Lektion 5.1

Mechanische Schwingungen

17 min Lesezeit

Ein Kind auf der Schaukel, das Pendel einer Standuhr, eine angezupfte Gitarrensaite: Diese Körper bewegen sich um eine Ruhelage hin und her, und die Bewegung wiederholt sich in gleichen Zeitabständen. Eine Pendeluhr geht nur deshalb genau, weil das Pendel für jedes Hin und Her dieselbe Zeit braucht, auch wenn der Ausschlag langsam kleiner wird.

Wovon hängt diese Zeit ab? Warum rechnet man bei einer Feder anders als bei einem Faden? Und wie wandelt sich die Energie um, wenn der Körper in der Mitte am schnellsten ist und am Rand stillsteht? Du beschreibst solche Bewegungen mit wenigen Größen und führst sie auf eine Eigenschaft der Kraft zurück.

Definition

Schwingung und ihre Kenngrößen

Eine Schwingung ist eine Bewegung, die sich zeitlich periodisch wiederholt und um eine Ruhelage verläuft. Die Ruhelage ist die Stelle, an der der Körper ohne Anstoß in Ruhe bliebe, weil dort keine resultierende Kraft auf ihn wirkt.

Die Elongation $x(t)$ ist die Auslenkung aus der Ruhelage zur Zeit $t$ . Sie hat ein Vorzeichen: positiv auf der einen Seite der Ruhelage, negativ auf der anderen.
Die Amplitude $\hat{x}$ ist der Betrag der größten Elongation.
Die Periodendauer $T$ ist die Zeit für eine vollständige Schwingung (bis zum selben Ort mit derselben Bewegungsrichtung).
Die Frequenz $f$ ist die Zahl der Schwingungen je Sekunde. Einheit: 1 Hertz = 1 Hz = 1/s.
Die Kreisfrequenz $\omega$ ist wie bei der Kreisbewegung der Winkel je Sekunde: In einer Periode wächst der Winkel um $2\pi$ . Einheit: 1/s.

f = \frac{1}{T} \qquad\qquad \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}

Definition

Harmonische Schwingung

Bei einer harmonischen Schwingung folgt die Elongation einer Sinus- oder Kosinuskurve. Anschaulich ist sie der Schatten einer gleichförmigen Kreisbewegung (Radius $\hat{x}$ , Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ) auf einer Wand. Der Nullphasenwinkel $\varphi_0$ legt den Zustand bei $t = 0$ fest. Startet der Körper ohne Anstoß bei $x = \hat{x}$ , gilt $x(t) = \hat{x}\cos(\omega t)$ , denn eine Kosinuskurve ist eine um $\pi/2$ verschobene Sinuskurve.

In der Physik schreibt man die Ableitung nach der Zeit mit einem Punkt: $v = \dot{x}$ , $a = \ddot{x}$ . Mit der Kettenregel erhältst du Geschwindigkeit und Beschleunigung. In der Ruhelage ( $x = 0$ ) ist $|v|$ maximal und $a = 0$ , in den Umkehrpunkten ( $x = \pm\hat{x}$ ) ist $v = 0$ und $|a|$ maximal. Wichtig ist $a = -\omega^2 x$ : Die Beschleunigung ist proportional zur Elongation und zeigt zur Ruhelage.

\begin{aligned} x(t) &= \hat{x}\,\sin(\omega t + \varphi_0) \\ v(t) &= \dot{x} = \hat{x}\,\omega\,\cos(\omega t + \varphi_0) \\ a(t) &= \ddot{x} = -\hat{x}\,\omega^2\,\sin(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2\,x(t) \end{aligned}

Beispiel

Elongation, Geschwindigkeit und Beschleunigung

Ein Körper wird bei $x = 4{,}0\,\mathrm{cm}$ losgelassen und schwingt harmonisch mit $T = 0{,}50\,\mathrm{s}$ . Berechne $\omega$ , die Elongation bei $t = 0{,}10\,\mathrm{s}$ sowie die größten Werte von $v$ und $a$ .

x(t) = \hat{x}\cos(\omega t)

Kreisfrequenz: $\omega = 2\pi/T = 12{,}57\,\mathrm{s^{-1}}$ . Dann ist $\omega t = 1{,}257$ (72°; stelle den Taschenrechner auf Bogenmaß). Elongation: $x = 4{,}0\,\mathrm{cm}\cdot\cos(1{,}257) \approx 1{,}24\,\mathrm{cm}$ .

Größte Werte: $v_{\max} = \hat{x}\omega \approx 0{,}50\,\mathrm{m/s}$ (bei $x = 0$ ) und $a_{\max} = \hat{x}\omega^2 \approx 6{,}3\,\mathrm{m/s^2}$ (bei $x = \pm\hat{x}$ ).

Definition

Lineare Rückstellkraft

Wann ist eine Schwingung harmonisch? Wirkt auf einen Körper der Masse $m$ eine lineare Rückstellkraft $F = -D\,x$ (proportional zur Elongation, zur Ruhelage gerichtet, $D$ in N/m), dann gilt nach Newton $a = -\frac{D}{m}\,x$ . Das ist genau die Form $a = -\omega^2 x$ mit $\omega = \sqrt{D/m}$ . Umgekehrt folgt aus $a = -\omega^2 x$ die lineare Kraft $F = -m\omega^2 x$ . Harmonische Schwingung und lineares Kraftgesetz gehören also zusammen.

Die Periodendauer hängt nicht von der Amplitude ab: Bei doppelter Amplitude wird der Körper doppelt so stark beschleunigt, legt aber auch den doppelten Weg zurück.

F = -D\,x \quad\Longrightarrow\quad \omega = \sqrt{\frac{D}{m}} \quad\text{und}\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}

Definition

Federpendel

Ein Körper der Masse $m$ hängt an einer Schraubenfeder mit der Federhärte $D$ . Im elastischen Bereich ist die Federkraft proportional zur Längenänderung (Hookesches Gesetz). Liegt der Körper waagerecht auf einer Luftkissenbahn, ist die Rückstellkraft sofort $F = -Dx$ . Hängt er senkrecht, verschiebt die Gewichtskraft nur die Ruhelage: Dort gilt $D\,s_0 = m g$ mit der Dehnung $s_0$ . Wird der Körper um $x$ aus dieser Ruhelage gezogen, bleibt als resultierende Kraft $-Dx$ . In beiden Fällen gilt $T = 2\pi\sqrt{m/D}$ . Die Fallbeschleunigung geht nicht ein.

Beispiel

Periodendauer aus der Dehnung der Feder

Ein Körper der Masse 0,20 kg dehnt eine Feder im Gleichgewicht um 8,0 cm. Wie groß sind $D$ , $T$ und $f$ , wenn er danach schwingt?

Im Gleichgewicht gilt $D\,s_0 = m g$ , also $D = \frac{0{,}20\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}}{0{,}080\,\mathrm{m}} \approx 24{,}5\,\mathrm{N/m}$ .

Periodendauer: $T = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}20\,\mathrm{kg}}{24{,}5\,\mathrm{N/m}}} \approx 0{,}57\,\mathrm{s}$ . Frequenz: $f = 1/T \approx 1{,}76\,\mathrm{Hz}$ .

Definition

Fadenpendel

Eine Kugel der Masse $m$ hängt an einem Faden der Länge $l$ und schwingt in einer Ebene. Man beschreibt die Auslenkung durch den Winkel $\varphi$ ; die Elongation ist die Länge des Bogens, $x = l\varphi$ (mit $\varphi$ im Bogenmaß). Die Gewichtskraft wird zerlegt: Der Anteil in Fadenrichtung beeinflusst die Bewegung längs der Bahn nicht, er bestimmt nur die Fadenkraft. In Bahnrichtung bleibt die Rückstellkraft $-mg\sin\varphi$ . Sie ist proportional zu $\sin\varphi$ , nicht zu $x$ . Für kleine Winkel gilt $\sin\varphi \approx \varphi$ (bei 10° beträgt der Fehler etwa 0,5 %). Dann ist $F \approx -\frac{mg}{l}\,x$ , also $D = mg/l$ .

Die Masse kürzt sich: $T$ hängt nur von Länge und Fallbeschleunigung ab. Das ist ein Modell mit Grenze: Bei größeren Winkeln ist die Schwingung nicht mehr harmonisch, und $T$ ist größer als die Formel liefert (bei 10° Amplitude etwa 0,2 % mehr, bei 60° etwa 7 % mehr).

F = -m g\sin\varphi \approx -\frac{m g}{l}\,x \quad\Longrightarrow\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

Beispiel

Länge eines Pendels mit vorgegebener Periodendauer

Wie lang muss ein Fadenpendel sein, damit eine Schwingung 2,0 s dauert?

Auflösen von $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ nach $l$ : $l = \frac{g\,T^2}{4\pi^2} = \frac{9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\cdot (2{,}0\,\mathrm{s})^2}{4\pi^2} \approx 0{,}99\,\mathrm{m}$ . Vervierfacht man die Länge, verdoppelt sich $T$ .

Fadenpendel schwingen lassen

Bereit

Zeit t: 0,00 s
Auslenkung φ: 30,0°
Bahngeschwindigkeit: 0,00 m/s

Auslenkung–Zeit

Pendel
Kleinwinkelnäherung

Gestrichelt: die harmonische Näherung sin φ ≈ φ. Bei großen Winkeln läuft sie dem echten Pendel davon.

Drücke "Start": Im Diagramm entsteht die Kurve Auslenkung gegen Zeit, eine Sinuskurve. Die gestrichelte Kurve gehört zur harmonischen Näherung für kleine Winkel. Lies mit "Pause" die Bahngeschwindigkeit ab: In den Umkehrpunkten ist sie null, in der Mitte am größten.

Definition

Energieumwandlung

Ohne Reibung bleibt die Gesamtenergie konstant. Sie wechselt zwischen Spannenergie (Federpendel) beziehungsweise Lageenergie (Fadenpendel) und Bewegungsenergie. In den Umkehrpunkten steckt alles in der Spann- oder Lageenergie, in der Ruhelage alles in der Bewegungsenergie.

Beim Federpendel folgt aus $x = \hat{x}\cos\omega t$ , $v = -\hat{x}\omega\sin\omega t$ und $m\omega^2 = D$ : $E_{\text{Spann}} = \frac12 D\hat{x}^2\cos^2\omega t$ und $E_{\text{kin}} = \frac12 D\hat{x}^2\sin^2\omega t$ . Die Summe ist wegen $\cos^2 + \sin^2 = 1$ konstant. Jede Energieform erreicht in einer Periode zweimal ihr Maximum, schwingt also mit der Frequenz $2f$ .

E = \tfrac12 D\,x^2 + \tfrac12 m\,v^2 = \tfrac12 D\,\hat{x}^2 = \tfrac12 m\,v_{\max}^2

Beispiel

Energie eines Federpendels

Ein Federpendel mit $m = 0{,}25\,\mathrm{kg}$ und $D = 25\,\mathrm{N/m}$ schwingt mit der Amplitude 4,0 cm. Bestimme die Gesamtenergie, die größte Geschwindigkeit und die Geschwindigkeit bei $x = 2{,}0\,\mathrm{cm}$ .

Gesamtenergie: $E = \frac12 D\hat{x}^2 = \frac12\cdot 25\,\mathrm{N/m}\cdot(0{,}040\,\mathrm{m})^2 = 0{,}020\,\mathrm{J}$ . Mit $\omega = \sqrt{D/m} = 10\,\mathrm{s^{-1}}$ ist $v_{\max} = \hat{x}\omega = 0{,}40\,\mathrm{m/s}$ .

Bei $x = 2{,}0\,\mathrm{cm}$ ist $E_{\text{Spann}} = \frac12\cdot 25\cdot(0{,}020)^2\,\mathrm{J} = 0{,}0050\,\mathrm{J}$ . Es bleiben $E_{\text{kin}} = 0{,}015\,\mathrm{J}$ , also $v = \sqrt{2\cdot 0{,}015/0{,}25}\,\mathrm{m/s} \approx 0{,}35\,\mathrm{m/s}$ .

Häufige Fehler

Schwere Pendel schwingen langsamer

„Ein Fadenpendel mit größerer Masse braucht länger für eine Schwingung, und ein größerer Ausschlag dauert auch länger.“

Richtig ist

Beim Fadenpendel kürzt sich die Masse, denn Rückstellkraft und Trägheit sind beide proportional zu $m$ . Bei kleinen Winkeln hängt $T$ auch nicht von der Amplitude ab. Beim Federpendel steigt $T$ mit der Masse, aber auch dort nicht mit der Amplitude.

Häufige Fehler

Im Umkehrpunkt ist die Beschleunigung null

„Im Umkehrpunkt steht der Körper still, also ist dort auch die Beschleunigung null.“

Richtig ist

Im Umkehrpunkt ist nur die Geschwindigkeit null. Dort ist die Elongation am größten, also nach $a = -\omega^2 x$ auch die Beschleunigung. In der Ruhelage ist $a = 0$ , aber $v$ maximal.

Zusammenfassung

Kenngrößen einer Schwingung: Elongation $x$ , Amplitude $\hat{x}$ , Periodendauer $T$ , Frequenz $f = 1/T$ , Kreisfrequenz $\omega = 2\pi f$ .
Harmonische Schwingung: $x = \hat{x}\sin(\omega t + \varphi_0)$ , $v = \hat{x}\omega\cos(\omega t + \varphi_0)$ , $a = -\omega^2 x$ .
Eine lineare Rückstellkraft $F = -Dx$ führt zu einer harmonischen Schwingung mit $\omega = \sqrt{D/m}$ . $T$ hängt nicht von der Amplitude ab.
Federpendel: $T = 2\pi\sqrt{m/D}$ . Fadenpendel bei kleinen Winkeln: $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ , ohne Einfluss der Masse. Bei großen Winkeln wächst $T$ .
Ohne Reibung bleibt $E = \frac12 D\hat{x}^2$ konstant. Spann- oder Lageenergie und Bewegungsenergie wandeln sich mit der Frequenz $2f$ ineinander um.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Ein Körper führt in 12 s genau 30 vollständige Schwingungen aus. Wie groß ist seine Kreisfrequenz in 1/s?

Aufgabe 2Multiple Choice

Ein Körper schwingt harmonisch. Bei welcher Elongation ist der Betrag seiner Beschleunigung am größten?

Aufgabe 3Numerisch

Ein Körper der Masse 0,10 kg hängt an einer Feder mit D = 40 N/m und schwingt. Wie groß ist die Periodendauer in Sekunden?

Aufgabe 4Numerisch

Ein Federpendel schwingt mit der Amplitude 6,0 cm. Bei welcher Elongation (Betrag in Zentimetern) sind Spannenergie und Bewegungsenergie gleich groß?

Aufgabe 5Freitext

Zwei gleich lange Fadenpendel tragen Kugeln der Masse m und 2m. Beide schwingen mit kleinem Ausschlag, der Luftwiderstand ist zu vernachlässigen. Begründe, warum ihre Periodendauern gleich sind.