würfel fast immer liegt. Man könnte ihn mit der Binomialverteilung mühsam Wert für Wert ausrechnen. Es geht aber viel einfacher: Bei großem $n$ hängt die Antwort nur vom Erwartungswert $\mu$ und von der Standardabweichung $\sigma$ ab. Das besagen die Sigma-Regeln.

Vermute zuerst

Bei $600$ Würfen eines fairen Würfels: In welchem Bereich liegt die Zahl der Sechsen mit etwa $95\,\%$ Wahrscheinlichkeit?

Sigma-Intervalle im Histogramm

n

= 100

p

= 0,5

Glockenkurve darüberlegen

$\mu = n \cdot p$: 50
$\sigma = \sqrt{n p (1-p)}$: 5
$P(45 \le X \le 55)$: 0,7287

Zwischen $\mu - \sigma \approx 45$ und $\mu + \sigma \approx 55$ liegen die ganzen Zahlen von $45$ bis $55$ . Zusammen haben sie die Wahrscheinlichkeit $0{,}729$ . Die Sigma-Regel sagt ungefähr $68,3\,\%$ . Der Unterschied entsteht, weil die Säulen am Rand des Intervalls ganz mitzählen oder ganz wegfallen. Mit größerem $\sigma$ wird er kleiner.

Der helle Streifen über dem Histogramm ist das Sigma-Intervall. Gezählt werden alle ganzen Zahlen, die darin liegen.

Probier es aus

Wähle nacheinander $\mu \pm \sigma$ , $\mu \pm 2\sigma$ und $\mu \pm 3\sigma$ . Notiere die Wahrscheinlichkeiten aus der Anzeige.
Stell $p = 0{,}2$ ein und dann $n = 200$ . Wie verändern sich die Wahrscheinlichkeiten für $\mu \pm 2\sigma$ ?
Stell $n = 10$ und $p = 0{,}1$ ein. Jetzt ist $\sigma < 1$ . Was passiert mit dem Intervall und seiner Wahrscheinlichkeit?

Satz

Sigma-Regeln

Ist $X$ binomialverteilt und gilt die Laplace-Bedingung $\sigma > 3$ , dann liegt $X$ ungefähr mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten im Intervall $[\mu - k\sigma;\ \mu + k\sigma]$ :

Intervall	$\mu \pm 1\sigma$	$\mu \pm 2\sigma$	$\mu \pm 3\sigma$	$\mu \pm 1{,}64\sigma$	$\mu \pm 1{,}96\sigma$	$\mu \pm 2{,}58\sigma$
Wahrscheinlichkeit	$68{,}3\,\%$	$95{,}4\,\%$	$99{,}7\,\%$	$90\,\%$	$95\,\%$	$99\,\%$

Die ersten drei Werte sind leicht zu merken. Die letzten drei braucht man, wenn eine runde Wahrscheinlichkeit verlangt ist. Weil nur ganze Zahlen im Intervall zählen, weicht die genaue Wahrscheinlichkeit um einige Prozentpunkte ab. Für Abschätzungen ist das gut genug.

Definition

Prognoseintervall

Ist die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ bekannt, so kann man vor dem Experiment vorhersagen, in welchem Bereich die Trefferzahl $X$ mit einer gewählten Wahrscheinlichkeit $\gamma$ (griechisch gamma, zum Beispiel $95\,\%$ ) liegen wird. Dieser Bereich heißt Prognoseintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $\gamma$ :

$\displaystyle [\mu - k\sigma;\ \mu + k\sigma] \quad \text{mit } k = 1{,}64 \ (90\,\%), \ k = 1{,}96 \ (95\,\%), \ k = 2{,}58 \ (99\,\%).$

Weil $X$ nur ganze Zahlen annimmt, rundet man die Grenzen auf die ganzen Zahlen innerhalb des Intervalls: die untere Grenze auf, die obere ab.

Schritt für Schritt

Prognoseintervall für die Zahl der Sechsen

Gesucht ist das $95\,\%$ -Prognoseintervall für die Zahl der Sechsen bei $600$ Würfen.

Erwartungswert und Standardabweichung:
$\mu = 600 \cdot \tfrac{1}{6} = 100, \qquad \sigma = \sqrt{600 \cdot \tfrac{1}{6} \cdot \tfrac{5}{6}} \approx 9{,}13$

Schritt 1 von 4

Kurz geprüft

Eine Münze wird $400$ -mal geworfen. Bestimme das $95\,\%$ -Prognoseintervall für die Zahl der Wappen. Gib die obere Grenze an (nach innen gerundet).

Von der Anzahl zum Anteil. Bei Umfragen interessiert nicht die Anzahl, sondern der Anteil. Wird eine Partei von $30\,\%$ der Wahlberechtigten gewählt und befragt man $1000$ zufällig ausgewählte Personen, so ist die Zahl $X$ ihrer Wählerinnen und Wähler binomialverteilt mit $\mu = 300$ und $\sigma = \sqrt{1000 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7} \approx 14{,}49$ . Das $95\,\%$ -Prognoseintervall ist $300 \pm 28{,}4$ , also $[272;\ 328]$ .

Teilt man durch $n = 1000$ , erhält man ein Intervall für die relative Häufigkeit $h = \frac{X}{n}$ : Sie liegt mit $95\,\%$ Wahrscheinlichkeit zwischen $27{,}2\,\%$ und $32{,}8\,\%$ . Eine Umfrage mit $1000$ Befragten kann also um fast drei Prozentpunkte danebenliegen, ohne dass irgendjemand einen Fehler gemacht hat.

Satz

Prognoseintervall für die relative Häufigkeit

Mit Wahrscheinlichkeit von etwa $95\,\%$ liegt die relative Häufigkeit $h = \frac{X}{n}$ im Intervall

\left[\, p - 1{,}96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}};\ \ p + 1{,}96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \,\right]

Prognoseintervalle zu runden Wahrscheinlichkeiten

n

= 200

p

= 0,3

Glockenkurve darüberlegen

$\mu = n \cdot p$: 60
$\sigma = \sqrt{n p (1-p)}$: 6,481
$P(48 \le X \le 72)$: 0,9466

Zwischen $\mu - 1{,}96\sigma \approx 47{,}3$ und $\mu + 1{,}96\sigma \approx 72{,}7$ liegen die ganzen Zahlen von $48$ bis $72$ . Zusammen haben sie die Wahrscheinlichkeit $0{,}947$ . Die Sigma-Regel sagt ungefähr $95\,\%$ .

Probier es aus

Lies das $95\,\%$ -Intervall ab. Passt die angezeigte Wahrscheinlichkeit zu $95\,\%$ ?
Stell $n = 400$ ein, also doppelt so viele Versuche. Um welchen Faktor wird das Intervall breiter? Und was bedeutet das für die Breite im Verhältnis zu $n$ ?
Vergleiche die Intervalle für $90\,\%$ , $95\,\%$ und $99\,\%$ . Was kostet eine größere Sicherheit?

Kurz geprüft

Eine Umfrage mit $1000$ Befragten hat ein $95\,\%$ -Prognoseintervall mit einer halben Breite von etwa $2{,}8$ Prozentpunkten. Wie viele Personen muss man befragen, damit die halbe Breite nur noch $1{,}4$ Prozentpunkte beträgt?

Beispiel

Vom Prognoseintervall zum Test

Ein Hersteller gibt an, dass $90\,\%$ seiner Samen keimen. In einer Stichprobe von $200$ Samen keimen nur $167$ . Passt das zur Angabe?

\mu = 180, \quad \sigma = \sqrt{200 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}1} \approx 4{,}24, \quad \mu \pm 1{,}96\sigma \approx [171{,}7;\ 188{,}3]

Das $95\,\%$ -Prognoseintervall ist $[172;\ 188]$ . Der beobachtete Wert $167$ liegt deutlich darunter, sogar unter $\mu - 3\sigma \approx 167{,}3$ . Wenn die Angabe stimmt, kommt so ein Ergebnis sehr selten vor. Man wird die Angabe des Herstellers deshalb anzweifeln. Genau dieses Vorgehen wird beim Hypothesentest zu einem festen Verfahren ausgebaut.

Häufige Fehler

Die Laplace-Bedingung nicht prüfen

Man verwendet die Sigma-Regeln für $n = 20$ und $p = 0{,}1$ .

Richtig ist

Dann ist $\sigma = \sqrt{20 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9} \approx 1{,}34$ . Das Histogramm ist schief und besteht aus wenigen Säulen, die Prozentwerte stimmen nicht. In diesem Fall rechnet man direkt mit der Binomialverteilung.

Häufige Fehler

Die Wurzel vergessen

Man glaubt, eine zehnmal größere Stichprobe mache die Prognose zehnmal genauer.

Richtig ist

Die halbe Breite des Intervalls für den Anteil ist $1{,}96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ . Zehnmal mehr Versuche machen sie nur um den Faktor $\sqrt{10} \approx 3{,}2$ kleiner.

Häufige Fehler

Prognose und Schätzung verwechseln

Aus „Mit $95\,\%$ liegt $h$ in $[p - c;\ p + c]$ “ macht man „Mit $95\,\%$ liegt $p$ in $[h - c;\ h + c]$ “.

Richtig ist

Das Prognoseintervall setzt voraus, dass $p$ bekannt ist, und sagt die Stichprobe vorher. Der umgekehrte Weg, von einer beobachteten Stichprobe auf das unbekannte $p$ zu schließen, führt zum Konfidenzintervall. Er ist eng verwandt, aber die Rechnung und die Deutung sind anders.

Zusammenfassung

Bei binomialverteilten Zufallsgrößen mit $\sigma > 3$ gilt: Im Intervall $\mu \pm \sigma$ liegen etwa $68\,\%$ , in $\mu \pm 2\sigma$ etwa $95\,\%$ , in $\mu \pm 3\sigma$ etwa $99{,}7\,\%$ der Fälle.
Für runde Wahrscheinlichkeiten: $1{,}64\sigma$ für $90\,\%$ , $1{,}96\sigma$ für $95\,\%$ , $2{,}58\sigma$ für $99\,\%$ .
Prognoseintervall: $[\mu - k\sigma;\ \mu + k\sigma]$ , die Grenzen nach innen auf ganze Zahlen gerundet.
Für den Anteil $h = \frac{X}{n}$ : $p \pm k\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ . Die Breite schrumpft nur mit $\frac{1}{\sqrt{n}}$ .
Liegt ein beobachteter Wert weit außerhalb des Prognoseintervalls, spricht das gegen das angenommene $p$ .

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Berechne für $n = 500$ und $p = 0{,}2$ die Standardabweichung $\sigma$ der Binomialverteilung auf zwei Nachkommastellen.

Aufgabe 2Multiple Choice

Für welche Werte ist die Laplace-Bedingung erfüllt?

Aufgabe 3Numerisch

Ein Medikament wirkt bei $70\,\%$ der Patienten. Es wird an $300$ Patienten gegeben. Bestimme das $90\,\%$ -Prognoseintervall für die Zahl der Patienten, bei denen es wirkt. Gib die untere Grenze an (nach innen gerundet).

Aufgabe 4Numerisch

In einer Stadt nutzen $40\,\%$ der Haushalte Ökostrom. Wie groß ist die halbe Breite des $95\,\%$ -Prognoseintervalls für den Anteil in einer Stichprobe von $600$ Haushalten? Gib sie in Prozentpunkten auf eine Nachkommastelle an.

Aufgabe 5Numerisch

Wie viele Haushalte muss man in Aufgabe 4 mindestens befragen, damit die halbe Breite höchstens $2$ Prozentpunkte beträgt?

Aufgabe 6Multiple Choice

Bei $1200$ Würfen eines Würfels fallen $240$ Sechsen. Was folgt daraus?

Aufgabe 7Freitext

Ein Zeitungsartikel meldet: „Die Partei A ist von $31\,\%$ auf $33\,\%$ gestiegen.“ Die Umfrage hatte $1000$ Befragte. Beurteile die Aussage mit einem Prognoseintervall.

Lektion 12.3 · Zufallsgrößen und Binomialverteilung

Sigma-Regeln und Prognoseintervall

Satz

Sigma-Regeln

Ist $X$ binomialverteilt und gilt die Laplace-Bedingung $\sigma > 3$ , dann liegt $X$ ungefähr mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten im Intervall $[\mu - k\sigma;\ \mu + k\sigma]$ :

Intervall	$\mu \pm 1\sigma$	$\mu \pm 2\sigma$	$\mu \pm 3\sigma$	$\mu \pm 1{,}64\sigma$	$\mu \pm 1{,}96\sigma$	$\mu \pm 2{,}58\sigma$
Wahrscheinlichkeit	$68{,}3\,\%$	$95{,}4\,\%$	$99{,}7\,\%$	$90\,\%$	$95\,\%$	$99\,\%$

Beweis

Warum hängen die Anteile nicht von $n$ und $p$ ab? Misst man den Abstand vom Erwartungswert in Vielfachen von $\sigma$ , bildet man also $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ , so hat $Z$ nach den Regeln für lineare Umrechnungen immer den Erwartungswert $0$ und die Standardabweichung $1$ :

$E(Z) = \frac{E(X) - \mu}{\sigma} = 0, \qquad \sigma(Z) = \frac{\sigma(X)}{\sigma} = 1.$

Die Frage „Liegt $X$ in $\mu \pm k\sigma$ ?“ ist dieselbe wie „Liegt $Z$ zwischen $-k$ und $k$ ?“. Der Satz von de Moivre und Laplace besagt, dass die Verteilung von $Z$ für großes $\sigma$ immer derselben Glockenkurve immer ähnlicher wird, der Standardnormalverteilung. Die Zahlen in der Tabelle sind Flächen unter dieser Kurve. Die Lektion zur Normalverteilung zeigt das genauer. Die Bedingung $\sigma > 3$ ist eine Faustregel dafür, ab wann die Ähnlichkeit gut genug ist.

q.e.d.

Definition

Prognoseintervall

$\displaystyle [\mu - k\sigma;\ \mu + k\sigma] \quad \text{mit } k = 1{,}64 \ (90\,\%), \ k = 1{,}96 \ (95\,\%), \ k = 2{,}58 \ (99\,\%).$

Weil $X$ nur ganze Zahlen annimmt, rundet man die Grenzen auf die ganzen Zahlen innerhalb des Intervalls: die untere Grenze auf, die obere ab.

Schritt für Schritt

Prognoseintervall für die Zahl der Sechsen

Gesucht ist das $95\,\%$ -Prognoseintervall für die Zahl der Sechsen bei $600$ Würfen.

Erwartungswert und Standardabweichung:
$\mu = 600 \cdot \tfrac{1}{6} = 100, \qquad \sigma = \sqrt{600 \cdot \tfrac{1}{6} \cdot \tfrac{5}{6}} \approx 9{,}13$
Laplace-Bedingung prüfen:
$\sigma \approx 9{,}13 > 3 \ \checkmark$
Für $95\,\%$ ist $k = 1{,}96$ :
$100 - 1{,}96 \cdot 9{,}13 \approx 82{,}1, \qquad 100 + 1{,}96 \cdot 9{,}13 \approx 117{,}9$
Nach innen auf ganze Zahlen runden:
$[83;\ 117]$

Mit etwa $95\,\%$ Wahrscheinlichkeit fallen zwischen $83$ und $117$ Sechsen. $121$ Sechsen liegen außerhalb. Das beweist nicht, dass der Würfel gezinkt ist, aber es ist ein Hinweis, dem man nachgehen sollte.

P(83 \le X \le 117) \approx 0{,}95

Satz

Prognoseintervall für die relative Häufigkeit

Mit Wahrscheinlichkeit von etwa $95\,\%$ liegt die relative Häufigkeit $h = \frac{X}{n}$ im Intervall

\left[\, p - 1{,}96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}};\ \ p + 1{,}96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \,\right]

Beweis

Man teilt die Grenzen des Prognoseintervalls für $X$ durch $n$ :

$\displaystyle \frac{\mu \pm 1{,}96\sigma}{n} = \frac{np}{n} \pm 1{,}96 \cdot \frac{\sqrt{np(1-p)}}{n} = p \pm 1{,}96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.$

Im letzten Schritt wurde $n = \sqrt{n^2}$ unter die Wurzel gezogen: $\frac{\sqrt{np(1-p)}}{\sqrt{n^2}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ . Bemerkenswert ist das $n$ im Nenner unter der Wurzel: Die halbe Breite des Intervalls schrumpft nur mit $\frac{1}{\sqrt{n}}$ . Für eine doppelt so genaue Prognose braucht man viermal so viele Versuche. Das nennt man das $\sqrt{n}$ -Gesetz.

q.e.d.

Beispiel

Vom Prognoseintervall zum Test

Ein Hersteller gibt an, dass $90\,\%$ seiner Samen keimen. In einer Stichprobe von $200$ Samen keimen nur $167$ . Passt das zur Angabe?

\mu = 180, \quad \sigma = \sqrt{200 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}1} \approx 4{,}24, \quad \mu \pm 1{,}96\sigma \approx [171{,}7;\ 188{,}3]

Häufige Fehler

Die Laplace-Bedingung nicht prüfen

Man verwendet die Sigma-Regeln für $n = 20$ und $p = 0{,}1$ .

Häufige Fehler

Die Wurzel vergessen

Man glaubt, eine zehnmal größere Stichprobe mache die Prognose zehnmal genauer.

Die halbe Breite des Intervalls für den Anteil ist $1{,}96 \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ . Zehnmal mehr Versuche machen sie nur um den Faktor $\sqrt{10} \approx 3{,}2$ kleiner.

Häufige Fehler

Prognose und Schätzung verwechseln

Aus „Mit $95\,\%$ liegt $h$ in $[p - c;\ p + c]$ “ macht man „Mit $95\,\%$ liegt $p$ in $[h - c;\ h + c]$ “.

Zusammenfassung

Bei binomialverteilten Zufallsgrößen mit $\sigma > 3$ gilt: Im Intervall $\mu \pm \sigma$ liegen etwa $68\,\%$ , in $\mu \pm 2\sigma$ etwa $95\,\%$ , in $\mu \pm 3\sigma$ etwa $99{,}7\,\%$ der Fälle.
Für runde Wahrscheinlichkeiten: $1{,}64\sigma$ für $90\,\%$ , $1{,}96\sigma$ für $95\,\%$ , $2{,}58\sigma$ für $99\,\%$ .
Prognoseintervall: $[\mu - k\sigma;\ \mu + k\sigma]$ , die Grenzen nach innen auf ganze Zahlen gerundet.
Für den Anteil $h = \frac{X}{n}$ : $p \pm k\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ . Die Breite schrumpft nur mit $\frac{1}{\sqrt{n}}$ .
Liegt ein beobachteter Wert weit außerhalb des Prognoseintervalls, spricht das gegen das angenommene $p$ .