Das einfachste Modell für ein gebundenes Quantenobjekt ist ein eindimensionaler Potenzialtopf mit unendlich hohen Wänden: Ein Elektron kann sich nur im Bereich $0 < x < L$ aufhalten und niemals außerhalb. Seine Wellenfunktion ist an den Wänden null. In den Topf passen darum nur stehende Wellen, wie bei einer Saite mit festen Enden: $L = n\,\lambda/2$. Die erlaubten Wellenlängen sind $\lambda_n = 2L/n$, der Impuls ist $p_n = h/\lambda_n = n\,h/(2L)$. Im Topf ist das Potenzial null, die Energie ist rein kinetisch:

Für ein Elektron ist $h^2/(8\,m_e) = 0{,}376\,\text{eV·nm}^2$, also $E_n = n^2 \cdot 0{,}376\,\text{eV·nm}^2 / L^2$. Daraus folgt:

• Die Energien sind diskret und wachsen mit $n^2$. Je schmaler der Topf, desto größer sind $E_1$ und die Abstände der Niveaus ($\sim 1/L^2$).
• Die niedrigste Energie $E_1$ ist größer als null. Wer das Elektron auf den Bereich $L$ einsperrt, legt seinen Ort fest und der Impuls muss streuen (Unbestimmtheitsrelation). Es kann nicht ruhen. Das ist die Nullpunktsenergie.
• Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit $|\psi_n|^2$ hat $n - 1$ Nullstellen im Topf. Bei $n = 2$ ist sie in der Mitte null.
• Bei einem makroskopischen Topf (Murmel in einer Schachtel) liegen die Niveaus so dicht, dass man keine Stufen erkennt.

Grenzen: Reale Wände sind nicht unendlich hoch, die Wellenfunktion dringt in die Wand ein, und die Energien liegen tiefer als im Modell. Ein Atom ist dreidimensional und das Potenzial ähnelt $-1/r$ statt einem Kasten, darum folgen dort die Energien $-1/n^2$ statt $n^2$. Auch die Abstoßung zwischen mehreren Elektronen fehlt. Als grobe Näherung taugt das Modell für Elektronen in sehr kleinen Strukturen, etwa langen Molekülen oder Quantenpunkten.

Ein wasserstoffähnliches Atom besitzt nur ein Elektron, aber die Kernladung $Z\,e$ mit $Z > 1$, zum Beispiel $\text{He}^+$ ($Z = 2$) oder $\text{Li}^{2+}$ ($Z = 3$). Die Anziehung ist $Z$-mal so stark, die Energien sind $Z^2$-mal so groß. Für ein inneres Elektron schwerer Atome nimmt man näherungsweise eine verringerte Kernladung, das führt zum Moseleyschen Gesetz der nächsten Lektion.

Die Zustände eines Elektrons im Atom kennzeichnet man durch Quantenzahlen:

• Hauptquantenzahl $n = 1, 2, 3, \dots$: bestimmt beim Wasserstoff Energie und Größe des Orbitals.
• Nebenquantenzahl $l = 0, 1, \dots, n - 1$: bestimmt die Form (s für $l = 0$, p für $l = 1$, d für $l = 2$).
• Magnetquantenzahl $m_l = -l, \dots, +l$: bestimmt die Ausrichtung im Raum.
• Spinquantenzahl $m_s = +1/2$ oder $-1/2$: gibt die Einstellung des Spins an, des Eigendrehimpulses des Elektrons.

Zu $n = 2$ gehören $l = 0$ mit einem $m_l$ und $l = 1$ mit drei Werten von $m_l$. Das sind $4 = n^2$ Orbitale.

Wolfgang Pauli formulierte 1925: In einem Atom stimmen zwei Elektronen nie in allen vier Quantenzahlen überein. Folgerungen:

• Ein Orbital $(n, l, m_l)$ nimmt höchstens zwei Elektronen auf, mit entgegengesetztem Spin.
• Die Schale mit der Hauptquantenzahl $n$ nimmt höchstens $2n^2$ Elektronen auf: 2, 8, 18, 32, ...
• Im Grundzustand besetzen die Elektronen die Niveaus von unten nach oben.

In einem Atom mit mehreren Elektronen stoßen sich die Elektronen ab, und die inneren schirmen den Kern teilweise ab. Darum hängt die Energie auch von $l$ ab, 2s liegt tiefer als 2p, und es gibt keine einfache Formel mehr. Die Auffüllung folgt grob der Reihenfolge 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d. Das erklärt das Periodensystem: Natrium (11 Elektronen) hat 1s² 2s² 2p⁶ 3s¹. Das einzelne 3s-Elektron ist leicht abzulösen.

Auch im Potenzialtopf gilt Pauli: In jedes Niveau $n$ passen zwei Elektronen mit entgegengesetztem Spin.

James Franck und Gustav Hertz zeigten 1914 direkt, dass Atome nur bestimmte Energien aufnehmen. Eine Röhre enthält Quecksilberdampf von geringem Druck, eine Glühkathode K, ein Gitter G und eine Auffängerelektrode A. Zwischen K und G liegt die einstellbare Beschleunigungsspannung $U$, zwischen G und A eine kleine Gegenspannung von etwa 1 bis 2 V. (Quecksilberdampf ist giftig, die Röhre ist heiß und zerbrechlich. Den Versuch führt die Lehrkraft mit einer geschlossenen Röhre durch.)

Beobachtung: Der Auffängerstrom steigt mit $U$, bricht bei etwa 4,9 V stark ein, steigt wieder, bricht bei etwa 9,8 V erneut ein und so fort. Die Einbrüche liegen 4,9 V auseinander.

Erklärung: Bei kleiner Energie stoßen die Elektronen elastisch mit den schweren Quecksilberatomen und verlieren kaum Energie. Erreicht ein Elektron 4,9 eV, kann es ein Atom anregen (unelastischer Stoß) und gibt dabei fast seine ganze Energie ab. Dann überwindet es die Gegenspannung nicht mehr, und der Strom bricht ein. Bei höherem $U$ geschieht der Stoß früher, das Elektron wird erneut beschleunigt und kann ein zweites Mal anregen. Die angeregten Atome senden ultraviolettes Licht aus. Das Atom nimmt bei diesen Stößen also genau 4,9 eV auf, keine Zwischenwerte. Franck und Hertz erhielten dafür 1925 den Nobelpreis.