Auf einen Schwinger der Masse $m$ wirke die lineare Rückstellkraft $F = -Dx$. Nach Newton gilt $m\ddot{x} = -Dx$. Mit der Eigenkreisfrequenz $\omega_0 = \sqrt{D/m}$ ist das die Schwingungsgleichung des ungedämpften Schwingers. Ihre Lösungen sind $x = \hat{x}\cos(\omega_0 t + \varphi_0)$; zweimaliges Ableiten bestätigt es. Die Gleichung ist linear: $x$ und seine Ableitungen kommen nur in der ersten Potenz vor. Reibung und äußere Kraft fügen weitere lineare Glieder hinzu. Das Fadenpendel erfüllt die Gleichung nur für kleine Winkel.

Reibung wandelt Schwingungsenergie in Wärme um, die Amplitude nimmt ab. Als Modell setzt man eine Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit an: $F_R = -b\dot{x}$ mit der Dämpfungskonstanten $b$ in kg/s. Das passt zur Reibung in Flüssigkeiten bei kleinen Geschwindigkeiten; Gleitreibung wäre dagegen konstant. Aus $m\ddot{x} = -Dx - b\dot{x}$ wird mit der Abklingkonstanten $\delta = b/(2m)$ in 1/s die Gleichung der gedämpften Schwingung:

Für schwache Dämpfung ($\delta < \omega_0$) ist die Lösung eine Kosinusschwingung unter einer abklingenden e-Funktion; Einsetzen bestätigt es. Sie schwingt mit $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \delta^2}$, etwas langsamer als ohne Dämpfung. Aufeinanderfolgende Maxima nehmen um denselben Faktor ab, $\hat{x}_n/\hat{x}_{n+1} = e^{\delta T_d}$: Die Amplitude sinkt exponentiell, die Energie wie $e^{-2\delta t}$.

Bei $\delta = \omega_0$, also $b = 2\sqrt{mD}$, tritt der aperiodische Grenzfall ein: Der Körper kehrt am schnellsten zur Ruhelage zurück, ohne zu überschwingen. Das wird angestrebt, wo ein Zeiger oder eine Tür rasch zur Ruhe kommen soll. Bei $\delta > \omega_0$ (Kriechfall) kriecht der Körper langsam zurück, ohne zu schwingen.

Eine periodische äußere Kraft $F(t) = \hat{F}\cos(\Omega t)$ mit der Erregerkreisfrequenz $\Omega$ treibt den Schwinger (den Resonator) an: $m\ddot{x} + b\dot{x} + Dx = \hat{F}\cos(\Omega t)$. Nach einem Einschwingvorgang, in dem die Eigenschwingung abklingt, schwingt er mit der Frequenz des Erregers, nicht mit seiner eigenen, und mit konstanter Amplitude: Die zugeführte Energie deckt die Reibungsverluste. Der Resonator hinkt dem Erreger um einen Phasenwinkel nach, bei $\Omega \ll \omega_0$ etwa 0°, bei $\Omega = \omega_0$ genau 90°, bei $\Omega \gg \omega_0$ etwa 180°. Die Amplitude hängt von $\Omega$ ab:

Die Resonanzkurve zeigt die Amplitude $\hat{x}$ in Abhängigkeit von $\Omega$. Sie beginnt für $\Omega \to 0$ bei der statischen Auslenkung $\hat{F}/D$, hat nahe $\omega_0$ ein Maximum und fällt für große $\Omega$ gegen null. Resonanz heißt: Die Erregerfrequenz liegt nahe der Eigenfrequenz, die Amplitude ist maximal. Bei $\Omega = \omega_0$ gilt $\hat{x} = \hat{F}/(b\,\omega_0)$. Der Grund: Bei 90° Phasenverschiebung ist die Geschwindigkeit in Phase mit der Erregerkraft, die Kraft wirkt stets in Bewegungsrichtung und führt ständig Energie zu.

Je kleiner die Dämpfung, desto höher und schmaler der Gipfel. Er liegt bei $\Omega = \sqrt{\omega_0^2 - 2\delta^2}$, also etwas unter $\omega_0$, bei stärkerer Dämpfung weiter darunter. Ohne Dämpfung wäre die Amplitude unbegrenzt, reale Systeme werden durch Dämpfung begrenzt oder beschädigt. Man nutzt Resonanz gezielt (Musikinstrumente) und vermeidet sie, wo Bauteile Schaden nehmen.

Ein Kondensator (Kapazität $C$), eine Spule (Induktivität $L$) und ein Widerstand $R$ in Reihe werden von derselben Gleichung beschrieben. Mit der Ladung $Q$ des Kondensators und dem Strom $I = \dot{Q}$ ergeben nach der Maschenregel die Spannungen an der Spule ($L\dot{I} = L\ddot{Q}$), am Widerstand ($R\dot{Q}$) und am Kondensator ($Q/C$) zusammen die angelegte Spannung $u(t)$: $L\ddot{Q} + R\dot{Q} + Q/C = u(t)$. Das ist die Gleichung des Federschwingers mit anderen Namen.

Alle Ergebnisse dieser Lektion lassen sich übertragen, zum Beispiel $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ und $\delta = R/(2L)$. Wie ein solcher Kreis ohne Dämpfung schwingt, zeigt die nächste Lektion.