Lektion 4.3

Rechnen mit Brüchen

18 min Lesezeit

Du isst ein Viertel einer Pizza, deine Freundin ein Sechstel. Wie viel von der Pizza ist weg? Du brauchst die Hälfte von drei Vierteln einer Tafel Schokolade. Wie viel ist das? Und du füllst 3 Liter Saft in Gläser, in die je ein Viertel Liter passt. Wie viele Gläser werden voll?

Du kennst schon Zähler und Nenner, das Kürzen und Erweitern und den Hauptnenner. Jetzt lernst du alle vier Grundrechenarten mit Brüchen: Plus, Minus, Mal und Geteilt.

Definition

Gleichnamige Brüche addieren und subtrahieren

Der Nenner sagt, in wie viele gleiche Teile ein Ganzes geteilt ist. Der Zähler sagt, wie viele Teile du hast. Brüche mit demselben Nenner heißen gleichnamig. Mit ihnen rechnest du wie mit Äpfeln: 2 Äpfel und 3 Äpfel sind 5 Äpfel. Genauso sind 2 Siebtel und 3 Siebtel zusammen 5 Siebtel.

Der Nenner bleibt, du rechnest nur mit den Zählern. Danach kürzt du das Ergebnis, wenn es geht.

\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7} \qquad \frac{5}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

Definition

Ungleichnamige Brüche addieren und subtrahieren

Brüche mit verschiedenen Nennern heißen ungleichnamig. Ein Viertel und ein Sechstel sind verschieden große Stücke. Du kannst sie nicht einfach zusammenzählen. Zuerst machst du sie gleichnamig:

Suche den Hauptnenner. Das ist die kleinste Zahl, in der beide Nenner als Teiler stecken.
Erweitere beide Brüche auf den Hauptnenner.
Rechne dann wie bei gleichnamigen Brüchen und kürze.

Bei der Pizza ist der Hauptnenner von 4 und 6 die Zahl 12. Das Viertel wird mit 3 erweitert, das Sechstel mit 2. Ihr habt zusammen $\frac{5}{12}$ der Pizza gegessen.

\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}

Beispiel

Brüche mit verschiedenen Nennern

Berechne a) $\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$ und b) $\frac{5}{6} - \frac{3}{8}$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & \frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{11}{12} \\ \text{b)}\; & \frac{5}{6} - \frac{3}{8} = \frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{11}{24} \end{aligned}

In a) ist der Hauptnenner 12. Du erweiterst $\frac{3}{4}$ mit 3 und $\frac{1}{6}$ mit 2. Dann ist 9 + 2 = 11. Der Bruch $\frac{11}{12}$ lässt sich nicht kürzen. In b) ist der Hauptnenner 24, denn 24 ist die erste Zahl in der 8er-Reihe, die auch durch 6 teilbar ist. Du erweiterst $\frac{5}{6}$ mit 4 und $\frac{3}{8}$ mit 3. Dann ist 20 − 9 = 11.

Rechenweg Schritt für Schritt

1Strichrechnung
Zum Schluss die Strichrechnung: Plus und Minus von links nach rechts. $\frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{11}{12}$ .
$\displaystyle = \frac{11}{12}$
Bruchrechnung
Brüche kann man nur addieren oder subtrahieren, wenn sie denselben Nenner haben. Der kleinste gemeinsame Nenner (Hauptnenner) von $4$ und $6$ ist $12$ , das kleinste gemeinsame Vielfache.
$\displaystyle \operatorname{kgV}(4, 6) = 12$
Bruchrechnung
Jeden Bruch auf den Hauptnenner erweitern: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert, der Wert ändert sich dabei nicht.
$\displaystyle \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}, \qquad \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}$
Bruchrechnung
Jetzt addiert man nur die Zähler, der gemeinsame Nenner bleibt.
$\displaystyle \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{9 + 2}{12} = \frac{11}{12}$

Ergebnis $\displaystyle \frac{11}{12}$

Tippe eigene Aufgaben ein, zum Beispiel 5/6 - 3/8 oder 1/2 + 2/3. Rechne zuerst selbst und vergleiche dann deinen Hauptnenner und deine Schritte mit dem angezeigten Weg.

Definition

Gemischte Zahlen addieren und subtrahieren

Eine gemischte Zahl wie $2\frac{1}{2}$ besteht aus Ganzen und einem Bruch. Beim Addieren rechnest du die Ganzen und die Brüche getrennt. Ist die Summe der Brüche größer als 1, wandelst du sie in eine gemischte Zahl um und addierst die Ganzen dazu.

Beim Subtrahieren kann der Bruch vorne zu klein sein, zum Beispiel bei $3\frac{1}{4} - 1\frac{3}{4}$ . Dann holst du ein Ganzes aus den Ganzen und schreibst es als Bruch: $3\frac{1}{4} = 2 + 1 + \frac{1}{4} = 2 + \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = 2\frac{5}{4}$ .

Beispiel

Gemischte Zahlen

Berechne a) $2\frac{1}{2} + 1\frac{3}{4}$ und b) $3\frac{1}{4} - 1\frac{3}{4}$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & 2\frac{1}{2} + 1\frac{3}{4} = 3 + \left(\frac{2}{4} + \frac{3}{4}\right) = 3 + \frac{5}{4} = 3 + 1\frac{1}{4} = 4\frac{1}{4} \\ \text{b)}\; & 3\frac{1}{4} - 1\frac{3}{4} = 2\frac{5}{4} - 1\frac{3}{4} = 1\frac{2}{4} = 1\frac{1}{2} \end{aligned}

In a) ist 2 + 1 = 3. Die Brüche ergeben $\frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$ , also 1 Ganzes und $\frac{1}{4}$ . Das Ganze kommt zu den 3 Ganzen dazu. In b) ist $\frac{1}{4}$ kleiner als $\frac{3}{4}$ . Du holst ein Ganzes und rechnest mit $2\frac{5}{4}$ . Dann ist 2 − 1 = 1 und $\frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .

Definition

Brüche multiplizieren

Beim Multiplizieren brauchst du keinen gemeinsamen Nenner. Du multiplizierst Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.

Was das bedeutet, siehst du an einer Tafel Schokolade mit 4 Spalten und 2 Reihen, zusammen 8 Stücke. Drei Viertel der Tafel sind 3 Spalten, also 6 Stücke. Die Hälfte davon sind 3 Stücke, also drei Achtel der Tafel. Das Wort „von“ bedeutet hier „mal“: Die Hälfte von drei Vierteln ist $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$ .

Eine natürliche Zahl schreibst du als Bruch mit dem Nenner 1: $4 = \frac{4}{1}$ . Gemischte Zahlen wandelst du vorher in unechte Brüche um: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ . Vor dem Multiplizieren darfst du kürzen: Ein Zähler und ein Nenner dürfen durch dieselbe Zahl geteilt werden, auch in verschiedenen Brüchen.

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Beispiel

Multiplizieren

Berechne a) $\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{9}$ , b) $4 \cdot \frac{2}{5}$ und c) $1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{3}$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{9} = \frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 9} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6} \\ \text{b)}\; & 4 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} \\ \text{c)}\; & 1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{3} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} \end{aligned}

In a) ist 3 · 4 = 12 und 8 · 9 = 72. Gekürzt mit 12 ergibt das $\frac{1}{6}$ . Schneller geht es mit Kürzen vorher: 3 und 9 durch 3, 4 und 8 durch 4. In b) schreibst du 4 als $\frac{4}{1}$ . Das Ergebnis $\frac{8}{5}$ kannst du als $1\frac{3}{5}$ schreiben. In c) wandelst du erst um: $1\frac{1}{2}$ sind 3 Halbe, $2\frac{1}{3}$ sind 7 Drittel. Die beiden 3 kürzt du, es bleibt $\frac{7}{2}$ .

Definition

Kehrwert und Brüche dividieren

Der Kehrwert eines Bruchs entsteht, wenn du Zähler und Nenner vertauschst. Der Kehrwert von $\frac{2}{3}$ ist $\frac{3}{2}$ . Der Kehrwert von 4 ist $\frac{1}{4}$ , denn $4 = \frac{4}{1}$ . Ein Bruch mal sein Kehrwert ergibt immer 1: $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{6} = 1$ . Die Zahl 0 hat keinen Kehrwert.

Jetzt zu den Gläsern: In 1 Liter passen 4 Gläser zu je $\frac{1}{4}$ Liter. In 3 Liter passen also $3 \cdot 4 = 12$ Gläser. Es gilt $3 : \frac{1}{4} = 3 \cdot 4$ . Das ist die Regel: Durch einen Bruch teilst du, indem du mit seinem Kehrwert malnimmst. Gemischte Zahlen wandelst du vorher in unechte Brüche um.

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

Beispiel

Dividieren

Berechne a) $3 : \frac{1}{4}$ , b) $\frac{2}{3} : \frac{4}{5}$ und c) $\frac{3}{4} : 2$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & 3 : \frac{1}{4} = 3 \cdot 4 = 12 \\ \text{b)}\; & \frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \\ \text{c)}\; & \frac{3}{4} : 2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \end{aligned}

Der erste Bruch bleibt immer stehen. Den zweiten drehst du um und multiplizierst. In a) ist der Kehrwert von $\frac{1}{4}$ die Zahl 4. In b) ist es $\frac{5}{4}$ . In c) ist $2 = \frac{2}{1}$ und der Kehrwert ist $\frac{1}{2}$ . Ein Bruch durch 2 geteilt wird halbiert: Die Hälfte von drei Vierteln sind drei Achtel.

Definition

Rechengesetze und Rechenregeln für Brüche

Diese Regeln gelten auch für Brüche:

Klammern zuerst, dann Punkt vor Strich, sonst von links nach rechts.
Beim Plus und beim Mal darfst du vertauschen und frei zusammenfassen (Kommutativ- und Assoziativgesetz).
Das Distributivgesetz gilt: Ein gemeinsamer Faktor darf ausgeklammert werden. Du schreibst ihn dann einmal vor eine Klammer.

Damit kannst du geschickt rechnen. Suche Brüche mit gleichem Nenner, die zusammen eine glatte Zahl ergeben.

Beispiel

Geschickt rechnen und eine Sachaufgabe

a) Berechne geschickt: $\frac{3}{5} + \frac{2}{7} + \frac{2}{5}$ und $\frac{3}{4} \cdot 8 + \frac{3}{4} \cdot 4$ .

b) Lena isst $\frac{1}{6}$ eines Kuchens, Tom $\frac{1}{4}$ . Wie viel vom Kuchen ist noch übrig?

\begin{aligned} \text{a)}\; & \frac{3}{5} + \frac{2}{7} + \frac{2}{5} = \left(\frac{3}{5} + \frac{2}{5}\right) + \frac{2}{7} = 1 + \frac{2}{7} = 1\frac{2}{7} \\ & \frac{3}{4} \cdot 8 + \frac{3}{4} \cdot 4 = \frac{3}{4} \cdot (8 + 4) = \frac{3}{4} \cdot 12 = 9 \\ \text{b)}\; & \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12} \qquad 1 - \frac{5}{12} = \frac{12}{12} - \frac{5}{12} = \frac{7}{12} \end{aligned}

In a) vertauschst du die Summanden, sodass $\frac{3}{5}$ und $\frac{2}{5}$ nebeneinander stehen. Zusammen sind sie $\frac{5}{5}$ , also 1. Beim zweiten Beispiel klammerst du den gemeinsamen Faktor $\frac{3}{4}$ aus. In b) rechnest du erst aus, wie viel zusammen gegessen wurde. Das Ganze ist 1 Kuchen, also $\frac{12}{12}$ . Es sind noch $\frac{7}{12}$ übrig. Antwortsatz: Vom Kuchen sind noch $\frac{7}{12}$ übrig.

Häufige Fehler

Zähler und Nenner addieren

Jemand rechnet $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{2}{10}$ .

Richtig ist

Der Nenner gibt die Größe der Teile an. Du darfst Teile nur zählen, wenn sie gleich groß sind. Probe: $\frac{2}{10}$ sind $\frac{1}{5}$ , und das ist weniger als $\frac{1}{4}$ . Die Summe muss aber größer als $\frac{1}{4}$ sein. Richtig ist $\frac{5}{12}$ .

Häufige Fehler

Den falschen Bruch umdrehen

Jemand rechnet $\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{5}$ und dreht den ersten Bruch um.

Richtig ist

Du drehst immer den zweiten Bruch um, also den, durch den du teilst. Richtig ist $\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{6}$ .

Zusammenfassung

Gleichnamige Brüche addierst und subtrahierst du, indem du die Zähler rechnest. Der Nenner bleibt.
Ungleichnamige Brüche machst du zuerst über den Hauptnenner gleichnamig. Dann rechnest du und kürzt.
Bei gemischten Zahlen rechnest du Ganze und Brüche getrennt. Wenn nötig, holst du beim Subtrahieren ein Ganzes aus den Ganzen.
Multiplizieren: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vor dem Rechnen darfst du kürzen. Ganze und gemischte Zahlen schreibst du vorher als Bruch.
Der Kehrwert entsteht durch Tauschen von Zähler und Nenner. Durch einen Bruch teilst du, indem du mit dem Kehrwert malnimmst.
Klammern, Punkt vor Strich und die Rechengesetze gelten auch für Brüche.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Berechne $\frac{2}{5} + \frac{3}{10}$ . Gib das Ergebnis als Dezimalzahl an.

Aufgabe 2Multiple Choice

Wie viel ist $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$ ?

Aufgabe 3Numerisch

Berechne $6 : \frac{2}{3}$ . Wie lautet das Ergebnis?

Aufgabe 4Numerisch

Berechne $1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3}$ . Wie lautet das Ergebnis?

Aufgabe 5Numerisch

Eine Flasche enthält $\frac{3}{4}$ Liter Saft. Wie viele Liter Saft sind in 6 solchen Flaschen? Gib die Antwort als Dezimalzahl in Litern an.

Aufgabe 6Freitext

Mia isst $\frac{1}{3}$ einer Pizza, Jonas $\frac{1}{4}$ . Den Rest teilen sich die Eltern gerecht auf. Welchen Bruchteil der Pizza bekommt jedes Elternteil? Schreibe Rechnung und Antwortsatz.