Lektion 4.5

Anteile und Bruchteile von Größen

16 min Lesezeit

Du hast 20 Euro Taschengeld. Davon gibst du drei Viertel für ein Geschenk aus. Wie viele Euro sind das? In deiner Klasse sind 24 Kinder und 18 davon haben ein Haustier. Welcher Bruchteil der Klasse ist das? Auf der Wanderkarte steht: Du hast schon drei Fünftel des Weges geschafft, das sind 12 Kilometer. Wie lang ist der ganze Weg?

In jeder Frage kommen drei Dinge vor: ein Ganzes, ein Teil davon und ein Bruch, der beide verbindet. Zwei davon kennst du, das dritte suchst du. In dieser Lektion lernst du, wie du die fehlende Angabe findest. Du rechnest außerdem mit Anteilen von Anteilen und lernst Verhältnisse kennen.

Definition

Ganzes, Teil und Anteil

Das Ganze kann eine Größe sein, zum Beispiel 20 Euro, 3 Kilogramm oder 1 Stunde. Es kann auch eine Menge sein, zum Beispiel 24 Kinder. Ein Teil davon ist ein Bruchteil des Ganzen. Der Anteil ist der Bruch, der angibt, wie groß der Teil im Vergleich zum Ganzen ist. Anteile kannst du auch in Prozent oder als Dezimalzahl angeben, denn du kannst Bruch, Dezimalzahl und Prozentangabe ineinander umwandeln.

Aus zwei dieser drei Angaben kannst du die dritte berechnen. Das sind die drei Grundaufgaben:

Gesucht	Gegeben	Rechnung
Teil	Ganzes und Anteil	Ganzes durch Nenner, dann mal Zähler
Anteil	Ganzes und Teil	Teil durch Ganzes als Bruch, dann kürzen
Ganzes	Teil und Anteil	Teil durch Zähler, dann mal Nenner

Definition

Den Teil berechnen und der Bruch als Operator

Wie viel sind drei Viertel von 20 Euro? Der Nenner 4 sagt: Teile das Ganze in 4 gleiche Teile. Ein Viertel sind 20 : 4 = 5 Euro. Der Zähler 3 sagt: Nimm 3 solche Teile. Das sind 3 · 5 = 15 Euro.

Das Wort „von“ bedeutet hier „mal“. Du kannst also auch rechnen: $\frac{3}{4} \cdot 20$ . Der Bruch $\frac{3}{4}$ wirkt dabei wie eine Rechenanweisung: „Teile durch 4 und nimm das Ergebnis mal 3.“ Man nennt einen Bruch in dieser Rolle einen Operator. Du kannst auch zuerst mal 3 und dann durch 4 rechnen: 20 · 3 = 60 und 60 : 4 = 15.

\frac{3}{4} \text{ von } 20 = \frac{3}{4} \cdot 20 = 20 : 4 \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15

Beispiel

Den Teil berechnen

Berechne a) $\frac{3}{8}$ von 24 Kindern, b) $\frac{5}{6}$ einer Stunde in Minuten und c) 25 % von 80 Euro.

\begin{aligned} \text{a)}\; & 24 : 8 = 3, \quad 3 \cdot 3 = 9 \\ \text{b)}\; & 60 : 6 = 10, \quad 5 \cdot 10 = 50 \\ \text{c)}\; & 25\,\% = \frac{1}{4}, \quad 80 : 4 = 20 \end{aligned}

In a) ist der Nenner 8. Du teilst die 24 Kinder in 8 gleiche Gruppen. In jeder Gruppe sind 3 Kinder. Du brauchst 3 Gruppen, also 9 Kinder. In b) ist eine Stunde 60 Minuten. Ein Sechstel davon sind 10 Minuten. Fünf Sechstel sind 50 Minuten. In c) wandelst du erst um: 25 % sind ein Viertel. Ein Viertel von 80 Euro sind 20 Euro. Eine Prozentangabe ist also auch ein Anteil.

Definition

Den Anteil bestimmen

Wenn du wissen willst, welcher Anteil ein Teil vom Ganzen ist, schreibst du den Teil in den Zähler und das Ganze in den Nenner. Danach kürzt du. Wichtig: Beide Zahlen müssen in derselben Einheit stehen. Rechne sie zuerst um, wenn es nötig ist.

\text{Anteil} = \frac{\text{Teil}}{\text{Ganzes}}

Beispiel

Den Anteil bestimmen

Bestimme den Anteil: a) 18 von 24 Kindern haben ein Haustier. b) 45 Minuten von einer Stunde. c) 250 Gramm von 2 Kilogramm.

\begin{aligned} \text{a)}\; & \frac{18}{24} = \frac{3}{4} \\ \text{b)}\; & \frac{45\,\text{min}}{60\,\text{min}} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} \\ \text{c)}\; & \frac{250\,\text{g}}{2000\,\text{g}} = \frac{250}{2000} = \frac{1}{8} \end{aligned}

In a) steht der Teil 18 im Zähler und das Ganze 24 im Nenner. Du kürzt mit 6. Also haben drei Viertel der Klasse ein Haustier. In b) rechnest du die Stunde in 60 Minuten um. Dann kürzt du mit 15. In c) sind 2 Kilogramm 2000 Gramm. Erst dann stehen beide Zahlen in Gramm. Gekürzt mit 250 ergibt das ein Achtel.

Definition

Das Ganze bestimmen

Du kennst einen Teil und den Anteil. Der Zähler sagt, wie viele gleiche Teile du kennst. Du teilst den bekannten Teil durch den Zähler. Dann hast du einen einzelnen Bruchteil, zum Beispiel ein Fünftel. Danach rechnest du mal Nenner, denn das Ganze besteht aus so vielen Bruchteilen. Mit einer Probe prüfst du: Der Anteil vom Ergebnis muss wieder den bekannten Teil ergeben.

Beispiel

Das Ganze bestimmen

a) Drei Fünftel eines Weges sind 12 Kilometer. Wie lang ist der ganze Weg? b) Ein Tank ist zu zwei Dritteln gefüllt. Es sind 30 Liter drin. Wie viel passt in den ganzen Tank?

\begin{aligned} \text{a)}\; & 12 : 3 = 4 \;\text{(ein Fünftel)}, \quad 4 \cdot 5 = 20 \\ \text{b)}\; & 30 : 2 = 15 \;\text{(ein Drittel)}, \quad 15 \cdot 3 = 45 \end{aligned}

In a) sind 3 Fünftel bekannt, also 12 km. Du teilst durch 3 und erhältst ein Fünftel: 4 km. Das Ganze sind 5 Fünftel, also 20 km. Probe: $\frac{3}{5}$ von 20 sind 20 : 5 · 3 = 12. In b) sind 2 Drittel bekannt, also 30 Liter. Ein Drittel sind 15 Liter. Das Ganze sind 3 Drittel, also 45 Liter.

Definition

Anteile von Anteilen

Manchmal ist das Ganze selbst nur ein Teil von etwas Größerem. Dann nimmst du einen Anteil von einem Anteil. Auch hier bedeutet „von“ mal. Du multiplizierst die beiden Brüche. Die Hälfte von einem Drittel ist ein Sechstel.

\frac{1}{2} \text{ von } \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

Beispiel

Anteil von einem Anteil

Ein Garten ist 240 Quadratmeter groß. Drei Viertel davon sind Rasen. Ein Drittel des Rasens ist der Spielbereich. a) Welcher Anteil des Gartens ist der Spielbereich? b) Wie viele Quadratmeter sind das?

\begin{aligned} \text{a)}\; & \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \\ \text{b)}\; & 240 : 4 = 60 \end{aligned}

In a) nimmst du ein Drittel von drei Vierteln. Du multiplizierst die Brüche und kürzt mit 3. Der Spielbereich ist ein Viertel des ganzen Gartens. In b) berechnest du ein Viertel von 240. Es sind 60 Quadratmeter. Probe: Rasen sind 180 Quadratmeter, ein Drittel davon sind 60.

Definition

Verhältnisse

Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen. Du sprichst „3 zu 2“ und schreibst 3 : 2. Für ein Saftgetränk mischst du 1 Teil Sirup mit 4 Teilen Wasser. Das Verhältnis von Sirup zu Wasser ist 1 : 4. Wie bei einem Bruch darfst du ein Verhältnis erweitern und kürzen: 6 : 4 ist dasselbe wie 3 : 2. Beide Größen müssen in derselben Einheit stehen.

Ein Verhältnis wird zu einem Anteil, wenn du die Teile addierst. Beim Saft sind es 1 + 4 = 5 Teile. Der Sirup ist $\frac{1}{5}$ des Getränks, das Wasser $\frac{4}{5}$ .

Beispiel

Verhältnisse nutzen

a) Kürze das Verhältnis 20 cm zu 1 m. b) Zwei Geschwister teilen 28 Euro im Verhältnis 3 : 4. Wie viel bekommt jedes?

\begin{aligned} \text{a)}\; & 20\,\text{cm} : 1\,\text{m} = 20 : 100 = 1 : 5 \\ \text{b)}\; & 3 + 4 = 7, \quad 28 : 7 = 4, \quad 3 \cdot 4 = 12, \quad 4 \cdot 4 = 16 \end{aligned}

In a) rechnest du erst um: 1 m sind 100 cm. Dann kürzt du mit 20. In b) teilst du das Geld in 3 + 4 = 7 gleiche Teile. Ein Teil sind 28 : 7 = 4 Euro. Das eine Kind bekommt 3 Teile, also 12 Euro. Das andere bekommt 4 Teile, also 16 Euro. Probe: 12 + 16 = 28.

Häufige Fehler

Zähler und Nenner vertauscht

Jemand rechnet $\frac{3}{4}$ von 20 so: 20 : 3 · 4.

Richtig ist

Der Nenner sagt, in wie viele Teile du das Ganze teilst, also rechnest du 20 : 4 = 5. Der Zähler sagt, wie viele Teile du nimmst: 5 · 3 = 15. Probe: Drei Viertel sind weniger als das Ganze. 20 : 3 · 4 ist mehr als 20 und kann nicht stimmen.

Häufige Fehler

Einheiten nicht umgerechnet

Jemand sagt: „250 Gramm von 2 Kilogramm sind $\frac{250}{2}$ .“

Richtig ist

Gramm und Kilogramm sind verschiedene Einheiten. Rechne 2 Kilogramm in 2000 Gramm um. Richtig ist $\frac{250}{2000} = \frac{1}{8}$ .

Häufige Fehler

Verhältnis und Anteil verwechselt

Beim Teilen im Verhältnis 3 : 4 sagt jemand: „Das erste Kind bekommt $\frac{3}{4}$ des Geldes.“

Richtig ist

Die Zahlen 3 und 4 sind die Teile, die beide Kinder zusammen haben. Das Ganze besteht aus 3 + 4 = 7 Teilen. Das erste Kind bekommt $\frac{3}{7}$ , das zweite $\frac{4}{7}$ .

Zusammenfassung

Drei Dinge gehören zusammen: Ganzes, Teil und Anteil. Aus zwei bekannten Dingen berechnest du das dritte.
Teil berechnen: Ganzes durch Nenner, dann mal Zähler. „Von“ bedeutet mal, der Bruch wirkt als Operator.
Anteil bestimmen: Teil durch Ganzes als Bruch schreiben und kürzen. Beide Zahlen brauchen dieselbe Einheit.
Ganzes bestimmen: Teil durch Zähler, dann mal Nenner. Mit einer Probe prüfst du das Ergebnis.
Ein Anteil von einem Anteil ist ein Produkt: $\frac{1}{2}$ von $\frac{1}{3}$ ist $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ .
Ein Verhältnis wie 3 : 4 vergleicht zwei Größen. Du darfst es kürzen und erweitern. Zum Teilen im Verhältnis addierst du die Teile.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Wie viel Euro sind $\frac{5}{8}$ von 48 Euro?

Aufgabe 2Multiple Choice

In einer Klasse mit 25 Kindern fehlen heute 5 Kinder. Welcher Anteil der Klasse fehlt?

Aufgabe 3Numerisch

Drei Siebtel eines Weges sind 15 Kilometer lang. Wie viele Kilometer ist der ganze Weg lang?

Aufgabe 4Numerisch

Wie viele Minuten sind zwei Drittel von drei Vierteln einer Stunde?

Aufgabe 5Numerisch

Zwei Kinder teilen 45 Euro im Verhältnis 2 : 3. Wie viel Euro bekommt das Kind mit dem größeren Anteil?

Aufgabe 6Freitext

Lena hat 60 Euro gespart. Für ein Spiel gibt sie $\frac{1}{4}$ aus. Für ein Buch gibt sie $\frac{2}{3}$ vom Rest aus. Wie viel Euro bleiben übrig? Schreibe Rechnung und Antwortsatz.

Lektion 4.5 · Rechnen mit Brüchen und Dezimalzahlen

Anteile und Bruchteile von Größen

Definition

Ganzes, Teil und Anteil

Aus zwei dieser drei Angaben kannst du die dritte berechnen. Das sind die drei Grundaufgaben:

Gesucht	Gegeben	Rechnung
Teil	Ganzes und Anteil	Ganzes durch Nenner, dann mal Zähler
Anteil	Ganzes und Teil	Teil durch Ganzes als Bruch, dann kürzen
Ganzes	Teil und Anteil	Teil durch Zähler, dann mal Nenner

Definition

Den Teil berechnen und der Bruch als Operator

Wie viel sind drei Viertel von 20 Euro? Der Nenner 4 sagt: Teile das Ganze in 4 gleiche Teile. Ein Viertel sind 20 : 4 = 5 Euro. Der Zähler 3 sagt: Nimm 3 solche Teile. Das sind 3 · 5 = 15 Euro.

\frac{3}{4} \text{ von } 20 = \frac{3}{4} \cdot 20 = 20 : 4 \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15

Beispiel

Den Teil berechnen

Berechne a) $\frac{3}{8}$ von 24 Kindern, b) $\frac{5}{6}$ einer Stunde in Minuten und c) 25 % von 80 Euro.

\begin{aligned} \text{a)}\; & 24 : 8 = 3, \quad 3 \cdot 3 = 9 \\ \text{b)}\; & 60 : 6 = 10, \quad 5 \cdot 10 = 50 \\ \text{c)}\; & 25\,\% = \frac{1}{4}, \quad 80 : 4 = 20 \end{aligned}

Definition

Den Anteil bestimmen

\text{Anteil} = \frac{\text{Teil}}{\text{Ganzes}}

Beispiel

Den Anteil bestimmen

Bestimme den Anteil: a) 18 von 24 Kindern haben ein Haustier. b) 45 Minuten von einer Stunde. c) 250 Gramm von 2 Kilogramm.

\begin{aligned} \text{a)}\; & \frac{18}{24} = \frac{3}{4} \\ \text{b)}\; & \frac{45\,\text{min}}{60\,\text{min}} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} \\ \text{c)}\; & \frac{250\,\text{g}}{2000\,\text{g}} = \frac{250}{2000} = \frac{1}{8} \end{aligned}

Definition

Das Ganze bestimmen

Beispiel

Das Ganze bestimmen

a) Drei Fünftel eines Weges sind 12 Kilometer. Wie lang ist der ganze Weg? b) Ein Tank ist zu zwei Dritteln gefüllt. Es sind 30 Liter drin. Wie viel passt in den ganzen Tank?

\begin{aligned} \text{a)}\; & 12 : 3 = 4 \;\text{(ein Fünftel)}, \quad 4 \cdot 5 = 20 \\ \text{b)}\; & 30 : 2 = 15 \;\text{(ein Drittel)}, \quad 15 \cdot 3 = 45 \end{aligned}

Definition

Anteile von Anteilen

\frac{1}{2} \text{ von } \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

Beispiel

Anteil von einem Anteil

\begin{aligned} \text{a)}\; & \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \\ \text{b)}\; & 240 : 4 = 60 \end{aligned}

Definition

Verhältnisse

Ein Verhältnis wird zu einem Anteil, wenn du die Teile addierst. Beim Saft sind es 1 + 4 = 5 Teile. Der Sirup ist $\frac{1}{5}$ des Getränks, das Wasser $\frac{4}{5}$ .

Beispiel

Verhältnisse nutzen

a) Kürze das Verhältnis 20 cm zu 1 m. b) Zwei Geschwister teilen 28 Euro im Verhältnis 3 : 4. Wie viel bekommt jedes?

\begin{aligned} \text{a)}\; & 20\,\text{cm} : 1\,\text{m} = 20 : 100 = 1 : 5 \\ \text{b)}\; & 3 + 4 = 7, \quad 28 : 7 = 4, \quad 3 \cdot 4 = 12, \quad 4 \cdot 4 = 16 \end{aligned}

Häufige Fehler

Zähler und Nenner vertauscht

Jemand rechnet $\frac{3}{4}$ von 20 so: 20 : 3 · 4.

Häufige Fehler

Einheiten nicht umgerechnet

Jemand sagt: „250 Gramm von 2 Kilogramm sind $\frac{250}{2}$ .“

Gramm und Kilogramm sind verschiedene Einheiten. Rechne 2 Kilogramm in 2000 Gramm um. Richtig ist $\frac{250}{2000} = \frac{1}{8}$ .

Häufige Fehler

Verhältnis und Anteil verwechselt

Beim Teilen im Verhältnis 3 : 4 sagt jemand: „Das erste Kind bekommt $\frac{3}{4}$ des Geldes.“

Die Zahlen 3 und 4 sind die Teile, die beide Kinder zusammen haben. Das Ganze besteht aus 3 + 4 = 7 Teilen. Das erste Kind bekommt $\frac{3}{7}$ , das zweite $\frac{4}{7}$ .

Zusammenfassung

Drei Dinge gehören zusammen: Ganzes, Teil und Anteil. Aus zwei bekannten Dingen berechnest du das dritte.
Teil berechnen: Ganzes durch Nenner, dann mal Zähler. „Von“ bedeutet mal, der Bruch wirkt als Operator.
Anteil bestimmen: Teil durch Ganzes als Bruch schreiben und kürzen. Beide Zahlen brauchen dieselbe Einheit.
Ganzes bestimmen: Teil durch Zähler, dann mal Nenner. Mit einer Probe prüfst du das Ergebnis.
Ein Anteil von einem Anteil ist ein Produkt: $\frac{1}{2}$ von $\frac{1}{3}$ ist $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ .
Ein Verhältnis wie 3 : 4 vergleicht zwei Größen. Du darfst es kürzen und erweitern. Zum Teilen im Verhältnis addierst du die Teile.