Lektion 2.1

Impuls und Impulserhaltung

21 min Lesezeit

Eine Billardkugel trifft eine ruhende zweite. Die erste bleibt fast stehen, die zweite rollt davon. Eine Rakete beschleunigt im leeren Weltraum, obwohl dort nichts ist, wovon sie sich abstoßen könnte. Und ein Auto mit Knautschzone übersteht einen Aufprall besser als ein starres, obwohl beide gleich schnell und gleich schwer sind.

Alle drei Fälle ordnet eine Größe, die in jedem abgeschlossenen System erhalten bleibt: der Impuls. Du lernst sie als Vektor kennen und wendest sie auf Stöße und den Rückstoß an.

Definition

Impuls

Der Impuls eines Körpers der Masse $m$ mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ ist das Produkt aus beiden. Er ist ein Vektor und zeigt in Richtung der Geschwindigkeit. Seine Einheit ist $1\,\text{kg m/s} = 1\,\text{N s}$ . Der Gesamtimpuls mehrerer Körper ist die Vektorsumme ihrer Impulse. Bei Bewegungen auf einer Geraden gibst du die Richtung durch das Vorzeichen an: Zwei Körper mit entgegengesetzter Richtung haben Impulse mit verschiedenen Vorzeichen.

\vec{p} = m\,\vec{v}

Definition

Kraftstoß

Aus $\vec{F} = \Delta\vec{p} : \Delta t$ folgt, dass das Produkt aus Kraft und Wirkdauer den Impuls ändert. Dieses Produkt heißt Kraftstoß. Ändert sich die Kraft, steht $\vec{F}$ für ihren Mittelwert, im $F$ - $t$ -Diagramm ist der Kraftstoß die Fläche unter der Kurve. Dieselbe Impulsänderung erreichst du mit kleiner Kraft über lange Zeit oder mit großer Kraft über kurze Zeit. Darauf beruhen Knautschzone, Airbag und das Abrollen beim Fallen.

\vec{F}\,\Delta t = \Delta\vec{p} = m\,\vec{v}_{\text{nachher}} - m\,\vec{v}_{\text{vorher}}

Beispiel

Aufprall mit und ohne Knautschzone

Ein Pkw (1200 kg) fährt mit 15 m/s (54 km/h) gegen eine feste Wand und kommt zum Stillstand. Wie groß ist die mittlere Kraft, wenn der Aufprall 0,10 s dauert, und wie groß, wenn die Knautschzone ihn auf 0,30 s verlängert? Die Werte sind angenommen.

Impulsänderung: $|\Delta p| = 1200 \cdot 15 = 18000$ kg m/s, in beiden Fällen gleich. Starr: $F = 18000 : 0{,}10 = 180000$ N. Mit Knautschzone: $F = 18000 : 0{,}30 = 60000$ N. Die dreifache Dauer gibt ein Drittel der Kraft.

Satz

Impulserhaltungssatz

Ein System heißt abgeschlossen, wenn keine äußeren Kräfte wirken oder sie sich zu null addieren. Dann ist der Gesamtimpuls der Körper des Systems konstant. Auch bei einem Stoß gilt der Satz in sehr guter Näherung, denn die inneren Kräfte sind so groß und wirken so kurz, dass äußere Kräfte wie Reibung nicht ins Gewicht fallen.

\vec{p}_{\text{ges}} = \sum_i m_i\,\vec{v}_i = \text{konstant}

Definition

Elastischer und unelastischer Stoß

Ein Stoß ist eine Wechselwirkung von sehr kurzer Dauer mit großen inneren Kräften. Ob die Bewegungsenergie erhalten bleibt, bestimmt die Art des Stoßes:

Beim elastischen Stoß bleibt die Summe der Bewegungsenergien erhalten. Stahlkugeln nähern das an.
Beim unelastischen Stoß wird ein Teil der Bewegungsenergie in innere Energie umgewandelt (Verformung, Erwärmung). Bleiben die Körper danach aneinander, heißt er vollständig unelastisch, und der Verlust ist am größten.

Der Impuls bleibt in allen Fällen erhalten, die mechanische Energie nur im elastischen Fall. Die gesamte Energie einschließlich der inneren bleibt immer erhalten. Die Formeln gelten für den geraden, zentralen Stoß: Beide Körper bewegen sich auf derselben Geraden.

Beispiel

Vollständig unelastischer Stoß: Güterwagen

Ein Güterwagen (20 t) rollt mit 1,5 m/s auf einen ruhenden Wagen (30 t) und kuppelt an. Wie schnell rollen beide danach, und wie viel Bewegungsenergie geht verloren?

u = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}

Impulserhaltung mit gemeinsamer Geschwindigkeit $u$ : $20000 \cdot 1{,}5 = 50000 \cdot u$ , also $u = 0{,}60$ m/s.

Energie vorher: $\tfrac{1}{2} \cdot 20000 \cdot 1{,}5^2 = 22500$ J. Nachher: $\tfrac{1}{2} \cdot 50000 \cdot 0{,}60^2 = 9000$ J. Es gehen 13500 J verloren, das sind 60 %. Sie werden zu Verformung und Wärme.

Definition

Elastischer Stoß

Impuls- und Energieerhaltung zusammen legen beide Geschwindigkeiten nach dem Stoß fest. Nenne sie $u_1$ und $u_2$ . Aus dem Impulssatz folgt $m_1 (v_1 - u_1) = m_2 (u_2 - v_2)$ , aus dem Energiesatz $m_1 (v_1^2 - u_1^2) = m_2 (u_2^2 - v_2^2)$ . Dividierst du die zweite durch die erste Gleichung, folgt $v_1 + u_1 = v_2 + u_2$ : Die Relativgeschwindigkeit kehrt ihr Vorzeichen um. Zusammen mit dem Impulssatz ergibt das:

u_1 = \frac{(m_1 - m_2)\,v_1 + 2 m_2\,v_2}{m_1 + m_2}, \qquad u_2 = \frac{(m_2 - m_1)\,v_2 + 2 m_1\,v_1}{m_1 + m_2}

Beispiel

Elastischer Stoß zweier Wagen

Ein Wagen (0,50 kg) fährt mit 0,60 m/s auf einen ruhenden Wagen (1,5 kg). Der Stoß ist elastisch. Bestimme beide Geschwindigkeiten danach und prüfe Impuls und Energie.

Mit $v_2 = 0$ : $u_1 = \dfrac{0{,}50 - 1{,}5}{2{,}0} \cdot 0{,}60 = -0{,}30$ m/s und $u_2 = \dfrac{2 \cdot 0{,}50}{2{,}0} \cdot 0{,}60 = 0{,}30$ m/s. Der leichte Wagen prallt zurück, der schwere rollt los.

Impuls: vorher $0{,}50 \cdot 0{,}60 = 0{,}30$ kg m/s, nachher $0{,}50 \cdot (-0{,}30) + 1{,}5 \cdot 0{,}30 = 0{,}30$ kg m/s. Energie: vorher $\tfrac{1}{2} \cdot 0{,}50 \cdot 0{,}60^2 = 0{,}090$ J, nachher $\tfrac{1}{2} \cdot 0{,}50 \cdot 0{,}30^2 + \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}5 \cdot 0{,}30^2 = 0{,}0225 + 0{,}0675 = 0{,}090$ J.

Stoß auf der Fahrbahn

Bereit

Zeit t: 0,00 s
Geschwindigkeit 1: 0,600 m/s
Geschwindigkeit 2: 0,000 m/s

Ort–Zeit

Wagen 1
Wagen 2
Schwerpunkt

Der Schwerpunkt fährt gleichförmig weiter, als hätte es den Stoß nie gegeben.

Drücke „Start“. Im Versuch haben beide Wagen 0,5 kg, der linke fährt mit 0,6 m/s auf den ruhenden rechten. Lies unter dem Bild nach dem Stoß „Geschwindigkeit 1“ und „Geschwindigkeit 2“ ab. Prüfe mit der Formel für gleiche Massen (m₁ = m₂): Der erste Wagen bleibt stehen, der zweite übernimmt die Geschwindigkeit. Im Diagramm siehst du die Orte beider Wagen über der Zeit.

Definition

Rückstoßprinzip

Ruht ein System zunächst, ist sein Gesamtimpuls null. Stoßen sich zwei Teile ab, bleibt er null: $m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = \vec{0}$ . Die Teile fliegen in entgegengesetzte Richtungen, und das leichtere wird schneller, denn die Geschwindigkeiten verhalten sich umgekehrt wie die Massen. Das gilt beim Schuss aus einem Gewehr, beim Abspringen von einem Boot und bei der Rakete: Sie stößt Gas mit hoher Geschwindigkeit nach hinten aus und erhält den entgegengesetzten Impuls. Dazu braucht sie kein Medium, von dem sie sich abstößt, und sie funktioniert im Vakuum. Kanone (nach dem Schuss 800 kg) und Kugel (5,0 kg, 400 m/s): $0 = 5{,}0 \cdot 400 + 800 \cdot u$ , also $u = -2{,}5$ m/s.

Häufige Fehler

Beim unelastischen Stoß geht Impuls verloren

„Bei einem unelastischen Stoß geht ein Teil des Impulses verloren, so wie Bewegungsenergie verloren geht.“

Richtig ist

Der Impuls bleibt in jedem abgeschlossenen System erhalten, auch beim vollständig unelastischen Stoß. Nur die mechanische Energie sinkt, sie wird zu innerer Energie. Die Gesamtenergie bleibt auch dann erhalten.

Häufige Fehler

Impulse ohne Vorzeichen addieren

„Zwei Körper mit 3 kg m/s und 5 kg m/s haben zusammen den Impuls 8 kg m/s.“

Richtig ist

Der Impuls ist ein Vektor. Bewegen sich die Körper in entgegengesetzte Richtungen, subtrahierst du die Beträge: $3 - 5 = -2$ kg m/s, also 2 kg m/s in Richtung des zweiten Körpers.

Zusammenfassung

Der Impuls $\vec{p} = m\vec{v}$ ist ein Vektor mit der Einheit kg m/s. Der Gesamtimpuls ist die Vektorsumme.
Der Kraftstoß $\vec{F}\,\Delta t$ ändert den Impuls: $\vec{F}\,\Delta t = \Delta\vec{p}$ . Längere Wirkdauer bedeutet bei gleicher Impulsänderung kleinere Kraft.
In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtimpuls konstant. Das folgt aus dem dritten Axiom.
Beim elastischen Stoß bleiben Impuls und Bewegungsenergie erhalten, beim unelastischen nur der Impuls. Beim vollständig unelastischen Stoß haben beide Körper danach dieselbe Geschwindigkeit.
Rückstoß: Startet ein System aus der Ruhe, ist die Summe der Impulse der Teile null. Darauf beruht der Raketenantrieb.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Ein Pkw (1000 kg) fährt mit 72 km/h. Wie groß ist sein Impuls, in kg m/s? Schreibe die Zahl ohne Punkt.

Aufgabe 2Numerisch

Ein Ball (0,40 kg) trifft mit 10 m/s senkrecht auf eine Wand und prallt mit 10 m/s zurück. Der Kontakt dauert 0,020 s. Wie groß ist die mittlere Kraft der Wand auf den Ball, in N?

Aufgabe 3Numerisch

Ein Wagen (2,0 kg) fährt mit 3,0 m/s auf einen ruhenden Wagen (1,0 kg). Beide haften danach aneinander. Wie groß ist ihre gemeinsame Geschwindigkeit, in m/s?

Aufgabe 4Multiple Choice

Zwei Wagen stoßen in einem abgeschlossenen System vollständig unelastisch zusammen. Was bleibt erhalten?

Aufgabe 5Freitext

Eine Rakete beschleunigt im leeren Weltraum. Erkläre mit dem Impuls, wie das ohne etwas geht, wovon sie sich abstoßen kann.