Lektion 5.3

Elektromagnetischer Schwingkreis

16 min Lesezeit

Bei einem einfachen analogen Radio verändert der Drehknopf die Kapazität eines Kondensators im Gerät. Dadurch stimmt man einen Stromkreis auf die Frequenz eines Senders ab. Was soll in einem Stromkreis schwingen?

Beim Pendel wechselt die Energie zwischen Lageenergie und Bewegungsenergie. Ein Kondensator speichert Energie im elektrischen Feld, eine Spule im Magnetfeld. Verbindet man beide, kann die Energie zwischen ihnen hin und her laufen. Du beschreibst diese Schwingung und berechnest, wovon ihre Frequenz abhängt.

Definition

Kondensator und Spule im Überblick

Ein Kondensator der Kapazität CC trägt bei der Spannung UU die Ladung Q=CUQ = CU und speichert die Energie Eel=12CU2=Q2/(2C)E_{\text{el}} = \frac12 CU^2 = Q^2/(2C) im elektrischen Feld.

Eine Spule der Induktivität LL (Einheit 1 Henry = 1 Vs/A) hat die Eigenschaft: Ändert sich der Strom II, entsteht eine Selbstinduktionsspannung, die nach der Lenzschen Regel der Änderung entgegenwirkt. Der Spannungsabfall an der Spule ist UL=L I˙U_L = L\,\dot{I}. Die Spule bremst jede Stromänderung, ähnlich wie die Masse jede Geschwindigkeitsänderung bremst. Sie speichert die Energie Emag=12LI2E_{\text{mag}} = \frac12 LI^2 im Magnetfeld.

Definition

Aufbau und Energieumwandlung im Schwingkreis

Ein Schwingkreis besteht aus einem Kondensator und einer Spule in einem geschlossenen Kreis. Zuerst betrachten wir den idealen Kreis ohne elektrischen Widerstand. Der Kondensator wird aufgeladen und dann mit der Spule verbunden. Der Ablauf über eine Periode TT:

ZeitpunktKondensatorStromstärkeEnergie steckt im
t=0t = 0voll geladen, U=U^U = \hat{U}I=0I = 0elektrischen Feld
T/4T/4entladen, U=0U = 0Betrag maximalMagnetfeld der Spule
T/2T/2voll geladen, umgekehrt gepoltI=0I = 0elektrischen Feld
3T/43T/4entladen, U=0U = 0Betrag maximal, umgekehrte RichtungMagnetfeld der Spule
TTwie bei t=0t = 0I=0I = 0elektrischen Feld

Der Strom fließt auch dann weiter, wenn der Kondensator entladen ist: Das abnehmende Magnetfeld induziert eine Spannung, die den Strom aufrechterhält und den Kondensator umgekehrt auflädt. Durch den Kondensator selbst fließt keine Ladung, denn zwischen den Platten ist ein Isolator. Der Strom pendelt durch die Spule hin und her.

Definition

Thomsonsche Schwingungsgleichung

Sei QQ die Ladung der Kondensatorplatte, in die der Strom I=Q˙I = \dot{Q} fließt. Nach der Maschenregel ergeben die Spannungen an Spule und Kondensator zusammen null: LI˙+Q/C=0L\dot{I} + Q/C = 0. Mit I˙=Q¨\dot{I} = \ddot{Q} folgt Q¨=−1LC Q\ddot{Q} = -\frac{1}{LC}\,Q. Das ist die Gleichung x¨=−Dm x\ddot{x} = -\frac{D}{m}\,x des Federpendels, mit QQ statt xx, LL statt mm und 1/C1/C statt DD. Die Ladung schwingt also harmonisch mit ω=1/LC\omega = 1/\sqrt{LC}. Die Thomsonsche Schwingungsgleichung gibt die Periodendauer an:

T=2πL Cf=12πL CT = 2\pi\sqrt{L\,C} \qquad\qquad f = \frac{1}{2\pi\sqrt{L\,C}}
Definition

Spannung, Stromstärke und Energie im Zeitverlauf

Startet der Kreis bei t=0t = 0 mit voll geladenem Kondensator, gilt Q=Q^cos⁡ωtQ = \hat{Q}\cos\omega t. Daraus folgen Spannung und Stromstärke. Der Strom ist maximal, wenn die Spannung null ist, und umgekehrt, wie die Geschwindigkeit in der Ruhelage maximal ist. Die Schwingungen von UU und II sind um eine Viertelperiode gegeneinander verschoben.

Die Energie ist wegen 12LI^2=12CU^2\frac12 L\hat{I}^2 = \frac12 C\hat{U}^2 konstant: E=12CU^2cos⁡2ωt+12LI^2sin⁡2ωt=12CU^2E = \frac12 C\hat{U}^2\cos^2\omega t + \frac12 L\hat{I}^2\sin^2\omega t = \frac12 C\hat{U}^2. Elektrische und magnetische Energie wandeln sich mit der Frequenz 2f2f ineinander um.

U(t)=U^cos⁡(ωt)I(t)=−I^sin⁡(ωt)I^=ωQ^=U^CLU(t) = \hat{U}\cos(\omega t) \qquad I(t) = -\hat{I}\sin(\omega t) \qquad \hat{I} = \omega\hat{Q} = \hat{U}\sqrt{\frac{C}{L}}
Definition

Analogie zum mechanischen Oszillator

Der Schwingkreis und das Federpendel haben dieselbe Gleichung. Man kann ihre Größen einander zuordnen:

FederpendelSchwingkreis
Elongation xxLadung QQ (Spannung U=Q/CU = Q/C)
Geschwindigkeit vvStromstärke II
Masse mm (Trägheit)Induktivität LL
Federhärte DD1/C1/C
Spannenergie 12Dx2\frac12 Dx^2Energie des Kondensators 12CU2\frac12 CU^2
Bewegungsenergie 12mv2\frac12 mv^2Energie der Spule 12LI2\frac12 LI^2

Eine große Induktivität („schwere Masse“) oder eine große Kapazität („weiche Feder“) verlängern die Periodendauer. Wie beim Federpendel hängt TT nicht von der Amplitude ab. Die Analogie hat eine Grenze: Ein realer Kreis hat durch Spulendraht und Leitungen einen Widerstand RR, der der Reibung entspricht. Er wandelt Energie in Wärme um, die Schwingung wird gedämpft. Für eine ungedämpfte Schwingung muss man Energie nachliefern.

Beispiel

Kenngrößen eines Schwingkreises

Ein Kondensator mit C=2,0 μFC = 2{,}0\,\mu\mathrm{F} wird auf 10 V10\,\mathrm{V} aufgeladen und mit einer Spule von L=0,50 HL = 0{,}50\,\mathrm{H} verbunden. Berechne TT, ff, die Gesamtenergie, die größte Stromstärke und die Stromstärke in dem Moment, in dem die Spannung 6,0 V beträgt.

T=2π0,50 H⋅2,0⋅10−6 F=2π⋅1,0⋅10−3 s=6,3 msT = 2\pi\sqrt{0{,}50\,\mathrm{H}\cdot 2{,}0\cdot 10^{-6}\,\mathrm{F}} = 2\pi\cdot 1{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{s} = 6{,}3\,\mathrm{ms} und f=1/T≈159 Hzf = 1/T \approx 159\,\mathrm{Hz}.

Gesamtenergie: E=12CU^2=12⋅2,0⋅10−6 F⋅(10 V)2=1,0⋅10−4 JE = \frac12 C\hat{U}^2 = \frac12\cdot 2{,}0\cdot 10^{-6}\,\mathrm{F}\cdot(10\,\mathrm{V})^2 = 1{,}0\cdot 10^{-4}\,\mathrm{J}. Größte Stromstärke: I^=U^C/L=10 V⋅4,0⋅10−6 A/V=20 mA\hat{I} = \hat{U}\sqrt{C/L} = 10\,\mathrm{V}\cdot\sqrt{4{,}0\cdot 10^{-6}}\,\mathrm{A/V} = 20\,\mathrm{mA}.

Bei U=6,0 VU = 6{,}0\,\mathrm{V} steckt im Kondensator 12CU2=3,6⋅10−5 J\frac12 CU^2 = 3{,}6\cdot 10^{-5}\,\mathrm{J}. In der Spule bleiben 1,0⋅10−4 J−3,6⋅10−5 J=6,4⋅10−5 J1{,}0\cdot 10^{-4}\,\mathrm{J} - 3{,}6\cdot 10^{-5}\,\mathrm{J} = 6{,}4\cdot 10^{-5}\,\mathrm{J}. Aus 12LI2=6,4⋅10−5 J\frac12 LI^2 = 6{,}4\cdot 10^{-5}\,\mathrm{J} folgt I=2⋅6,4⋅10−5/0,50 A=16 mAI = \sqrt{2\cdot 6{,}4\cdot 10^{-5}/0{,}50}\,\mathrm{A} = 16\,\mathrm{mA}.

Beispiel

Kondensator für einen Radiosender

Ein Schwingkreis mit L=250 μHL = 250\,\mu\mathrm{H} soll bei f=1,0 MHzf = 1{,}0\,\mathrm{MHz} schwingen. Welche Kapazität ist nötig?

Auflösen der Thomsonschen Gleichung nach CC: C=1(2πf)2 L=1(2π⋅106 s−1)2⋅250⋅10−6 H≈1,0⋅10−10 F=101 pFC = \frac{1}{(2\pi f)^2\,L} = \frac{1}{(2\pi\cdot 10^{6}\,\mathrm{s^{-1}})^2\cdot 250\cdot 10^{-6}\,\mathrm{H}} \approx 1{,}0\cdot 10^{-10}\,\mathrm{F} = 101\,\mathrm{pF}.

Wegen f∼1/Cf \sim 1/\sqrt{C} erhöht man die Frequenz auf das Doppelte, indem man die Kapazität auf ein Viertel verringert.

Häufige Fehler

Die Ladung fließt durch den Kondensator

„Beim Entladen wandern die Elektronen durch den Kondensator von einer Platte zur anderen.“

Richtig ist

Zwischen den Platten ist ein Isolator oder Vakuum, dort fließt keine Ladung. Die Ladung fließt von einer Platte durch die Leitung und die Spule zur anderen Platte. Der Strom im Kreis wechselt periodisch die Richtung.

Häufige Fehler

Ist die Spannung null, ist die Energie weg

„Wenn der Kondensator entladen ist, ist im Schwingkreis keine Energie mehr vorhanden.“

Richtig ist

Ohne Widerstand bleibt die Energie erhalten. Bei U=0U = 0 steckt sie vollständig im Magnetfeld der Spule, und die Stromstärke ist dort am größten. Das entspricht dem Pendel in der Ruhelage mit der größten Geschwindigkeit.

Zusammenfassung

  • Ein Schwingkreis besteht aus Kondensator und Spule. Die Energie pendelt zwischen dem elektrischen Feld des Kondensators und dem Magnetfeld der Spule.

  • Der Strom ist maximal, wenn die Spannung null ist. UU und II sind um eine Viertelperiode verschoben.

  • Aus der Maschenregel folgt Q¨=−1LCQ\ddot{Q} = -\frac{1}{LC}Q. Die Ladung schwingt harmonisch mit ω=1/LC\omega = 1/\sqrt{LC}.

  • Thomsonsche Schwingungsgleichung: T=2πLCT = 2\pi\sqrt{LC}. Sie entsteht aus T=2πm/DT = 2\pi\sqrt{m/D} mit m→Lm \to L und D→1/CD \to 1/C.

  • Es gilt I^=U^C/L\hat{I} = \hat{U}\sqrt{C/L} und E=12CU^2=12LI^2E = \frac12 C\hat{U}^2 = \frac12 L\hat{I}^2.

  • Ein realer Kreis hat einen Widerstand, der Energie in Wärme umwandelt: Die Schwingung wird gedämpft.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Ein Schwingkreis hat die Induktivität 0,25 H und die Kapazität 1,0 µF. Wie groß ist die Periodendauer in Millisekunden?

Aufgabe 2Multiple Choice

Mit welcher Änderung verdoppelt sich die Frequenz eines Schwingkreises?

Aufgabe 3Numerisch

Ein Kondensator mit C = 4,0 µF ist auf 5,0 V geladen und wird mit einer Spule von L = 0,25 H verbunden. Wie groß ist die größte Stromstärke in Milliampere?

Aufgabe 4Numerisch

Im Schwingkreis beträgt die Spannung am Kondensator gerade die Hälfte der größten Spannung Û. Wie viel Prozent der Gesamtenergie stecken in diesem Moment in der Spule?

Aufgabe 5Freitext

Der Kondensator im Schwingkreis ist gerade vollständig entladen (U = 0). Erkläre, warum der Strom trotzdem weiterfließt, und nenne die Entsprechung beim Federpendel.