Lektion 12.1

Zufallsgrößen, Erwartungswert und Varianz

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

erklären, was eine Zufallsgröße ist, und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung als Tabelle und Diagramm angeben
den Erwartungswert berechnen und als langfristigen Mittelwert und als Schwerpunkt deuten
entscheiden, ob ein Spiel fair ist, und faire Einsätze bestimmen
Varianz und Standardabweichung berechnen und als Maß für das Risiko deuten

Lohnt sich das Spiel? Auf einem Schulfest wird ein Würfelspiel angeboten. Man zahlt $2$ Euro Einsatz und würfelt einmal. Bei einer Sechs bekommt man $10$ Euro ausgezahlt, bei einer Fünf bekommt man den Einsatz zurück, sonst nichts.

Ob man ein einzelnes Spiel gewinnt, ist Zufall. Aber wer oft spielt, wird ein Muster bemerken: Im Mittel gewinnt oder verliert man pro Spiel einen bestimmten Betrag. Um diesen Betrag zu berechnen, braucht man zwei Begriffe. Zuerst ordnet man jedem Ergebnis eine Zahl zu, hier den Gewinn. Diese Zuordnung heißt Zufallsgröße. Dann bildet man einen Mittelwert, bei dem jeder Gewinn so stark zählt, wie wahrscheinlich er ist. Das ist der Erwartungswert.

Definition

Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung

Eine Zufallsgröße (auch Zufallsvariable) $X$ ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu. Man schreibt Zufallsgrößen mit großen Buchstaben, ihre möglichen Werte mit kleinen: $x_1, x_2, \ldots, x_n$ .

$P(X = x_i)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ den Wert $x_i$ annimmt. Die Tabelle aller Werte mit ihren Wahrscheinlichkeiten heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ . Die Wahrscheinlichkeiten müssen sich zu $1$ addieren, denn irgendeinen Wert nimmt $X$ immer an.

Beim Würfelspiel ist der Gewinn $G$ (Auszahlung minus Einsatz) eine Zufallsgröße:

Augenzahl	$1, 2, 3, 4$	$5$	$6$
Gewinn $g$	$-2$	$0$	$8$
$P(G = g)$	$\frac{4}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

Verschiedene Ergebnisse dürfen denselben Wert liefern: Die Augenzahlen $1$ bis $4$ führen alle zu $G = -2$ , ihre Wahrscheinlichkeiten werden addiert.

Vermute zuerst

Man zahlt $2$ Euro, bei einer Sechs gibt es $10$ Euro, bei einer Fünf den Einsatz zurück. Was passiert, wenn man sehr oft spielt?

Der Gewinn beim Würfelspiel

P(G = -2)

= 0,667

P(G = 0)

= 0,167

P(G = 8)

= 0,167

$E(G) = \mu$: 0 €
$V(G)$: 13,333
$\sigma = \sqrt{V(G)}$: 3,651 €

Jeder Wert zählt so stark, wie wahrscheinlich er ist: $E(G) = -2 \cdot 0{,}667 + 0 \cdot 0{,}167 + 8 \cdot 0{,}167 = 0\,\text{€}$ . Das Dreieck steht genau dort, wo die Säulen im Gleichgewicht wären. Der Streifen unter der Achse reicht eine Standardabweichung $\sigma \approx 3{,}65\,\text{€}$ nach beiden Seiten.

Das Dreieck steht dort, wo die Säulen auf einer Wippe im Gleichgewicht wären: Wahrscheinlichkeit mal Abstand ist links und rechts gleich groß.

Probier es aus

Wo steht das Dreieck unter der Achse? Lies den Erwartungswert ab.
Mach die Sechs doppelt so wahrscheinlich (Gewicht $2$ statt $1$ ), wie bei einem gezinkten Würfel. Wohin wandert der Schwerpunkt?
Setze zurück und verringere das Gewicht von $G = -2$ . Warum wandert das Dreieck nach rechts?
Drück auf „Alle gleich“. Welcher Erwartungswert ergibt sich, und warum ist er der gewöhnliche Mittelwert von $-2$ , $0$ und $8$ ?

Definition

Erwartungswert

Nimmt $X$ die Werte $x_1, \ldots, x_n$ mit den Wahrscheinlichkeiten $p_1, \ldots, p_n$ an, dann heißt

$\displaystyle E(X) = x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + \ldots + x_n \cdot p_n$

der Erwartungswert von $X$ . Man schreibt auch $\mu$ (griechisch my).

Es gibt zwei Arten, ihn zu verstehen:

Als langfristiger Mittelwert. Wiederholt man das Experiment sehr oft, nähert sich der Durchschnitt der beobachteten Werte dem Erwartungswert. Ein Wert, der mit Wahrscheinlichkeit $p_i$ kommt, macht auf lange Sicht etwa den Anteil $p_i$ aller Versuche aus. Der Durchschnitt ist dann $x_1 p_1 + \ldots + x_n p_n$ .
Als Schwerpunkt. Legt man an jede Stelle $x_i$ ein Gewicht $p_i$ , so ist $E(X)$ der Punkt, an dem die Anordnung im Gleichgewicht ist.

Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns $0$ ist.

Schritt für Schritt

Die faire Auszahlung bestimmen

Ein anderes Spiel: Einsatz $1$ Euro, ein Würfelwurf, nur bei einer Sechs wird der Betrag $a$ ausgezahlt. Wie groß muss $a$ sein, damit das Spiel fair ist?

Gewinn als Zufallsgröße aufschreiben:
$G = a - 1 \ \text{mit } P = \tfrac{1}{6}, \qquad G = -1 \ \text{mit } P = \tfrac{5}{6}$

Schritt 1 von 3

Kurz geprüft

Welchen Erwartungswert hat die Augenzahl $X$ beim Wurf eines fairen Würfels?

Gleicher Mittelwert, ganz anderes Risiko. Vergleiche zwei faire Spiele. Bei Spiel A gewinnt oder verliert man mit gleicher Wahrscheinlichkeit $1$ Euro. Bei Spiel B gewinnt man mit Wahrscheinlichkeit $1\,\%$ $99$ Euro, sonst verliert man $1$ Euro. Beide haben den Erwartungswert $0$ :

$E(A) = 1 \cdot 0{,}5 + (-1) \cdot 0{,}5 = 0, \qquad E(B) = 99 \cdot 0{,}01 + (-1) \cdot 0{,}99 = 0.$

Trotzdem fühlen sie sich völlig verschieden an. Bei A bleibt man immer nah bei null. Bei B verliert man meistens ein bisschen und gewinnt selten sehr viel. Der Erwartungswert sagt nichts darüber, wie weit die Werte um ihn herum streuen. Dafür braucht man ein zweites Maß.

Definition

Varianz und Standardabweichung

Die Varianz von $X$ ist der Erwartungswert der quadrierten Abweichung vom Erwartungswert $\mu$ :

$\displaystyle V(X) = (x_1 - \mu)^2 \cdot p_1 + (x_2 - \mu)^2 \cdot p_2 + \ldots + (x_n - \mu)^2 \cdot p_n.$

Die Standardabweichung ist ihre Wurzel: $\sigma = \sqrt{V(X)}$ (griechisch sigma).

Warum quadrieren? Die Abweichungen $x_i - \mu$ selbst haben immer den Mittelwert $0$ , denn die positiven und die negativen gleichen sich genau aus. Das ist ja gerade die Schwerpunkteigenschaft. Durch das Quadrieren werden alle Abweichungen positiv, große Abweichungen zählen dabei besonders stark. Weil die Varianz dann in „Euro zum Quadrat“ gemessen wird, zieht man die Wurzel: Die Standardabweichung hat wieder dieselbe Einheit wie $X$ und lässt sich als typischer Abstand vom Erwartungswert lesen.

Schritt für Schritt

Varianz für die Zahl der Wappen bei drei Münzwürfen

Eine Münze wird dreimal geworfen, $X$ ist die Zahl der Wappen. Die Verteilung ist $P(X = 0) = \frac{1}{8}$ , $P(X = 1) = \frac{3}{8}$ , $P(X = 2) = \frac{3}{8}$ , $P(X = 3) = \frac{1}{8}$ .

Erwartungswert:
$\mu = 0 \cdot \tfrac{1}{8} + 1 \cdot \tfrac{3}{8} + 2 \cdot \tfrac{3}{8} + 3 \cdot \tfrac{1}{8} = \tfrac{12}{8} = 1{,}5$

Schritt 1 von 4

Schwerpunkt und Streuung

P(X = 0)

= 0,125

P(X = 1)

= 0,375

P(X = 2)

= 0,375

P(X = 3)

= 0,125

$E(X) = \mu$: 1,5
$V(X)$: 0,75
$\sigma = \sqrt{V(X)}$: 0,866

Jeder Wert zählt so stark, wie wahrscheinlich er ist: $E(X) = 0 \cdot 0{,}125 + 1 \cdot 0{,}375 + 2 \cdot 0{,}375 + 3 \cdot 0{,}125 = 1{,}5$ . Das Dreieck steht genau dort, wo die Säulen im Gleichgewicht wären. Der Streifen unter der Achse reicht eine Standardabweichung $\sigma \approx 0{,}87$ nach beiden Seiten.

Probier es aus

Vergleiche die Anzeige mit der Rechnung oben. Der Streifen unter der Achse reicht von $\mu - \sigma$ bis $\mu + \sigma$ .
Verteile möglichst viel Wahrscheinlichkeit auf $0$ und $3$ und wenig auf $1$ und $2$ . Was passiert mit $\sigma$ , was mit $\mu$ ?
Setze alles Gewicht auf einen einzigen Wert. Wie groß ist die Varianz dann, und warum?

Kurz geprüft

Berechne die Standardabweichung von Spiel A (Gewinn $+1$ oder $-1$ Euro, je mit Wahrscheinlichkeit $0{,}5$ ) und von Spiel B ( $+99$ Euro mit $0{,}01$ , sonst $-1$ Euro). Gib die Standardabweichung von Spiel B an.

Satz

Verschiebungssatz

Oft rechnet sich die Varianz bequemer so: Man bildet den Erwartungswert von $X^2$ und zieht das Quadrat des Erwartungswerts ab.

V(X) = E(X^2) - \mu^2, \qquad E(X^2) = x_1^2 p_1 + \ldots + x_n^2 p_n

Kurz geprüft

Berechne die Varianz der Augenzahl beim fairen Würfel mit dem Verschiebungssatz. Gib das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen an.

Satz

Lineare Umrechnung

Wird jeder Wert mit $a$ multipliziert und um $b$ verschoben, so gilt

E(aX + b) = a \cdot E(X) + b, \qquad V(aX + b) = a^2 \cdot V(X), \qquad \sigma(aX + b) = |a| \cdot \sigma(X)

Häufige Fehler

Der Erwartungswert als wahrscheinlichster Wert

Man glaubt, $E(X)$ sei der Wert, der am häufigsten vorkommt, oder ein Wert, den $X$ annehmen kann.

Richtig ist

Beim Würfel ist $E(X) = 3{,}5$ , und diesen Wert gibt es gar nicht. Beim Spiel B ist $E = 0$ , aber man gewinnt oder verliert immer. Der Erwartungswert ist ein Mittelwert auf lange Sicht, keine Vorhersage für einen einzelnen Versuch.

Häufige Fehler

Bei der Varianz das Gewichten vergessen

Man addiert die quadrierten Abweichungen und teilt durch die Anzahl der Werte.

Richtig ist

Das ist nur richtig, wenn alle Werte gleich wahrscheinlich sind. Im Allgemeinen wird jede quadrierte Abweichung mit ihrer Wahrscheinlichkeit $p_i$ multipliziert.

Häufige Fehler

Auszahlung und Gewinn verwechseln

Bei einem Spiel mit Einsatz rechnet man mit den Auszahlungen und erhält einen positiven Erwartungswert.

Richtig ist

Fair heißt: Der Erwartungswert des Gewinns ist $0$ , also der Erwartungswert der Auszahlung gleich dem Einsatz. Entweder man zieht den Einsatz von jeder Auszahlung ab oder man vergleicht $E(\text{Auszahlung})$ mit dem Einsatz.

Zusammenfassung

Eine Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu. Ihre Verteilung gibt zu jedem Wert die Wahrscheinlichkeit an, die Summe ist $1$ .
Erwartungswert: $E(X) = \sum x_i p_i$ . Er ist der langfristige Mittelwert und der Schwerpunkt der Verteilung.
Ein Spiel ist fair, wenn der erwartete Gewinn $0$ ist.
Varianz: $V(X) = \sum (x_i - \mu)^2 p_i = E(X^2) - \mu^2$ . Standardabweichung: $\sigma = \sqrt{V(X)}$ , ein typischer Abstand vom Erwartungswert.
$E(aX + b) = aE(X) + b$ und $\sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X)$ .

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Eine Zufallsgröße hat die Verteilung $P(X = 1) = 0{,}2$ , $P(X = 2) = 0{,}5$ , $P(X = 5) = 0{,}3$ . Berechne $E(X)$ .

Aufgabe 2Numerisch

Berechne die Varianz der Zufallsgröße aus Aufgabe 1.

Aufgabe 3Numerisch

Bei einem Glücksrad gewinnt man mit Wahrscheinlichkeit $0{,}1$ einen Betrag von $20$ Euro, mit $0{,}3$ einen Betrag von $2$ Euro, sonst nichts. Bei welchem Einsatz (in Euro) ist das Spiel fair?

Aufgabe 4Multiple Choice

Die Temperatur $T$ in Grad Celsius hat an einem Ort den Erwartungswert $15$ und die Standardabweichung $4$ . In Fahrenheit ist $F = 1{,}8\,T + 32$ . Welche Werte gelten für $F$ ?

Aufgabe 5Numerisch

Zwei Würfel werden geworfen, $S$ ist die Augensumme. Berechne $P(S = 7)$ als Dezimalzahl auf drei Stellen.

Aufgabe 6Numerisch

Bei einem Spiel zieht man aus einer Urne mit $3$ roten und $2$ blauen Kugeln zwei Kugeln ohne Zurücklegen. Für jede rote Kugel bekommt man $1$ Euro. Berechne den Erwartungswert der Auszahlung.

Aufgabe 7Freitext

Eine Versicherung verlangt für eine Handyversicherung $60$ Euro im Jahr. Mit Wahrscheinlichkeit $5\,\%$ muss sie einen Schaden von $800$ Euro bezahlen, mit $10\,\%$ einen kleinen Schaden von $100$ Euro. Berechne den erwarteten Gewinn der Versicherung pro Vertrag und erkläre, warum es für den Kunden trotzdem sinnvoll sein kann, die Versicherung abzuschließen.

Lektion 12.1 · Zufallsgrößen und Binomialverteilung

Zufallsgrößen, Erwartungswert und Varianz

Definition

Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung

Beim Würfelspiel ist der Gewinn $G$ (Auszahlung minus Einsatz) eine Zufallsgröße:

Augenzahl	$1, 2, 3, 4$	$5$	$6$
Gewinn $g$	$-2$	$0$	$8$
$P(G = g)$	$\frac{4}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

Verschiedene Ergebnisse dürfen denselben Wert liefern: Die Augenzahlen $1$ bis $4$ führen alle zu $G = -2$ , ihre Wahrscheinlichkeiten werden addiert.

Definition

Erwartungswert

Nimmt $X$ die Werte $x_1, \ldots, x_n$ mit den Wahrscheinlichkeiten $p_1, \ldots, p_n$ an, dann heißt

$\displaystyle E(X) = x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + \ldots + x_n \cdot p_n$

der Erwartungswert von $X$ . Man schreibt auch $\mu$ (griechisch my).

Es gibt zwei Arten, ihn zu verstehen:

Als langfristiger Mittelwert. Wiederholt man das Experiment sehr oft, nähert sich der Durchschnitt der beobachteten Werte dem Erwartungswert. Ein Wert, der mit Wahrscheinlichkeit $p_i$ kommt, macht auf lange Sicht etwa den Anteil $p_i$ aller Versuche aus. Der Durchschnitt ist dann $x_1 p_1 + \ldots + x_n p_n$ .
Als Schwerpunkt. Legt man an jede Stelle $x_i$ ein Gewicht $p_i$ , so ist $E(X)$ der Punkt, an dem die Anordnung im Gleichgewicht ist.

Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns $0$ ist.

Schritt für Schritt

Die faire Auszahlung bestimmen

Ein anderes Spiel: Einsatz $1$ Euro, ein Würfelwurf, nur bei einer Sechs wird der Betrag $a$ ausgezahlt. Wie groß muss $a$ sein, damit das Spiel fair ist?

Gewinn als Zufallsgröße aufschreiben:
$G = a - 1 \ \text{mit } P = \tfrac{1}{6}, \qquad G = -1 \ \text{mit } P = \tfrac{5}{6}$
Erwartungswert bilden:
$E(G) = (a - 1) \cdot \tfrac{1}{6} + (-1) \cdot \tfrac{5}{6} = \frac{a - 1 - 5}{6} = \frac{a - 6}{6}$
Fair heißt $E(G) = 0$ :
$\frac{a - 6}{6} = 0 \iff a = 6$

Bei einer Auszahlung von $6$ Euro ist das Spiel fair. Jede kleinere Auszahlung bringt dem Anbieter auf lange Sicht Gewinn.

a = 6\ \text{Euro}

$E(A) = 1 \cdot 0{,}5 + (-1) \cdot 0{,}5 = 0, \qquad E(B) = 99 \cdot 0{,}01 + (-1) \cdot 0{,}99 = 0.$

Definition

Varianz und Standardabweichung

Die Varianz von $X$ ist der Erwartungswert der quadrierten Abweichung vom Erwartungswert $\mu$ :

$\displaystyle V(X) = (x_1 - \mu)^2 \cdot p_1 + (x_2 - \mu)^2 \cdot p_2 + \ldots + (x_n - \mu)^2 \cdot p_n.$

Die Standardabweichung ist ihre Wurzel: $\sigma = \sqrt{V(X)}$ (griechisch sigma).

Schritt für Schritt

Varianz für die Zahl der Wappen bei drei Münzwürfen

Eine Münze wird dreimal geworfen, $X$ ist die Zahl der Wappen. Die Verteilung ist $P(X = 0) = \frac{1}{8}$ , $P(X = 1) = \frac{3}{8}$ , $P(X = 2) = \frac{3}{8}$ , $P(X = 3) = \frac{1}{8}$ .

Erwartungswert:
$\mu = 0 \cdot \tfrac{1}{8} + 1 \cdot \tfrac{3}{8} + 2 \cdot \tfrac{3}{8} + 3 \cdot \tfrac{1}{8} = \tfrac{12}{8} = 1{,}5$
Quadrierte Abweichungen:
$(0 - 1{,}5)^2 = 2{,}25, \quad (1 - 1{,}5)^2 = 0{,}25, \quad (2 - 1{,}5)^2 = 0{,}25, \quad (3 - 1{,}5)^2 = 2{,}25$
Mit den Wahrscheinlichkeiten gewichten und addieren:
$V(X) = 2{,}25 \cdot \tfrac{1}{8} + 0{,}25 \cdot \tfrac{3}{8} + 0{,}25 \cdot \tfrac{3}{8} + 2{,}25 \cdot \tfrac{1}{8} = \tfrac{6}{8} = 0{,}75$
Wurzel ziehen:
$\sigma = \sqrt{0{,}75} \approx 0{,}87$

Typischerweise weicht die Zahl der Wappen um knapp $1$ von $1{,}5$ ab.

V(X) = 0{,}75, \qquad \sigma \approx 0{,}87

Satz

Verschiebungssatz

Oft rechnet sich die Varianz bequemer so: Man bildet den Erwartungswert von $X^2$ und zieht das Quadrat des Erwartungswerts ab.

V(X) = E(X^2) - \mu^2, \qquad E(X^2) = x_1^2 p_1 + \ldots + x_n^2 p_n

Beweis

Man multipliziert jedes Quadrat aus: $(x_i - \mu)^2 = x_i^2 - 2\mu x_i + \mu^2$ . Mit $p_i$ multipliziert und über alle $i$ summiert ergibt das drei Summen:

$V(X) = \sum x_i^2 p_i - 2\mu \sum x_i p_i + \mu^2 \sum p_i.$

Die erste Summe ist $E(X^2)$ , die zweite ist $\mu$ , die dritte ist $1$ . Also $V(X) = E(X^2) - 2\mu \cdot \mu + \mu^2 = E(X^2) - \mu^2$ .

q.e.d.

Satz

Lineare Umrechnung

Wird jeder Wert mit $a$ multipliziert und um $b$ verschoben, so gilt

E(aX + b) = a \cdot E(X) + b, \qquad V(aX + b) = a^2 \cdot V(X), \qquad \sigma(aX + b) = |a| \cdot \sigma(X)

Beweis

Für den Erwartungswert: $\sum (a x_i + b) p_i = a \sum x_i p_i + b \sum p_i = a\,E(X) + b$ .

Für die Varianz: Der neue Erwartungswert ist $a\mu + b$ . Die neuen Abweichungen sind $(a x_i + b) - (a \mu + b) = a(x_i - \mu)$ . Quadriert ergibt das $a^2 (x_i - \mu)^2$ , und der Faktor $a^2$ lässt sich aus der Summe herausziehen.

Anschaulich: Eine Verschiebung um $b$ verschiebt den Schwerpunkt, ändert aber nichts an der Streuung. Eine Streckung mit dem Faktor $a$ streckt alle Abstände, die Standardabweichung also mit $|a|$ .

q.e.d.

Häufige Fehler

Der Erwartungswert als wahrscheinlichster Wert

Man glaubt, $E(X)$ sei der Wert, der am häufigsten vorkommt, oder ein Wert, den $X$ annehmen kann.

Häufige Fehler

Bei der Varianz das Gewichten vergessen

Man addiert die quadrierten Abweichungen und teilt durch die Anzahl der Werte.

Das ist nur richtig, wenn alle Werte gleich wahrscheinlich sind. Im Allgemeinen wird jede quadrierte Abweichung mit ihrer Wahrscheinlichkeit $p_i$ multipliziert.

Häufige Fehler

Auszahlung und Gewinn verwechseln

Bei einem Spiel mit Einsatz rechnet man mit den Auszahlungen und erhält einen positiven Erwartungswert.

Zusammenfassung

Eine Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu. Ihre Verteilung gibt zu jedem Wert die Wahrscheinlichkeit an, die Summe ist $1$ .
Erwartungswert: $E(X) = \sum x_i p_i$ . Er ist der langfristige Mittelwert und der Schwerpunkt der Verteilung.
Ein Spiel ist fair, wenn der erwartete Gewinn $0$ ist.
Varianz: $V(X) = \sum (x_i - \mu)^2 p_i = E(X^2) - \mu^2$ . Standardabweichung: $\sigma = \sqrt{V(X)}$ , ein typischer Abstand vom Erwartungswert.
$E(aX + b) = aE(X) + b$ und $\sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X)$ .