Lektion 5.4

Flächen- und Volumeneinheiten umrechnen

15 min Lesezeit

Ein Fußballfeld ist etwa 7 000 Quadratmeter groß. Ein Bauer sagt: „Mein Acker hat 2 Hektar.“ Ist sein Acker größer als das Fußballfeld? Dafür musst du wissen, wie viele Quadratmeter ein Hektar hat.

Außerdem gibt es ein Rätsel. Ein Meter hat 100 Zentimeter. Hat dann ein Quadratmeter auch 100 Quadratzentimeter? Du wirst sehen: Nein. Es sind viel mehr.

Ähnlich ist es beim Platz, den etwas einnimmt. Ein Aquarium fasst 60 Liter. Wie viele Kubikzentimeter sind das? In dieser Lektion lernst du, wie Flächen- und Raummaße zusammenhängen und wie du sie umrechnest.

Definition

Fläche und Flächeneinheiten

Die Größe einer Fläche misst du mit Einheitsquadraten. Ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm hat die Fläche 1 Quadratzentimeter, kurz 1 cm². Die kleine 2 zeigt an, dass die Einheit aus zwei Längen entsteht: Länge mal Breite. Der Flächeninhalt sagt, wie viele Einheitsquadrate in die Fläche passen.

Warum sind es bei den Nachbareinheiten 100? Ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 dm ist 10 cm lang und 10 cm breit. Du füllst es mit Quadraten von 1 cm Seitenlänge. In einer Reihe liegen 10 Stück und es gibt 10 Reihen. Das sind $10 \cdot 10 = 100$ Stück. Also ist 1 dm² gleich 100 cm². Dasselbe gilt für alle Nachbarn.

Einheit	Quadrat mit der Seitenlänge	Umrechnung
mm² (Quadratmillimeter)	1 mm
cm² (Quadratzentimeter)	1 cm	1 cm² = 100 mm²
dm² (Quadratdezimeter)	1 dm	1 dm² = 100 cm²
m² (Quadratmeter)	1 m	1 m² = 100 dm²
a (Ar)	10 m	1 a = 100 m²
ha (Hektar)	100 m	1 ha = 100 a = 10 000 m²
km² (Quadratkilometer)	1 km	1 km² = 100 ha

Ar und Hektar nutzt man für Grundstücke, Felder und Parks. Ein Ar ist ein Quadrat mit 10 m Seitenlänge. Ein Hektar ist ein Quadrat mit 100 m Seitenlänge. Damit hat der Bauer mit seinen 2 ha genau 20 000 m². Sein Acker ist fast dreimal so groß wie das Fußballfeld.

Definition

Volumen und Raumeinheiten

Das Volumen (der Rauminhalt) sagt, wie viel Platz ein Körper einnimmt. Du misst es mit Einheitswürfeln. Ein Würfel mit der Kantenlänge 1 cm hat das Volumen 1 Kubikzentimeter, kurz 1 cm³. Die kleine 3 steht für die drei Richtungen: Länge, Breite und Höhe.

Ein Würfel mit der Kantenlänge 1 dm ist 10 cm lang, breit und hoch. Auf dem Boden liegen $10 \cdot 10 = 100$ kleine Würfel. Es gibt 10 solche Schichten. Also passen $100 \cdot 10 = 1\,000$ kleine Würfel hinein. Es gilt 1 dm³ = 1 000 cm³. Bei allen Nachbareinheiten ist die Umrechnungszahl 1 000.

Flüssigkeiten misst man in Hohlmaßen, nämlich in Litern (l) und Millilitern (ml). Ein Liter ist genau ein Kubikdezimeter. Ein Milliliter ist ein Kubikzentimeter. Auf Flaschen steht oft Zentiliter (cl). Für große Mengen gibt es den Hektoliter (hl).

Einheit	Umrechnung
cm³ (= 1 ml)	1 cm³ = 1 000 mm³
dm³ (= 1 l)	1 dm³ = 1 000 cm³
m³ (= 1 000 l)	1 m³ = 1 000 dm³
Hohlmaße	1 l = 1 000 ml, 1 l = 100 cl, 1 hl = 100 l

Das Aquarium mit 60 Litern fasst also 60 dm³. Das sind $60 \cdot 1\,000 = 60\,000$ cm³.

Definition

Umrechnungszahlen und Kommaschreibweise

Bei Längen ist die Umrechnungszahl 10, bei Flächen 100 und bei Volumen 1 000. Beim Umrechnen gilt dasselbe wie bei Längen: Zur kleineren Einheit rechnest du mal die Umrechnungszahl, zur größeren Einheit rechnest du durch die Umrechnungszahl. Bei Flächen wandert das Komma bei jedem Schritt um zwei Stellen, bei Volumen um drei Stellen.

Wird eine Größe mit zwei Einheiten angegeben, kannst du sie als Kommazahl schreiben. Hinter dem Komma stehen bei Flächen zwei Stellen für die nächstkleinere Einheit, bei Volumen drei. Ist die Zahl kürzer, füllst du mit Nullen auf.

3 \text{ m}^2\; 5 \text{ dm}^2 = 3{,}05 \text{ m}^2

Beispiel

Flächeneinheiten umwandeln

Wandle um: a) 3 m² in dm², b) 5 m² in cm², c) 4 500 cm² in dm², d) 2 ha in m², e) 800 m² in a und in ha.

\begin{aligned} \text{a)}\; & 3 \text{ m}^2 = 3 \cdot 100 \text{ dm}^2 = 300 \text{ dm}^2 \\ \text{b)}\; & 5 \text{ m}^2 = 5 \cdot 100 \cdot 100 \text{ cm}^2 = 50\,000 \text{ cm}^2 \\ \text{c)}\; & 4\,500 \text{ cm}^2 = 4\,500 : 100 \text{ dm}^2 = 45 \text{ dm}^2 \\ \text{d)}\; & 2 \text{ ha} = 2 \cdot 10\,000 \text{ m}^2 = 20\,000 \text{ m}^2 \\ \text{e)}\; & 800 \text{ m}^2 = 8 \text{ a} = 0{,}08 \text{ ha} \end{aligned}

In a) gehst du einen Schritt zur kleineren Einheit: mal 100. In b) sind es zwei Schritte, von m² über dm² zu cm². Du rechnest zweimal mal 100, also insgesamt mal 10 000. In c) gehst du einen Schritt zur größeren Einheit: durch 100. In d) nutzt du 1 ha = 10 000 m². In e) rechnest du von m² zu a durch 100, das sind 8 a. Von a zu ha geht es noch einmal durch 100, das sind 0,08 ha.

Beispiel

Volumeneinheiten und Hohlmaße umwandeln

Wandle um: a) 2 m³ in dm³, b) 5 000 cm³ in dm³, c) 3,2 l in ml, d) 750 ml in l.

\begin{aligned} \text{a)}\; & 2 \text{ m}^3 = 2 \cdot 1\,000 \text{ dm}^3 = 2\,000 \text{ dm}^3 \\ \text{b)}\; & 5\,000 \text{ cm}^3 = 5\,000 : 1\,000 \text{ dm}^3 = 5 \text{ dm}^3 \\ \text{c)}\; & 3{,}2 \text{ l} = 3{,}2 \cdot 1\,000 \text{ ml} = 3\,200 \text{ ml} \\ \text{d)}\; & 750 \text{ ml} = 750 : 1\,000 \text{ l} = 0{,}75 \text{ l} \end{aligned}

Bei Volumen rechnest du mit 1 000. In a) geht es zur kleineren Einheit, also mal 1 000. In b) geht es zur größeren Einheit, also durch 1 000. Bei c) und d) benutzt du, dass 1 l = 1 000 ml ist. Dasselbe könntest du auch mit cm³ rechnen, denn 1 ml ist 1 cm³.

Beispiel

Kommaschreibweise

Schreibe als Kommazahl: a) 4 m² 25 dm² in m², b) 7 dm² 5 cm² in dm², c) 2 l 40 ml in l. Gib außerdem 3,6 m² in m² und dm² an.

\begin{aligned} \text{a)}\; & 4 \text{ m}^2\; 25 \text{ dm}^2 = 4{,}25 \text{ m}^2 \\ \text{b)}\; & 7 \text{ dm}^2\; 5 \text{ cm}^2 = 7{,}05 \text{ dm}^2 \\ \text{c)}\; & 2 \text{ l}\; 40 \text{ ml} = 2{,}040 \text{ l} = 2{,}04 \text{ l} \\ \text{d)}\; & 3{,}6 \text{ m}^2 = 3{,}60 \text{ m}^2 = 3 \text{ m}^2\; 60 \text{ dm}^2 \end{aligned}

In a) steht 25 genau auf den zwei Stellen hinter dem Komma. In b) ist 5 nur eine Ziffer. Du füllst mit einer Null auf, es wird 05. In c) brauchst du drei Stellen: 40 ml sind 040. Die letzte Null darfst du weglassen. In d) füllst du 3,6 mit einer Null zu 3,60 auf. Dann liest du hinter dem Komma 60 dm² ab.

Häufige Fehler

Die Umrechnungszahl der Länge benutzen

Jemand rechnet $3 \text{ m}^2 = 30 \text{ dm}^2$ .

Richtig ist

Bei Flächen musst du in zwei Richtungen rechnen: Länge und Breite. Ein Quadrat von 1 m Seitenlänge besteht aus $10 \cdot 10 = 100$ Quadraten von 1 dm Seitenlänge. Richtig ist $3 \text{ m}^2 = 300 \text{ dm}^2$ .

Häufige Fehler

Kommaschreibweise ohne Null

Jemand schreibt $5 \text{ m}^2\; 7 \text{ dm}^2 = 5{,}7 \text{ m}^2$ .

Richtig ist

Bei Flächen stehen zwei Stellen hinter dem Komma. 7 dm² sind 07, also sieben Hundertstel Quadratmeter. Richtig ist $5{,}07 \text{ m}^2$ . Die Zahl 5,7 m² wären 5 m² 70 dm².

Häufige Fehler

Ar und Hektar verwechseln

Jemand sagt: „Ein Hektar hat 100 Quadratmeter.“

Richtig ist

100 m² sind ein Ar. Ein Hektar ist 100 Ar, also 10 000 m². Du kannst es dir so merken: Ein Hektar ist ein Quadrat mit 100 m Seitenlänge, und $100 \cdot 100 = 10\,000$ .

Zusammenfassung

Flächen misst du mit Einheitsquadraten, Volumen mit Einheitswürfeln. Die kleine 2 oder 3 an der Einheit zeigt das an.
Bei Flächeneinheiten ist die Umrechnungszahl 100, denn ein Quadrat hat Länge und Breite: $10 \cdot 10 = 100$ .
Bei Volumeneinheiten ist die Umrechnungszahl 1 000: $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000$ .
Es gilt 1 a = 100 m², 1 ha = 100 a = 10 000 m² und 1 km² = 100 ha.
Es gilt 1 l = 1 dm³ und 1 ml = 1 cm³. Also ist 1 l = 1 000 ml und 1 m³ = 1 000 l.
Zur kleineren Einheit rechnest du mal, zur größeren durch die Umrechnungszahl. In der Kommaschreibweise stehen bei Flächen zwei Stellen, bei Volumen drei Stellen für die nächstkleinere Einheit.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Wandle um: 6 m² sind wie viele Quadratdezimeter?

Aufgabe 2Multiple Choice

Wie viele Kubikzentimeter hat ein Kubikdezimeter?

Aufgabe 3Numerisch

Wie viele Quadratmeter sind 3 Hektar? Schreibe die Zahl ohne Punkt.

Aufgabe 4Numerisch

Ein Eimer fasst 12 l. Wie viele Gläser mit je 250 ml kannst du damit füllen?

Aufgabe 5Multiple Choice

Wie schreibst du 4 m² 8 dm² als Kommazahl in Quadratmetern?

Aufgabe 6Freitext

Ein Meter hat 100 Zentimeter. Erkläre, warum ein Quadratmeter trotzdem nicht 100 Quadratzentimeter hat. Wie viele sind es?

Lektion 5.4 · Terme, Folgen und Größen

Flächen- und Volumeneinheiten umrechnen

Außerdem gibt es ein Rätsel. Ein Meter hat 100 Zentimeter. Hat dann ein Quadratmeter auch 100 Quadratzentimeter? Du wirst sehen: Nein. Es sind viel mehr.

Definition

Fläche und Flächeneinheiten

Einheit	Quadrat mit der Seitenlänge	Umrechnung
mm² (Quadratmillimeter)	1 mm
cm² (Quadratzentimeter)	1 cm	1 cm² = 100 mm²
dm² (Quadratdezimeter)	1 dm	1 dm² = 100 cm²
m² (Quadratmeter)	1 m	1 m² = 100 dm²
a (Ar)	10 m	1 a = 100 m²
ha (Hektar)	100 m	1 ha = 100 a = 10 000 m²
km² (Quadratkilometer)	1 km	1 km² = 100 ha

Definition

Volumen und Raumeinheiten

Einheit	Umrechnung
cm³ (= 1 ml)	1 cm³ = 1 000 mm³
dm³ (= 1 l)	1 dm³ = 1 000 cm³
m³ (= 1 000 l)	1 m³ = 1 000 dm³
Hohlmaße	1 l = 1 000 ml, 1 l = 100 cl, 1 hl = 100 l

Das Aquarium mit 60 Litern fasst also 60 dm³. Das sind $60 \cdot 1\,000 = 60\,000$ cm³.

Definition

Umrechnungszahlen und Kommaschreibweise

3 \text{ m}^2\; 5 \text{ dm}^2 = 3{,}05 \text{ m}^2

Beispiel

Flächeneinheiten umwandeln

Wandle um: a) 3 m² in dm², b) 5 m² in cm², c) 4 500 cm² in dm², d) 2 ha in m², e) 800 m² in a und in ha.

\begin{aligned} \text{a)}\; & 3 \text{ m}^2 = 3 \cdot 100 \text{ dm}^2 = 300 \text{ dm}^2 \\ \text{b)}\; & 5 \text{ m}^2 = 5 \cdot 100 \cdot 100 \text{ cm}^2 = 50\,000 \text{ cm}^2 \\ \text{c)}\; & 4\,500 \text{ cm}^2 = 4\,500 : 100 \text{ dm}^2 = 45 \text{ dm}^2 \\ \text{d)}\; & 2 \text{ ha} = 2 \cdot 10\,000 \text{ m}^2 = 20\,000 \text{ m}^2 \\ \text{e)}\; & 800 \text{ m}^2 = 8 \text{ a} = 0{,}08 \text{ ha} \end{aligned}

Beispiel

Volumeneinheiten und Hohlmaße umwandeln

Wandle um: a) 2 m³ in dm³, b) 5 000 cm³ in dm³, c) 3,2 l in ml, d) 750 ml in l.

\begin{aligned} \text{a)}\; & 2 \text{ m}^3 = 2 \cdot 1\,000 \text{ dm}^3 = 2\,000 \text{ dm}^3 \\ \text{b)}\; & 5\,000 \text{ cm}^3 = 5\,000 : 1\,000 \text{ dm}^3 = 5 \text{ dm}^3 \\ \text{c)}\; & 3{,}2 \text{ l} = 3{,}2 \cdot 1\,000 \text{ ml} = 3\,200 \text{ ml} \\ \text{d)}\; & 750 \text{ ml} = 750 : 1\,000 \text{ l} = 0{,}75 \text{ l} \end{aligned}

Beispiel

Kommaschreibweise

Schreibe als Kommazahl: a) 4 m² 25 dm² in m², b) 7 dm² 5 cm² in dm², c) 2 l 40 ml in l. Gib außerdem 3,6 m² in m² und dm² an.

\begin{aligned} \text{a)}\; & 4 \text{ m}^2\; 25 \text{ dm}^2 = 4{,}25 \text{ m}^2 \\ \text{b)}\; & 7 \text{ dm}^2\; 5 \text{ cm}^2 = 7{,}05 \text{ dm}^2 \\ \text{c)}\; & 2 \text{ l}\; 40 \text{ ml} = 2{,}040 \text{ l} = 2{,}04 \text{ l} \\ \text{d)}\; & 3{,}6 \text{ m}^2 = 3{,}60 \text{ m}^2 = 3 \text{ m}^2\; 60 \text{ dm}^2 \end{aligned}

Häufige Fehler

Die Umrechnungszahl der Länge benutzen

Jemand rechnet $3 \text{ m}^2 = 30 \text{ dm}^2$ .

Häufige Fehler

Kommaschreibweise ohne Null

Jemand schreibt $5 \text{ m}^2\; 7 \text{ dm}^2 = 5{,}7 \text{ m}^2$ .

Bei Flächen stehen zwei Stellen hinter dem Komma. 7 dm² sind 07, also sieben Hundertstel Quadratmeter. Richtig ist $5{,}07 \text{ m}^2$ . Die Zahl 5,7 m² wären 5 m² 70 dm².

Häufige Fehler

Ar und Hektar verwechseln

Jemand sagt: „Ein Hektar hat 100 Quadratmeter.“

100 m² sind ein Ar. Ein Hektar ist 100 Ar, also 10 000 m². Du kannst es dir so merken: Ein Hektar ist ein Quadrat mit 100 m Seitenlänge, und $100 \cdot 100 = 10\,000$ .

Zusammenfassung

Flächen misst du mit Einheitsquadraten, Volumen mit Einheitswürfeln. Die kleine 2 oder 3 an der Einheit zeigt das an.
Bei Flächeneinheiten ist die Umrechnungszahl 100, denn ein Quadrat hat Länge und Breite: $10 \cdot 10 = 100$ .
Bei Volumeneinheiten ist die Umrechnungszahl 1 000: $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000$ .
Es gilt 1 a = 100 m², 1 ha = 100 a = 10 000 m² und 1 km² = 100 ha.
Es gilt 1 l = 1 dm³ und 1 ml = 1 cm³. Also ist 1 l = 1 000 ml und 1 m³ = 1 000 l.
Zur kleineren Einheit rechnest du mal, zur größeren durch die Umrechnungszahl. In der Kommaschreibweise stehen bei Flächen zwei Stellen, bei Volumen drei Stellen für die nächstkleinere Einheit.