Lektion 9.1

Zuordnungen und ihre Darstellungen

15 min Lesezeit

Im Schreibwarenladen kostet ein Heft 2 Euro. Du kaufst 1 Heft, 2 Hefte oder 3 Hefte. Wie viel musst du jeweils bezahlen? Bei 3 Heften sind es 6 Euro.

Hier hängen zwei Dinge zusammen: die Anzahl der Hefte und der Preis. Ändert sich die Anzahl, ändert sich auch der Preis. Solche Zusammenhänge gibt es überall. Die Zeit und die Strecke, die du auf dem Schulweg schon gegangen bist, gehören zum Beispiel zusammen.

Wie schreibst du so einen Zusammenhang auf, damit jeder ihn versteht? Und wie liest du ihn aus einem Bild ab? Das lernst du in dieser Lektion.

Definition

Zuordnung und Wertepaar

Eine Zuordnung verbindet zwei Größen. Zu jedem Wert der ersten Größe gehört genau ein Wert der zweiten Größe. Bei den Heften ist die Anzahl die erste Größe und der Preis die zweite. Du schreibst: Anzahl → Preis.

Die 3 Hefte und die 6 Euro gehören zusammen. Sie bilden ein Wertepaar. Du schreibst es so: $(3 \mid 6)$ . Der Wert der ersten Größe steht links, der Wert der zweiten rechts, dazwischen steht ein senkrechter Strich. Auch $(1 \mid 2)$ und $(2 \mid 4)$ sind Wertepaare dieser Zuordnung.

Definition

Wortvorschrift, Tabelle, Gleichung und Graph

Dieselbe Zuordnung kannst du auf vier Arten darstellen. Das Beispiel sind die Hefte zu 2 Euro.

Wortvorschrift: Du beschreibst die Zuordnung mit Worten: „Der Preis in Euro ist das Doppelte der Anzahl der Hefte.“
Tabelle: Du schreibst die Wertepaare auf. Die obere Zeile zeigt die erste Größe, die untere Zeile die zweite.
Gleichung: Du nimmst Buchstaben als Platzhalter. Das $x$ steht für die Anzahl der Hefte, das $y$ für den Preis in Euro. Dann gilt $y = 2 \cdot x$ .
Graph: Du zeichnest jedes Wertepaar als Punkt in ein Koordinatensystem. Alle Punkte zusammen sind der Graph.

Die Tabelle zu den Heften sieht so aus:

Anzahl der Hefte	0	1	2	3	4
Preis in Euro	0	2	4	6	8

Alle vier sagen dasselbe, und du kannst von einer zur anderen wechseln. Die Wortvorschrift sagt, worum es geht. Die Tabelle zeigt genaue Werte. Mit der Gleichung rechnest du jeden Wert aus. Der Graph zeigt auf einen Blick, wie die Werte sich verändern.

Beispiel

Wertepaare im Koordinatensystem

Zeichne die Wertepaare der Hefte-Tabelle in ein Koordinatensystem.

Auf die waagerechte Achse kommt die Anzahl der Hefte, auf die senkrechte Achse der Preis in Euro. Die erste Zahl eines Wertepaars liest du auf der waagerechten Achse ab, die zweite auf der senkrechten.

Für $(3 \mid 6)$ gehst du auf der waagerechten Achse bis zur 3. Von dort gehst du 6 Kästchen nach oben und setzt einen Punkt. Genauso zeichnest du $(0 \mid 0)$ , $(1 \mid 2)$ , $(2 \mid 4)$ und $(4 \mid 8)$ . Die fünf Punkte liegen auf einer geraden Linie, die im Nullpunkt beginnt.

Hefte kann man nur ganz kaufen. Deshalb sind hier nur die einzelnen Punkte sinnvoll. Bei Äpfeln nach Gewicht gibt es auch Zwischenwerte wie 2,5 Kilogramm. Dann verbindest du die Punkte zu einer Linie.

Der Graph der Heft-Zuordnung

Mit der Maus über den Graphen fahren, um Werte abzulesen.

Der Graph zeigt den Preis für x Hefte zu 2 Euro. Der Ausdruck ist fest, du kannst ihn nicht ändern. Prüfe im Kopf: Was zeigt der Graph bei x = 3? Du erwartest 6 Euro, so wie in der Tabelle. Lies danach x = 4 ab. Schau nur auf den Teil rechts von der senkrechten Achse, denn negative Heftzahlen gibt es nicht.

Beispiel

Fahrradverleih: von Worten zu Tabelle, Gleichung und Punkten

Ein Fahrradverleih nimmt 3 Euro Grundgebühr. Dazu kommen 2 Euro für jede Stunde. Stelle die Zuordnung Stunden → Preis in Euro als Tabelle, als Gleichung und als Punkte dar.

y = 3 + 2 \cdot x

Für 0 Stunden zahlst du nur die Grundgebühr: 3 Euro. Jede weitere Stunde macht 2 Euro mehr. So entsteht die Tabelle:

Stunden	0	1	2	3	4
Preis in Euro	3	5	7	9	11

Die Gleichung heißt: Der Preis ist 3 plus 2 mal die Anzahl der Stunden. Das $x$ steht für die Stunden, das $y$ für den Preis. Probe bei 3 Stunden: $3 + 2 \cdot 3 = 3 + 6 = 9$ . Das passt zur Tabelle.

Die Punkte sind $(0 \mid 3)$ , $(1 \mid 5)$ , $(2 \mid 7)$ , $(3 \mid 9)$ und $(4 \mid 11)$ . Auch sie liegen auf einer geraden Linie. Sie beginnt aber nicht im Nullpunkt, sondern bei 3 auf der senkrechten Achse, denn schon bei 0 Stunden zahlst du 3 Euro.

Beispiel

Mit der Gleichung rechnen

Wie viel kostet der Verleih für 7 Stunden? Wie viele Stunden kannst du für 15 Euro leihen?

\begin{aligned} \text{a)}\; & y = 3 + 2 \cdot 7 = 3 + 14 = 17 \\ \text{b)}\; & 3 + 2 \cdot x = 15 \;\Rightarrow\; 2 \cdot x = 12 \;\Rightarrow\; x = 6 \end{aligned}

Bei a) setzt du 7 für $x$ ein und rechnest aus. Der Verleih kostet 17 Euro. Bei b) ist der Preis bekannt und die Stundenzahl gesucht. Du rechnest rückwärts. Von 15 Euro ziehst du die Grundgebühr 3 Euro ab, es bleiben 12 Euro. Pro Stunde zahlst du 2 Euro, also sind es 12 : 2 = 6 Stunden. Probe: $3 + 2 \cdot 6 = 15$ .

Beispiel

Ein Schaubild lesen

Lena geht zur Schule. Ein Schaubild ist ein Graph, der einen Zusammenhang aus dem Alltag zeigt. Dieses Schaubild zeigt ihren Weg. Auf der waagerechten Achse steht die Zeit in Minuten, auf der senkrechten Achse die Entfernung von zu Hause in Metern. Die Linie läuft durch die Punkte $(0 \mid 0)$ , $(4 \mid 400)$ , $(6 \mid 400)$ und $(10 \mid 1000)$ . Zwischen den Punkten ist sie gerade. Beschreibe Lenas Weg mit Worten.

Von Minute 0 bis 4 steigt die Linie von 0 auf 400. Lena entfernt sich von zu Hause. Von Minute 4 bis 6 verläuft die Linie waagerecht. Die Entfernung bleibt 400 Meter. Lena steht also, zum Beispiel an einer Ampel. Von Minute 6 bis 10 steigt die Linie wieder, und zwar steiler als am Anfang. In 4 Minuten legt Lena jetzt 600 Meter zurück, am Anfang waren es nur 400 Meter. Sie geht jetzt schneller. Nach 10 Minuten ist sie 1000 Meter von zu Hause entfernt.

So liest du jedes Schaubild: von links nach rechts. Steigt die Linie, wird der Wert größer. Verläuft sie waagerecht, bleibt er gleich. Fällt sie, wird er kleiner. Je steiler die Linie, desto schneller ändert sich der Wert.

Häufige Fehler

Die Achsen vertauschen

Jemand zeichnet das Wertepaar $(3 \mid 6)$ der Hefte so: erst 6 nach rechts, dann 3 nach oben.

Richtig ist

Der erste Wert gehört zur waagerechten Achse, der zweite zur senkrechten. Richtig ist: 3 nach rechts, dann 6 nach oben. Der Punkt $(6 \mid 3)$ wäre ein anderer Punkt. Er würde bedeuten, dass 6 Hefte nur 3 Euro kosten.

Häufige Fehler

Das Schaubild als Foto vom Weg lesen

Jemand sieht in Lenas Schaubild den waagerechten Teil und sagt: „Hier geht Lena ein ebenes Stück Straße.“

Richtig ist

Ein Schaubild ist kein Foto vom Weg. Die Linie zeigt, wie sich die Entfernung mit der Zeit verändert. Ein waagerechtes Stück heißt: Die Zeit läuft weiter, aber die Entfernung bleibt gleich. Lena steht. Der Weg selbst kann bergauf oder gerade sein, das sagt das Schaubild nicht.

Zusammenfassung

Eine Zuordnung ordnet jedem Wert einer Größe genau einen Wert einer anderen Größe zu. Zwei zusammengehörige Werte bilden ein Wertepaar, geschrieben $(x \mid y)$ .
Du kannst eine Zuordnung als Wortvorschrift, Tabelle, Gleichung oder Graph darstellen und von einer Darstellung zur anderen wechseln.
Im Koordinatensystem liest du die erste Zahl eines Wertepaars auf der waagerechten Achse ab und die zweite auf der senkrechten.
Mit der Gleichung rechnest du zu einem Wert den zugehörigen Wert aus. Ist der zweite Wert bekannt, rechnest du rückwärts.
Ein Schaubild liest du von links nach rechts: Steigen heißt größer werden, waagerecht heißt gleich bleiben, fallen heißt kleiner werden. Es ist kein Foto vom Weg.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Eine Taxifahrt kostet 4 Euro Grundpreis und 2 Euro für jeden Kilometer. Wie viel Euro kostet eine Fahrt über 6 Kilometer?

Aufgabe 2Multiple Choice

Du zeichnest das Wertepaar $(4 \mid 7)$ in ein Koordinatensystem. Wie gehst du vor?

Aufgabe 3Numerisch

Eine Zuordnung hat die Wertepaare $(1 \mid 5)$ , $(2 \mid 8)$ , $(3 \mid 11)$ und $(4 \mid 14)$ . Der zweite Wert wächst bei jedem Schritt um gleich viel. Welcher zweite Wert gehört zum ersten Wert 10?

Aufgabe 4Multiple Choice

Ein Schaubild zeigt die Temperatur an einem Tag. Von 6 bis 14 Uhr steigt die Linie. Von 14 bis 16 Uhr verläuft sie waagerecht. Danach fällt sie bis 22 Uhr. Was sagt der waagerechte Teil?

Aufgabe 5Numerisch

Lenas Schaubild aus dem Beispiel: Wie viele Meter legt sie von Minute 6 bis Minute 10 zurück? Gib die Antwort in Metern an.

Aufgabe 6Freitext

Ein Brötchen kostet 40 Cent. Stelle die Zuordnung Anzahl der Brötchen → Preis in Cent in allen vier Darstellungen dar. Für Tabelle und Graph nimmst du die Anzahlen 0 bis 4.

Lektion 9.1 · Zuordnungen, Daten und Zufall

Zuordnungen und ihre Darstellungen

Im Schreibwarenladen kostet ein Heft 2 Euro. Du kaufst 1 Heft, 2 Hefte oder 3 Hefte. Wie viel musst du jeweils bezahlen? Bei 3 Heften sind es 6 Euro.

Wie schreibst du so einen Zusammenhang auf, damit jeder ihn versteht? Und wie liest du ihn aus einem Bild ab? Das lernst du in dieser Lektion.

Definition

Zuordnung und Wertepaar

Definition

Wortvorschrift, Tabelle, Gleichung und Graph

Dieselbe Zuordnung kannst du auf vier Arten darstellen. Das Beispiel sind die Hefte zu 2 Euro.

Wortvorschrift: Du beschreibst die Zuordnung mit Worten: „Der Preis in Euro ist das Doppelte der Anzahl der Hefte.“
Tabelle: Du schreibst die Wertepaare auf. Die obere Zeile zeigt die erste Größe, die untere Zeile die zweite.
Gleichung: Du nimmst Buchstaben als Platzhalter. Das $x$ steht für die Anzahl der Hefte, das $y$ für den Preis in Euro. Dann gilt $y = 2 \cdot x$ .
Graph: Du zeichnest jedes Wertepaar als Punkt in ein Koordinatensystem. Alle Punkte zusammen sind der Graph.

Die Tabelle zu den Heften sieht so aus:

Anzahl der Hefte	0	1	2	3	4
Preis in Euro	0	2	4	6	8

Beispiel

Wertepaare im Koordinatensystem

Zeichne die Wertepaare der Hefte-Tabelle in ein Koordinatensystem.

Beispiel

Fahrradverleih: von Worten zu Tabelle, Gleichung und Punkten

Ein Fahrradverleih nimmt 3 Euro Grundgebühr. Dazu kommen 2 Euro für jede Stunde. Stelle die Zuordnung Stunden → Preis in Euro als Tabelle, als Gleichung und als Punkte dar.

y = 3 + 2 \cdot x

Für 0 Stunden zahlst du nur die Grundgebühr: 3 Euro. Jede weitere Stunde macht 2 Euro mehr. So entsteht die Tabelle:

Stunden	0	1	2	3	4
Preis in Euro	3	5	7	9	11

Beispiel

Mit der Gleichung rechnen

Wie viel kostet der Verleih für 7 Stunden? Wie viele Stunden kannst du für 15 Euro leihen?

\begin{aligned} \text{a)}\; & y = 3 + 2 \cdot 7 = 3 + 14 = 17 \\ \text{b)}\; & 3 + 2 \cdot x = 15 \;\Rightarrow\; 2 \cdot x = 12 \;\Rightarrow\; x = 6 \end{aligned}

Beispiel

Ein Schaubild lesen

Häufige Fehler

Die Achsen vertauschen

Jemand zeichnet das Wertepaar $(3 \mid 6)$ der Hefte so: erst 6 nach rechts, dann 3 nach oben.

Häufige Fehler

Das Schaubild als Foto vom Weg lesen

Jemand sieht in Lenas Schaubild den waagerechten Teil und sagt: „Hier geht Lena ein ebenes Stück Straße.“

Zusammenfassung

Eine Zuordnung ordnet jedem Wert einer Größe genau einen Wert einer anderen Größe zu. Zwei zusammengehörige Werte bilden ein Wertepaar, geschrieben $(x \mid y)$ .
Du kannst eine Zuordnung als Wortvorschrift, Tabelle, Gleichung oder Graph darstellen und von einer Darstellung zur anderen wechseln.
Im Koordinatensystem liest du die erste Zahl eines Wertepaars auf der waagerechten Achse ab und die zweite auf der senkrechten.
Mit der Gleichung rechnest du zu einem Wert den zugehörigen Wert aus. Ist der zweite Wert bekannt, rechnest du rückwärts.
Ein Schaubild liest du von links nach rechts: Steigen heißt größer werden, waagerecht heißt gleich bleiben, fallen heißt kleiner werden. Es ist kein Foto vom Weg.