Lektion 4.1

Dezimalzahlen darstellen, vergleichen und runden

14 min Lesezeit

Beim Weitsprung springt Lena 4,3 Meter. Tom springt 4,27 Meter. Wer ist weiter gesprungen? Viele denken: „Tom, denn 27 ist größer als 3.“ Stimmt das?

Auch an der Waage im Supermarkt siehst du solche Zahlen: 2,350 Kilogramm Äpfel. Was bedeuten die Ziffern hinter dem Komma? Und warum zeigt die Waage drei Stellen, die Kasse beim Bezahlen aber nur zwei?

Zahlen mit Komma heißen Dezimalzahlen. In dieser Lektion lernst du, was jede Ziffer hinter dem Komma wert ist. Du vergleichst und rundest solche Zahlen und überlegst, wie genau eine Angabe sein muss.

Definition

Dezimalzahl und erweiterte Stellenwerttafel

Bei den natürlichen Zahlen wird der Stellenwert nach links immer zehnmal so groß. Nach rechts wird er immer zehnmal so klein. Hinter den Einern kommen deshalb Teile eines Ganzen: Ein Einer wird in zehn gleiche Teile geteilt. Ein Teil ist ein Zehntel. Ein Zehntel wird wieder in zehn Teile geteilt. Ein Teil davon ist ein Hundertstel. Danach kommt das Tausendstel.

Ein Komma trennt die ganzen Einer von diesen Teilen. Eine Zahl mit Komma heißt Dezimalzahl. Die Stellen rechts vom Komma heißen Nachkommastellen. In einer erweiterten Stellenwerttafel steht jede Ziffer an ihrem Platz. Hier steht die Zahl 12,475:

ZE,ZehntelHundertstelTausendstel
12,475

Die 4 bedeutet 4 Zehntel, die 7 bedeutet 7 Hundertstel und die 5 bedeutet 5 Tausendstel.

12,475=10+2+410+7100+5100012{,}475 = 10 + 2 + \frac{4}{10} + \frac{7}{100} + \frac{5}{1000}
Definition

Zehnerbruch

Ein Bruch mit dem Nenner 10, 100, 1000 und so weiter heißt Zehnerbruch. Jede Dezimalzahl lässt sich als Zehnerbruch schreiben, und jeder Zehnerbruch als Dezimalzahl. So geht es:

  • Der Zähler ist die Zahl ohne Komma.
  • Der Nenner hat so viele Nullen, wie die Zahl Nachkommastellen hat.

Eine Nachkommastelle gibt also den Nenner 10, zwei Nachkommastellen den Nenner 100 und drei den Nenner 1000. Die Null in 0,07 ist wichtig. Sie hält die Zehntelstelle frei: Es sind 0 Zehntel und 7 Hundertstel.

0,7=7100,07=71000,007=710002,35=2351000{,}7 = \frac{7}{10} \qquad 0{,}07 = \frac{7}{100} \qquad 0{,}007 = \frac{7}{1000} \qquad 2{,}35 = \frac{235}{100}
Beispiel

Dezimalzahl und Zehnerbruch

Schreibe als Zehnerbruch: a) 0,6, b) 0,045, c) 3,25. Schreibe als Dezimalzahl: d) 47 Tausendstel, e) 5 Ganze, 3 Zehntel und 2 Tausendstel.

a)  0,6=610b)  0,045=451000c)  3,25=325100d)  471000=0,047e)  5+310+21000=5,302\begin{aligned} \text{a)}\; & 0{,}6 = \frac{6}{10} \\ \text{b)}\; & 0{,}045 = \frac{45}{1000} \\ \text{c)}\; & 3{,}25 = \frac{325}{100} \\ \text{d)}\; & \frac{47}{1000} = 0{,}047 \\ \text{e)}\; & 5 + \frac{3}{10} + \frac{2}{1000} = 5{,}302 \end{aligned}

In a) steht eine Nachkommastelle, also ist der Nenner 10. In b) sind es drei Nachkommastellen, also der Nenner 1000. Der Zähler ist 045, also 45. Das passt: 4 Hundertstel sind 40 Tausendstel, dazu kommen 5 Tausendstel. In c) schreibst du 325 ohne Komma, und zwei Nachkommastellen geben den Nenner 100. In d) hat der Nenner 1000 drei Nullen, also brauchst du drei Nachkommastellen. Die 47 hat nur zwei Ziffern, du füllst vorne mit einer Null auf: 0,047. In e) trägst du die Stellen ein: 5 Einer, 3 Zehntel, 0 Hundertstel und 2 Tausendstel. Die 0 darf nicht fehlen.

Definition

Dezimalzahlen am Zahlenstrahl

Am Zahlenstrahl hat jede Dezimalzahl ihren festen Platz. Zwischen 0 und 1 teilst du die Strecke in zehn gleiche Teile. Jeder Teil ist ein Zehntel lang. Die Marken heißen 0,1, 0,2 und so weiter bis 0,9. Die Zahl 0,3 liegt an der dritten Marke.

Willst du 0,37 einzeichnen, schaust du dir die Strecke zwischen 0,3 und 0,4 genauer an. Du teilst sie wieder in zehn gleiche Teile. Das sind Hundertstel. Die Zahl 0,37 liegt an der siebten Marke nach der 0,3. Zwischen zwei Dezimalzahlen liegt immer noch eine weitere.

Definition

Dezimalzahlen vergleichen und ordnen

Du vergleichst zwei Dezimalzahlen Stelle für Stelle von links nach rechts. Zuerst vergleichst du die Ganzen. Sind sie gleich, vergleichst du die Zehntel, dann die Hundertstel und so weiter. Die erste Stelle, an der die Ziffern verschieden sind, entscheidet.

Eine Hilfe: Fülle die kürzere Zahl mit Endnullen auf, bis beide gleich viele Nachkommastellen haben. Das ändert den Wert nicht. Dann vergleichst du die Zahlen ohne Komma wie natürliche Zahlen. Das Zeichen << heißt „kleiner als“, das Zeichen >> heißt „größer als“.

Beispiel

Vergleichen und Ordnen

a) Wer ist weiter gesprungen, Lena (4,3 m) oder Tom (4,27 m)?

b) Ordne die Zahlen, beginne mit der kleinsten: 0,5; 0,45; 0,405; 0,054; 0,4.

a)  4,30>4,27b)  0,054<0,400<0,405<0,450<0,500\begin{aligned} \text{a)}\; & 4{,}30 > 4{,}27 \\ \text{b)}\; & 0{,}054 < 0{,}400 < 0{,}405 < 0{,}450 < 0{,}500 \end{aligned}

In a) haben beide Zahlen 4 Ganze. Du füllst 4,3 zu 4,30 auf. Bei den Zehnteln steht 3 gegen 2. Also ist 4,30 größer und Lena ist weiter gesprungen. Dass 27 größer als 3 ist, hilft nicht. In b) füllst du alle Zahlen auf drei Nachkommastellen auf: 0,500; 0,450; 0,405; 0,054; 0,400. Jetzt vergleichst du 500, 450, 405, 54 und 400 wie natürliche Zahlen. Die Reihenfolge ist 54, 400, 405, 450, 500. Mit den ursprünglichen Zahlen: 0,054 < 0,4 < 0,405 < 0,45 < 0,5.

Definition

Runden

Beim Runden ersetzt du eine Zahl durch eine einfachere, die ungefähr gleich groß ist. Das Zeichen ≈\approx bedeutet „ungefähr gleich“. So gehst du vor:

  • Lege fest, auf welche Stelle du rundest (auf Zehntel, auf Hundertstel, auf ganze Zahlen). Das ist die Rundungsstelle.
  • Schau nur auf die Ziffer direkt rechts von der Rundungsstelle.
  • Ist sie 0, 1, 2, 3 oder 4, rundest du ab. Die Rundungsstelle bleibt, wie sie ist.
  • Ist sie 5, 6, 7, 8 oder 9, rundest du auf. Die Rundungsstelle wird um 1 größer.
  • Alle Stellen rechts von der Rundungsstelle fallen weg.

Wird beim Aufrunden aus einer 9 eine 10, schreibst du 0 und rechnest 1 zur Stelle davor.

Beispiel

Runden

Runde 3,746 auf Zehntel, auf Hundertstel und auf ganze Zahlen. Runde außerdem 2,997 auf Hundertstel.

3,746≈3,7(Zehntel)3,746≈3,75(Hundertstel)3,746≈4(ganze Zahlen)2,997≈3,00(Hundertstel)\begin{aligned} 3{,}746 &\approx 3{,}7 && \text{(Zehntel)} \\ 3{,}746 &\approx 3{,}75 && \text{(Hundertstel)} \\ 3{,}746 &\approx 4 && \text{(ganze Zahlen)} \\ 2{,}997 &\approx 3{,}00 && \text{(Hundertstel)} \end{aligned}

Auf Zehntel: Die Rundungsstelle ist die 7. Rechts daneben steht 4, also rundest du ab: 3,7. Auf Hundertstel: Die Rundungsstelle ist die 4. Rechts daneben steht 6, also rundest du auf: 4 wird zu 5. Auf ganze Zahlen: Die Rundungsstelle ist die 3. Rechts daneben steht 7, also wird aus 3 die 4. Bei 2,997 ist die Rundungsstelle die zweite 9. Rechts daneben steht 7, also rundest du auf. Aus 9 wird 10: Du schreibst 0 und addierst 1 zur 9 davor. Aus dieser 9 wird auch 10, also schreibst du 0 und addierst 1 zur 2. Es entsteht 3,00.

Definition

Sinnvolle Genauigkeit

Eine Zahl soll nicht genauer aussehen, als man sie messen kann oder braucht. Ein Taschenrechner zeigt für 10 Euro geteilt durch 3 die Zahl 3,3333333. Aber Geld gibt es nur in Cent, also in Hundertsteln eines Euros. Du rundest auf 3,33 Euro. Welche Genauigkeit passt, hängt von der Größe ab:

AngabeSinnvoll aufBeispiel
GeldCent (zwei Nachkommastellen)3,33 Euro
Zeit beim SprintHundertstelsekunde12,47 s
KörpergrößeZentimeter (Hundertstel Meter)1,63 m
KüchenwaageGramm (Tausendstel Kilogramm)2,350 kg

Frage dich beim Runden immer: Wie genau war die Messung, und wie genau brauche ich die Angabe?

Häufige Fehler

Mehr Nachkommastellen heißt größer

Jemand sagt: „0,45 ist größer als 0,5, denn 45 ist größer als 5.“

Richtig ist

Du darfst die Ziffern nach dem Komma nicht wie eine Zahl für sich lesen. Fülle auf: 0,5 = 0,50. Dann gilt 50 > 45, also ist 0,5 größer als 0,45. Bei 0,5 sind es 5 Zehntel, bei 0,45 nur 4 Zehntel und noch ein bisschen.

Häufige Fehler

Stufenweise runden

Jemand rundet 2,449 auf ganze Zahlen so: 2,449 wird zu 2,45, das wird zu 2,5, das wird zu 3.

Richtig ist

Du schaust nur einmal auf die Ziffer direkt rechts von der Rundungsstelle. Bei 2,449 ist das die 4. Du rundest ab, es bleibt 2. Außerdem liegt 2,449 deutlich näher an 2 als an 3.

Häufige Fehler

Falscher Nenner

Jemand schreibt 0,07 = 710\frac{7}{10}.

Richtig ist

Zwei Nachkommastellen bedeuten den Nenner 100. Richtig ist 0,07 = 7100\frac{7}{100}. Zur Probe: 710\frac{7}{10} ist 0,7, und das ist zehnmal so viel wie 0,07.

Zusammenfassung

  • Hinter dem Komma stehen Zehntel, Hundertstel, Tausendstel. Jede Stelle ist zehnmal kleiner als die links davon.

  • Eine Dezimalzahl ist ein Zehnerbruch: Der Zähler ist die Zahl ohne Komma, der Nenner hat so viele Nullen wie Nachkommastellen.

  • Endnullen ändern den Wert nicht (2,5 = 2,50). Nullen zwischen Komma und Ziffer ändern ihn (2,5 ist nicht 2,05).

  • Zum Vergleichen füllst du mit Endnullen auf gleich viele Nachkommastellen auf. Dann vergleichst du wie natürliche Zahlen.

  • Beim Runden schaust du nur auf die Ziffer direkt rechts von der Rundungsstelle: 0 bis 4 abrunden, 5 bis 9 aufrunden.

  • Die Genauigkeit passt zur Sache: Geld auf Cent, Sprintzeit auf Hundertstel.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Welcher Zehnerbruch gehört zur Dezimalzahl 0,045?

Aufgabe 2Numerisch

Schreibe als Dezimalzahl: 4 Ganze, 5 Hundertstel und 7 Tausendstel. Welche Zahl ist es?

Aufgabe 3Multiple Choice

Welche dieser Zahlen ist die größte?

Aufgabe 4Numerisch

Runde 6,0472 auf Hundertstel. Wie lautet die gerundete Zahl?

Aufgabe 5Numerisch

Runde 7,998 auf Zehntel. Wie lautet die gerundete Zahl?

Aufgabe 6Freitext

Anna sagt: „0,25 ist größer als 0,3, denn 25 ist größer als 3.“ Erkläre, was an ihrer Überlegung falsch ist. Nenne außerdem eine Zahl, die zwischen 0,25 und 0,3 liegt.