Lektion 4.2

Bruch, Dezimalzahl und Prozentangabe ineinander umwandeln

15 min Lesezeit

Dein Handy zeigt: „Akku 75 %“. Dein Bruder sagt: „Es ist noch dreiviertel voll.“ Der Taschenrechner zeigt 0,75, wenn du 3 durch 4 teilst. Alle drei meinen dasselbe. Ist das Zufall?

Es ist kein Zufall. Ein Bruch, eine Dezimalzahl und eine Prozentangabe sind drei Schreibweisen für denselben Anteil. Mal passt die eine besser, mal die andere. Im Rezept steht 12\frac{1}{2} Liter Milch, an der Tankstelle steht 0,5 Liter, im Laden steht „50 % Rabatt“.

In dieser Lektion lernst du, wie du zwischen den drei Schreibweisen wechselst. Du findest auch heraus, was passiert, wenn die Rechnung nie aufhört, wie bei 13\frac{1}{3}.

Definition

Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln

Du kennst schon: Eine Dezimalzahl ist ein Zehnerbruch. Der Zähler ist die Zahl ohne Komma, der Nenner ist 10, 100 oder 1000, je nach Anzahl der Nachkommastellen. Danach kürzt du den Bruch so weit wie möglich. Kürzen heißt: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen.

So wird aus 0,75 erst 75100\frac{75}{100} und dann nach dem Kürzen mit 25 der Bruch 34\frac{3}{4}.

0,75=75100=340{,}75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}
Definition

Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln

Dafür gibt es zwei Wege.

Weg 1: Erweitern. Wenn du den Nenner mit einer Zahl zu 10, 100 oder 1000 erweitern kannst, entsteht ein Zehnerbruch. Den schreibst du als Dezimalzahl. Erweitern heißt: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen.

Weg 2: Teilen. Ein Bruch ist eine Divisionsaufgabe. Der Zähler wird durch den Nenner geteilt: 38=3:8\frac{3}{8} = 3 : 8. Das rechnest du schriftlich. Wenn die Division nicht aufgeht, schreibst du hinter die Ganzen ein Komma und hängst Nullen an. Jede Null zählt dann als Zehntel, Hundertstel und so weiter. Weg 2 funktioniert bei jedem Bruch.

34=3⋅254⋅25=75100=0,75\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0{,}75
Beispiel

Von der Dezimalzahl zum Bruch und zurück

a) Schreibe als gekürzten Bruch: 0,6; 0,35; 0,125; 1,2.

b) Schreibe als Dezimalzahl: 35\frac{3}{5}, 720\frac{7}{20}, 38\frac{3}{8}.

0,6=610=350,35=35100=7200,125=1251000=181,2=1210=65=11535=610=0,6720=35100=0,3538=3:8=0,375\begin{aligned} 0{,}6 &= \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \qquad 0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20} \\ 0{,}125 &= \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} \qquad 1{,}2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} \\ \frac{3}{5} &= \frac{6}{10} = 0{,}6 \qquad \frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0{,}35 \\ \frac{3}{8} &= 3 : 8 = 0{,}375 \end{aligned}

In a) schreibst du erst den Zehnerbruch und kürzt dann. 6 und 10 kannst du durch 2 kürzen. 35 und 100 kürzt du durch 5. 125 und 1000 kürzt du durch 125. Bei 1,2 entsteht 1210\frac{12}{10}, gekürzt 65\frac{6}{5}. Das ist ein unechter Bruch, du kannst ihn auch als gemischte Zahl 1151\frac{1}{5} schreiben. In b) erweiterst du 35\frac{3}{5} mit 2 und 720\frac{7}{20} mit 5. Bei 38\frac{3}{8} passt kein Erweitern auf 10 oder 100, aber Teilen geht: 3 = 3,000. 30 Zehntel geteilt durch 8 sind 3 Zehntel, Rest 6. Dann sind 60 Hundertstel durch 8 gleich 7 Hundertstel, Rest 4. Zuletzt sind 40 Tausendstel durch 8 gleich 5 Tausendstel, Rest 0. Es entsteht 0,375.

Definition

Endliche und periodische Dezimalzahlen

Beim Teilen gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder bleibt irgendwann der Rest 0. Dann hat die Dezimalzahl endlich viele Nachkommastellen. Sie heißt endlich (zum Beispiel 0,375). Oder der Rest wird nie 0. Der Rest ist immer kleiner als der Nenner. Beim Teilen durch 11 sind zum Beispiel nur die Reste 1 bis 10 möglich. Deshalb kommt nach höchstens 10 Schritten ein Rest zum zweiten Mal. Dann wiederholen sich die Ziffern immer wieder. Die Zahl heißt periodisch. Die Ziffern, die sich wiederholen, heißen Periode. Du schreibst über sie einen Strich.

13=0,333…=0,3‾56=0,8333…=0,83‾411=0,3636…=0,36‾\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}\overline{3} \qquad \frac{5}{6} = 0{,}8333\ldots = 0{,}8\overline{3} \qquad \frac{4}{11} = 0{,}3636\ldots = 0{,}\overline{36}
Beispiel

Wenn die Rechnung nicht aufgeht

Wandle 56\frac{5}{6} und 411\frac{4}{11} in Dezimalzahlen um.

56=5:6=0,8333…=0,83‾411=4:11=0,36‾\frac{5}{6} = 5 : 6 = 0{,}8333\ldots = 0{,}8\overline{3} \qquad \frac{4}{11} = 4 : 11 = 0{,}\overline{36}

Bei 56\frac{5}{6} rechnest du 5,000 : 6. 50 Zehntel geteilt durch 6 sind 8 Zehntel, Rest 2. Dann sind 20 Hundertstel durch 6 gleich 3 Hundertstel, Rest 2. Der Rest 2 ist wieder da. Es kommt also immer wieder 3: 0,8333... Die Periode ist die 3. Bei 411\frac{4}{11} rechnest du 4,000 : 11. 40 Zehntel durch 11 sind 3 Zehntel, Rest 7. 70 Hundertstel durch 11 sind 6 Hundertstel, Rest 4. Der Rest 4 ist wieder da, wie am Anfang. Es wiederholt sich 36: 0,363636... Eine periodische Zahl schreibst du im Alltag gerundet, zum Beispiel 56≈0,83\frac{5}{6} \approx 0{,}83.

Definition

Prozent

„Prozent“ heißt „von Hundert“. Das Zeichen % steht für den Bruch 1100\frac{1}{100}. Eine Prozentangabe ist also ein Hundertstelbruch. Mit 1 % ist ein Hundertstel gemeint, mit 25 % sind es 25 Hundertstel, mit 100 % das ganze Ganze.

So wandelst du um:

  • Prozent zu Bruch: Die Prozentzahl ist der Zähler, der Nenner ist 100. Danach kürzt du.
  • Prozent zu Dezimalzahl: Schreibe den Bruch mit dem Nenner 100 als Dezimalzahl.
  • Dezimalzahl zu Prozent: Lies die Zahl in Hundertsteln. 0,35 sind 35 Hundertstel, also 35 %. Und 1,5 sind 150 Hundertstel, also 150 %.
  • Bruch zu Prozent: Erweitere auf den Nenner 100. Geht das nicht, wandle den Bruch erst in eine Dezimalzahl um.
25 %=25100=14=0,2525\,\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0{,}25
Beispiel

Prozent, Bruch und Dezimalzahl

a) Schreibe 35 % als Bruch und als Dezimalzahl.

b) Schreibe 0,08 und 320\frac{3}{20} als Prozentangabe.

c) Schreibe 18\frac{1}{8} als Prozentangabe.

a)  35 %=35100=720=0,35b)  0,08=8100=8 %320=15100=15 %c)  18=0,125=12,5100=12,5 %\begin{aligned} \text{a)}\; & 35\,\% = \frac{35}{100} = \frac{7}{20} = 0{,}35 \\ \text{b)}\; & 0{,}08 = \frac{8}{100} = 8\,\% \qquad \frac{3}{20} = \frac{15}{100} = 15\,\% \\ \text{c)}\; & \frac{1}{8} = 0{,}125 = \frac{12{,}5}{100} = 12{,}5\,\% \end{aligned}

In a) liest du 35 % als 35100\frac{35}{100}. Gekürzt durch 5 ist das 720\frac{7}{20}. Die Dezimalzahl hat zwei Nachkommastellen: 0,35. In b) hat 0,08 zwei Nachkommastellen. Der Zähler ist 8, der Nenner 100, also 8 %. Den Bruch 320\frac{3}{20} erweiterst du mit 5 zu 15100\frac{15}{100}. In c) passt 8 nicht in 100. Du teilst 1 : 8 = 0,125. Das sind 12,5 Hundertstel, also 12,5 %.

Definition

Häufige Werte im Überblick

Diese Werte kommen im Alltag so oft vor, dass du sie auswendig kennen solltest:

BruchDezimalzahlProzent
12\frac{1}{2}0,550 %
14\frac{1}{4}0,2525 %
34\frac{3}{4}0,7575 %
15\frac{1}{5}0,220 %
110\frac{1}{10}0,110 %
1100\frac{1}{100}0,011 %
13\frac{1}{3}0,333...etwa 33,3 %

Die Prozentrechnung selbst, zum Beispiel „Wie viel sind 20 % von 150 Euro?“, lernst du später. Hier geht es nur um die Schreibweisen.

Häufige Fehler

Komma statt Strich

Jemand schreibt 14=1,4\frac{1}{4} = 1{,}4.

Richtig ist

Der Bruchstrich bedeutet „geteilt durch“. Du rechnest 1 : 4, nicht „1 Komma 4“. Richtig ist 14=0,25\frac{1}{4} = 0{,}25. Zur Probe: 14\frac{1}{4} ist weniger als ein Ganzes, 1,4 ist mehr als ein Ganzes.

Häufige Fehler

Prozent ohne Rechnung

Jemand sagt: „0,5 sind 5 Prozent.“

Richtig ist

Du musst auf Hundertstel erweitern: 0,5 = 0,50 = 50100\frac{50}{100}. Das sind 50 %. Prozentangaben liest du immer als Hundertstel. 5 % wären 0,05.

Häufige Fehler

Periodisch ist nicht endlich

Jemand schreibt 13=0,3\frac{1}{3} = 0{,}3.

Richtig ist

0,3 ist 310\frac{3}{10}, und das ist weniger als 13\frac{1}{3}. Beim Teilen 1 : 3 bleibt immer der Rest 1, die 3 wiederholt sich unendlich oft: 13=0,3‾\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3}. Wenn du runden willst, schreibst du 13≈0,33\frac{1}{3} \approx 0{,}33.

Zusammenfassung

  • Bruch, Dezimalzahl und Prozentangabe sind drei Schreibweisen für denselben Anteil.

  • Dezimalzahl zu Bruch: Zähler ist die Zahl ohne Komma, Nenner ist 10, 100, 1000. Danach kürzt du.

  • Bruch zu Dezimalzahl: auf 10, 100, 1000 erweitern, oder Zähler durch Nenner teilen. Teilen geht immer.

  • Geht die Division auf, ist die Dezimalzahl endlich. Wiederholt sich ein Rest, ist sie periodisch (zum Beispiel 0,333...). Der Strich steht über der Periode.

  • Prozent heißt Hundertstel: 25 % = 25100\frac{25}{100} = 0,25.

  • Bruch zu Prozent: auf den Nenner 100 erweitern oder erst in eine Dezimalzahl umwandeln und diese in Hundertsteln lesen.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Schreibe 325\frac{3}{25} als Dezimalzahl. Wie lautet sie?

Aufgabe 2Multiple Choice

Welcher gekürzte Bruch gehört zur Dezimalzahl 0,4?

Aufgabe 3Numerisch

Wie viel Prozent sind 0,07?

Aufgabe 4Multiple Choice

Welcher dieser Brüche hat eine endliche Dezimalzahl?

Aufgabe 5Numerisch

Wandle 78\frac{7}{8} in eine Dezimalzahl um. Wie lautet sie?

Aufgabe 6Freitext

Ordne der Größe nach, beginne mit der kleinsten: 35 %, 14\frac{1}{4}, 0,3. Schreibe dazu, wie du die Zahlen vergleichbar gemacht hast.