Lektion 4.4

Rechnen mit Dezimalzahlen

16 min Lesezeit

Du kaufst drei Brötchen für je 0,45 Euro und ein Getränk für 1,20 Euro. Wie viel musst du bezahlen? Im Kopf ist das schwer, denn überall stehen Kommas. Und wo steht das Komma im Ergebnis?

Oder du misst eine Tischlänge: 2,35 Meter. Wie viele Zentimeter sind das? Du rechnest 2,35 mal 100 und willst nicht lange nachdenken.

Die schriftlichen Verfahren kennst du von den natürlichen Zahlen. Mit Dezimalzahlen rechnest du fast genauso. Du musst nur wissen, wohin das Komma gehört. In dieser Lektion lernst du die Regeln. Du prüfst deine Ergebnisse mit einem Überschlag und rechnest mit 10, 100 und 1000 besonders schnell.

Definition

Dezimalzahlen addieren und subtrahieren

Du schreibst die Zahlen so untereinander, dass Komma unter Komma steht. Dann stehen Einer unter Einern, Zehntel unter Zehnteln und Hundertstel unter Hundertsteln. Fehlende Stellen füllst du mit Nullen auf. Das ändert den Wert nicht.

Dann rechnest du von rechts nach links wie bei natürlichen Zahlen, auch mit Übertrag. Das Komma im Ergebnis setzt du an dieselbe Stelle unter die anderen Kommas.

Definition

Überschlag

Ein Überschlag ist eine grobe Rechnung mit gerundeten Zahlen, die du im Kopf machst. Du rundest jede Zahl so, dass die Rechnung leicht wird. Der Überschlag zeigt dir, ob dein genaues Ergebnis ungefähr stimmt. Vor allem siehst du, ob das Komma an der richtigen Stelle steht. Wenn Überschlag und Ergebnis stark verschieden sind, hast du dich verrechnet.

12{,}4 + 3{,}85 + 0{,}5 \approx 12 + 4 + 1 = 17

Beispiel

Plus und Minus mit Komma

Berechne a) 0,5 + 1,25, b) 12,4 + 3,85 + 0,5 und c) 20 − 7,35.

\begin{array}{rr} & 0{,}50 \\ + & 1{,}25 \\ \hline & 1{,}75 \end{array} \qquad \begin{array}{rr} & 12{,}40 \\ & 3{,}85 \\ + & 0{,}50 \\ \hline & 16{,}75 \end{array} \qquad \begin{array}{rr} & 20{,}00 \\ - & 7{,}35 \\ \hline & 12{,}65 \end{array}

In a) füllst du 0,5 zu 0,50 auf. Dann rechnest du 50 + 25 = 75 Hundertstel und 0 + 1 = 1 Ganzes. Es entsteht 1,75. In b) füllst du 12,4 zu 12,40 und 0,5 zu 0,50 auf. Hundertstel: 0 + 5 + 0 = 5. Zehntel: 4 + 8 + 5 = 17. Du schreibst 7 und überträgst 1. Einer: 2 + 3 + 0 + 1 = 6. Zehner: 1. Das Ergebnis ist 16,75. Der Überschlag 12 + 4 + 1 = 17 passt. In c) schreibst du 20 als 20,00. Du rechnest 20,00 − 7,35 stellenweise wie bei natürlichen Zahlen (Ergänzen mit Übertrag) und erhältst 12,65. Überschlag: 20 − 7 = 13 passt ungefähr.

Rechenweg Schritt für Schritt

1Strichrechnung
Zum Schluss die Strichrechnung: Plus und Minus von links nach rechts. $0{,}5 + 1{,}25 = 1{,}75$ .
$\displaystyle = 1{,}75$

Ergebnis $\displaystyle 1{,}75$

Tippe eigene Aufgaben ein, zum Beispiel 12,4 + 3,85 oder 20 - 7,35. Rechne zuerst selbst auf Papier und vergleiche dann dein Ergebnis und die Stellen mit dem angezeigten Rechenweg.

Definition

Dezimalzahlen multiplizieren

Du multiplizierst zuerst so, als gäbe es kein Komma. Dann setzt du das Komma: Das Ergebnis hat so viele Nachkommastellen wie beide Faktoren zusammen.

Der Grund liegt in den Zehnerbrüchen. Jede Nachkommastelle bringt einen Faktor 10 im Nenner mit. Bei 0,3 mal 0,2 stehen im Nenner zweimal 10, also 100. Das sind zwei Nachkommastellen.

0{,}3 \cdot 0{,}2 = \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{10} = \frac{6}{100} = 0{,}06

Beispiel

Multiplizieren

Berechne a) 2,4 · 1,5, b) 0,45 · 3 und c) 0,06 · 0,5.

\begin{aligned} \text{a)}\; & 2{,}4 \cdot 1{,}5: \; 24 \cdot 15 = 360, \; \text{zwei Nachkommastellen} \Rightarrow 3{,}60 = 3{,}6 \\ \text{b)}\; & 0{,}45 \cdot 3: \; 45 \cdot 3 = 135, \; \text{zwei Nachkommastellen} \Rightarrow 1{,}35 \\ \text{c)}\; & 0{,}06 \cdot 0{,}5: \; 6 \cdot 5 = 30, \; \text{drei Nachkommastellen} \Rightarrow 0{,}030 = 0{,}03 \end{aligned}

In a) hat 2,4 eine und 1,5 eine Nachkommastelle, zusammen zwei. Das Ergebnis 360 wird zu 3,60. Überschlag: 2 · 2 = 4, das passt zu 3,6. In b) hat 0,45 zwei Nachkommastellen und die 3 keine. Das Ergebnis ist 1,35. So viel kosten die drei Brötchen vom Anfang. Mit dem Getränk für 1,20 Euro sind es 2,55 Euro. In c) hat 0,06 zwei und 0,5 eine Nachkommastelle. Das Ergebnis 30 braucht drei Nachkommastellen. Du schreibst 0,030. Die Endnull kannst du weglassen.

Definition

Dezimalzahlen dividieren

Durch eine natürliche Zahl: Du dividierst schriftlich wie bei natürlichen Zahlen. Sobald du die Ziffern hinter dem Komma benutzt, setzt du im Ergebnis das Komma. Geht die Division nicht auf, hängst du Nullen an. Kommt ein Rest immer wieder, rundest du.

Durch eine Dezimalzahl: Du verschiebst bei beiden Zahlen das Komma gleich weit nach rechts, bis der Teiler eine ganze Zahl ist. Das Ergebnis ändert sich nicht, denn beide Zahlen werden mit demselben Wert malgenommen. Das ist wie Erweitern bei Brüchen.

4{,}8 : 0{,}6 = 48 : 6 = 8

Beispiel

Dividieren

Berechne a) 4,56 : 6, b) 4,8 : 0,6 und c) 6 : 0,25.

\begin{aligned} \text{a)}\; & 4{,}56 : 6 = 0{,}76 \\ \text{b)}\; & 4{,}8 : 0{,}6 = 48 : 6 = 8 \\ \text{c)}\; & 6 : 0{,}25 = 600 : 25 = 24 \end{aligned}

In a) reichen die 4 Ganzen nicht für 6 Teile. Du schreibst 0 und das Komma. Dann rechnest du 45 Zehntel : 6 = 7 Zehntel, denn 6 · 7 = 42. Es bleibt der Rest 3 Zehntel. Mit der nächsten Ziffer sind es 36 Hundertstel. Es gilt 36 : 6 = 6. Das Ergebnis ist 0,76. In b) verschiebst du beide Kommas um eine Stelle. In c) hat der Teiler zwei Nachkommastellen. Du schreibst 6 als 6,00 und verschiebst beide Kommas um zwei Stellen: 6 wird zu 600 und 0,25 zu 25. Das passt: In einen Euro passen vier Viertel-Euro-Stücke, in 6 Euro also 24.

Definition

Kommaverschiebung und Zehnerpotenzen

Beim Malnehmen mit 10, 100 oder 1000 wird jede Ziffer zehnmal, hundertmal oder tausendmal so wertvoll. Sie rutscht also eine, zwei oder drei Stellen nach links. Das Komma wandert nach rechts, und zwar um so viele Stellen, wie die Zahl Nullen hat. Fehlende Stellen füllst du mit Nullen auf.

Beim Teilen durch 10, 100 oder 1000 wandert das Komma nach links. Fehlende Stellen füllst du vorne mit Nullen auf. Mit Zehnerpotenzen schreibst du $10^2 = 100$ und $10^3 = 1000$ .

3{,}47 \cdot 10^2 = 347 \qquad 3{,}47 : 10^2 = 0{,}0347

Beispiel

Mit Zehnerpotenzen rechnen

Berechne a) 3,47 · 100, b) 0,6 · 1000, c) 52 : 100 und d) 4,5 : 1000. Rechne außerdem 2,35 m in Zentimeter um.

\begin{aligned} \text{a)}\; & 3{,}47 \cdot 100 = 347 \qquad \text{b)}\; 0{,}6 \cdot 1000 = 600 \\ \text{c)}\; & 52 : 100 = 0{,}52 \qquad \text{d)}\; 4{,}5 : 1000 = 0{,}0045 \\ & 2{,}35\,\text{m} \cdot 100 = 235\,\text{cm} \end{aligned}

In a) wandert das Komma zwei Stellen nach rechts. In b) wandert es drei Stellen nach rechts. Du hast nur eine Ziffer hinter dem Komma, also hängst du zwei Nullen an. In c) hat 52 das Komma am Ende: 52,0. Es wandert zwei Stellen nach links, vorne kommt eine Null dazu: 0,52. In d) wandert das Komma drei Stellen nach links, es entstehen zwei Nullen nach dem Komma: 0,0045. Ein Meter hat 100 Zentimeter. Darum rechnest du 2,35 mal 100.

Häufige Fehler

Die Stellen hinter dem Komma als eigene Zahl

Jemand rechnet 3,4 + 2,15 = 5,19. Er addiert 4 und 15 hinter dem Komma.

Richtig ist

Die 4 sind Zehntel, die 15 sind Hundertstel. Das darfst du nicht zusammenzählen. Schreibe Komma unter Komma und fülle auf: 3,40 + 2,15 = 5,55.

Häufige Fehler

Nachkommastellen beim Malnehmen vergessen

Jemand rechnet 0,3 · 0,2 = 0,6.

Richtig ist

Es gilt 3 · 2 = 6, aber das Komma musst du noch setzen. Beide Faktoren haben je eine Nachkommastelle, also zwei im Ergebnis: 0,06. Der Überschlag hätte geholfen: 0,3 mal etwas Kleineres als 1 muss kleiner als 0,3 sein.

Häufige Fehler

Nur ein Komma verschieben

Jemand rechnet 4,8 : 0,6 = 4,8 : 6 = 0,8.

Richtig ist

Du musst beide Kommas gleich weit verschieben. Richtig ist 4,8 : 0,6 = 48 : 6 = 8. Der Überschlag zeigt es: Wenn du durch eine Zahl kleiner als 1 teilst, wird das Ergebnis größer als 4,8.

Zusammenfassung

Beim Addieren und Subtrahieren steht Komma unter Komma. Fehlende Stellen füllst du mit Nullen auf.
Ein Überschlag mit gerundeten Zahlen prüft, ob das Ergebnis und die Kommastelle ungefähr stimmen.
Beim Multiplizieren rechnest du ohne Komma. Das Ergebnis hat so viele Nachkommastellen wie beide Faktoren zusammen.
Beim Dividieren durch eine Dezimalzahl verschiebst du beide Kommas gleich weit nach rechts, bis der Teiler eine ganze Zahl ist.
Mal 10, 100, 1000: Komma nach rechts. Geteilt durch 10, 100, 1000: Komma nach links. Fehlende Stellen füllst du mit Nullen.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Berechne 7,5 − 2,86. Wie lautet das Ergebnis?

Aufgabe 2Numerisch

Berechne 1,2 · 0,7. Wie lautet das Ergebnis?

Aufgabe 3Multiple Choice

Du rechnest 4,9 · 3,1. Welcher Überschlag gibt ungefähr das richtige Ergebnis?

Aufgabe 4Numerisch

Berechne 0,0375 · 1000. Wie lautet das Ergebnis?

Aufgabe 5Numerisch

Berechne 9 : 0,45. Wie lautet das Ergebnis?

Aufgabe 6Freitext

Drei Freunde teilen sich eine Rechnung von 14,70 Euro gleichmäßig. Mache einen Überschlag und rechne dann genau. Wie viel zahlt jeder?