Lektion 2.3

Gravitation: Gravitationsgesetz, Gravitationsfeld und Planetenbewegung

21 min Lesezeit

Ein Apfel fällt vom Baum. Der Mond fällt nicht herunter, obwohl er von derselben Erde angezogen wird. Die Raumstation ISS kreist in etwa 400 km Höhe, und die Astronauten schweben darin, als gäbe es dort keine Schwerkraft. Newton erkannte, dass der Fall des Apfels und die Bahn des Mondes dieselbe Ursache haben.

In dieser Lektion lernst du das Gesetz der Gravitation und das Gravitationsfeld kennen. Damit berechnest du Bahnen von Satelliten und Planeten und verstehst, warum Astronauten in der ISS schweben.

Definition

Gravitationsgesetz

Zwei Körper mit den Massen $m_1$ und $m_2$ ziehen sich mit Kräften an, die gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sind (drittes Axiom). Ihr Betrag ist proportional zu beiden Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands $r$ . Für Punktmassen und kugelsymmetrische Körper ist $r$ der Abstand der Mittelpunkte. Die Gravitationskonstante ist $G = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2/\text{kg}^2$ (gemessen, keine herleitbare Zahl):

F = G\,\frac{m_1\,m_2}{r^2}

Definition

Gravitationsfeldstärke

Die Gravitationsfeldstärke $\vec{g}$ gibt an, welche Kraft je Masse ein Körper an einem Ort erfährt: $\vec{g} = \vec{F} : m$ (Einheit N/kg, gleichwertig m/s²). Das ist die Fallbeschleunigung an diesem Ort. Das Feld einer kugelsymmetrischen Masse $M$ zeigt außerhalb zu ihrem Mittelpunkt, die Feldlinien sind radial, und der Betrag nimmt mit dem Quadrat des Abstands $r$ vom Mittelpunkt ab. Die Feldstärken mehrerer Massen addieren sich vektoriell.

g(r) = G\,\frac{M}{r^2}

Beispiel

Feldstärke an der Erdoberfläche und in der ISS

Berechne $g$ an der Erdoberfläche und in 400 km Höhe. Erdmasse $M = 5{,}97 \cdot 10^{24}$ kg, Erdradius $R = 6{,}37 \cdot 10^6$ m.

Erdoberfläche: $g = 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24} : (6{,}37 \cdot 10^6)^2 \approx 9{,}82$ N/kg. Das passt zu den bekannten 9,81 N/kg.

In 400 km Höhe ist $r = 6{,}77 \cdot 10^6$ m. Dort gilt $g \approx 8{,}69$ N/kg. Die Anziehung ist also nur etwa 11 % kleiner als am Boden. Die Schwerkraft ist in der ISS vorhanden. Astronauten schweben, weil sie mit der Station im freien Fall sind (siehe unten).

Definition

Bewegung im Gravitationsfeld und Satellitenbahnen

Wirf einen Stein waagerecht, er landet auf einer Parabel. Mit mehr Geschwindigkeit landet er weiter weg. Newton dachte sich eine Kanone auf einem hohen Berg: Ab einer bestimmten Geschwindigkeit krümmt sich die Erdoberfläche unter der Kugel genauso weg, wie die Kugel fällt, und sie fällt ständig um die Erde herum. Das ist eine Satellitenbahn.

Auf einer Kreisbahn mit dem Radius $r$ liefert die Gravitationskraft die Zentripetalkraft: $G M m : r^2 = m v^2 : r$ . Die Masse $m$ des Satelliten kürzt sich. Mit $T = 2\pi r : v$ folgt außerdem $T^2 = 4\pi^2 r^3 : (G M)$ . Dicht über der Oberfläche ( $r \approx R$ , ohne Luft) heißt die Geschwindigkeit erste kosmische Geschwindigkeit $v_1 = \sqrt{G M : R} = \sqrt{g R} \approx 7{,}9$ km/s.

v = \sqrt{\frac{G\,M}{r}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G\,M}}

Beispiel

Die Bahn der ISS

Berechne Bahngeschwindigkeit und Umlaufdauer der ISS in 400 km Höhe ( $r = 6{,}77 \cdot 10^6$ m, $G M = 3{,}98 \cdot 10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2$ ).

Geschwindigkeit: $v = \sqrt{3{,}98 \cdot 10^{14} : 6{,}77 \cdot 10^6} \approx 7{,}67 \cdot 10^3$ m/s, also etwa 7,7 km/s oder 27 600 km/h. Umlaufdauer: $T = 2\pi \cdot 6{,}77 \cdot 10^6 : 7{,}67 \cdot 10^3 \approx 5550$ s, das sind etwa 92 min.

Station und Astronauten fallen mit derselben Beschleunigung $g = 8{,}69$ m/s² um die Erde. Deshalb drückt der Astronaut nicht auf den Boden der Station: Er ist schwerelos, nicht schwerkraftfrei.

Definition

Keplersche Gesetze

Johannes Kepler fand die Gesetze der Planetenbewegung aus Messungen, Newton leitete sie aus dem Gravitationsgesetz her.

1. Gesetz: Die Planeten laufen auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
2. Gesetz (Flächensatz): Die Verbindungslinie Sonne–Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen. Nahe der Sonne bewegt sich der Planet schneller als fern von ihr.
3. Gesetz: Für alle Planeten um dieselbe Sonne ist $T^2 : a^3$ gleich, mit der Umlaufdauer $T$ und der großen Halbachse $a$ der Ellipse.

Für Kreisbahnen ( $a = r$ ) ist das die Formel $T^2 = 4\pi^2 r^3 : (G M)$ . In Jahren und astronomischen Einheiten (1 AE = mittlerer Abstand Erde–Sonne, etwa $1{,}5 \cdot 10^{11}$ m) gilt für die Sonne einfach $T^2 = a^3$ .

\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}

Beispiel

Ein Asteroid

Ein Asteroid umkreist die Sonne in 8,0 Jahren. Wie groß ist die große Halbachse seiner Bahn?

Mit $T^2 = a^3$ in Jahren und AE: $a^3 = 8{,}0^2 = 64$ , also $a = \sqrt[3]{64} = 4{,}0$ AE. Das ist das Vierfache des Abstands Erde–Sonne.

Definition

Energie im Gravitationsfeld und Fluchtgeschwindigkeit (Leistungskurs)

Nur im Leistungskurs. Für große Höhen reicht $E_{\text{pot}} = m g h$ nicht, denn $g$ ändert sich. Wählt man die Energie null im Unendlichen, hat ein Körper der Masse $m$ im Abstand $r$ von der Masse $M$ die potenzielle Energie $E_{\text{pot}} = -G M m : r$ . Sie ist negativ, weil man Arbeit zuführen muss, um ihn aus dem Feld zu entfernen. Für kleine Höhen $h$ über $R$ ergibt der Unterschied $G M m\,(1 : R - 1 : (R + h)) \approx m g h$ .

Die Fluchtgeschwindigkeit ist die Mindestgeschwindigkeit, mit der ein Körper von der Oberfläche das Feld verlassen kann (ohne Luftwiderstand): Seine kinetische Energie muss $G M m : R$ erreichen. Daraus folgt $v_F = \sqrt{2 G M : R} = \sqrt{2}\,v_1$ . Für die Erde sind das etwa 11,2 km/s.

Häufige Fehler

Im Orbit gibt es keine Schwerkraft

„Astronauten in der ISS schweben, weil dort keine Schwerkraft mehr wirkt.“

Richtig ist

In 400 km Höhe ist $g$ nur etwa 11 % kleiner als am Boden. Die Astronauten schweben, weil sie und die Station mit der gleichen Beschleunigung frei um die Erde fallen. Die Gravitationskraft liefert gerade die Zentripetalkraft.

Häufige Fehler

Abstand von der Erdoberfläche einsetzen

„In 6370 km Höhe über der Erdoberfläche ist die Gravitationsfeldstärke nur halb so groß wie am Boden.“

Richtig ist

Im Gesetz steht der Abstand vom Mittelpunkt. In 6370 km Höhe ist $r = 2R$ , und $g$ sinkt auf ein Viertel. Beim Rechnen mit der Höhe $h$ ist $r = R + h$ .

Zusammenfassung

Gravitationsgesetz: $F = G m_1 m_2 : r^2$ , mit $r$ als Abstand der Mittelpunkte und $G = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2/\text{kg}^2$ .
Die Gravitationsfeldstärke $g = F : m = G M : r^2$ ist die Fallbeschleunigung im Abstand $r$ vom Mittelpunkt.
Kreisbahn: Die Gravitationskraft ist die Zentripetalkraft, $v = \sqrt{G M : r}$ und $T^2 = 4\pi^2 r^3 : (G M)$ . Die Satellitenmasse spielt keine Rolle.
Erste kosmische Geschwindigkeit: $v_1 = \sqrt{g R} \approx 7{,}9$ km/s. Astronauten schweben, weil sie im freien Fall sind.
Kepler: Ellipsenbahnen mit der Sonne im Brennpunkt, gleiche Flächen in gleichen Zeiten, $T^2 : a^3$ konstant.
Leistungskurs: $E_{\text{pot}} = -G M m : r$ und Fluchtgeschwindigkeit $v_F = \sqrt{2 G M : R}$ , für die Erde etwa 11,2 km/s.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Wie groß ist die Gravitationsfeldstärke in 6370 km Höhe über der Erdoberfläche, also im Abstand $2R$ vom Erdmittelpunkt? An der Oberfläche gilt $g_0 = 9{,}81$ N/kg. Gib das Ergebnis in N/kg an.

Aufgabe 2Numerisch

Ein Himmelskörper umkreist die Sonne mit der großen Halbachse 9,0 AE. Wie lang ist seine Umlaufdauer, in Jahren?

Aufgabe 3Numerisch

Der Mond hat eine Oberflächenfeldstärke von etwa 1,6 N/kg und einen Radius von etwa 1740 km. Wie groß ist seine erste kosmische Geschwindigkeit, in km/s?

Aufgabe 4Multiple Choice

Ein Satellit wechselt auf eine Kreisbahn mit doppeltem Radius um dieselbe Erde. Um welchen Faktor ändert sich seine Umlaufdauer?

Aufgabe 5Freitext

Erkläre, warum ein Astronaut in der ISS schwebt, obwohl dort die Gravitationsfeldstärke etwa 8,7 N/kg beträgt.

Aufgabe 6Numerisch

Leistungskurs: Die Fluchtgeschwindigkeit der Erde beträgt 11,2 km/s. Wie groß wäre sie für einen Planeten mit gleicher Masse, aber halbem Radius, in km/s?