Lektion 5.2

Zahlenfolgen und Muster

14 min Lesezeit

Lena legt aus Streichhölzern eine Reihe von Quadraten. Ein Quadrat braucht 4 Hölzer. Für zwei Quadrate nebeneinander braucht sie 7 Hölzer, denn das zweite Quadrat teilt sich eine Seite mit dem ersten. Für drei Quadrate braucht sie 10 Hölzer.

Lena fragt sich: Wie viele Hölzer brauche ich für zehn Quadrate? Sie will nicht alle zehn Quadrate legen. Sie sucht eine Regel hinter den Zahlen 4, 7, 10 und weiter.

Solche Zahlenreihen gibt es überall: Hausnummern auf einer Straßenseite, Spielstände, Sparbeträge. In dieser Lektion lernst du, die Regel hinter einer Zahlenreihe zu finden und die Reihe fortzusetzen.

Definition

Zahlenfolge

Eine Zahlenfolge ist eine Liste von Zahlen in einer festen Reihenfolge. Die einzelnen Zahlen heißen Glieder. Die Zahl an erster Stelle ist das 1. Glied, die Zahl an zweiter Stelle das 2. Glied und so weiter. Die Glieder trennst du durch Kommas. Drei Punkte am Ende bedeuten: Die Folge geht in derselben Weise weiter.

Die Streichholzfolge ist 4, 7, 10, 13 und so weiter. Das 1. Glied ist 4, das 3. Glied ist 10. Die Reihenfolge ist wichtig. Die Folge 2, 4, 6 ist eine andere als die Folge 6, 4, 2.

4,\; 7,\; 10,\; 13,\; \dots

Definition

Bildungsregel

Eine Folge entsteht nach einer Bildungsregel. Sie sagt dir, wie du von einem Glied zum nächsten kommst. Bei 4, 7, 10, 13 lautet sie: Addiere immer 3. Kennst du die Regel, kannst du die Folge fortsetzen.

Um die Regel zu finden, analysierst du die Folge. Das heißt, du untersuchst sie. Dafür stellst du zwei Fragen:

Wie groß ist der Unterschied zwischen zwei Nachbarn? Rechne das spätere Glied minus das frühere. Das Ergebnis heißt Differenz.
Entsteht jedes Glied durch Malnehmen? Teile dazu ein Glied durch das Glied davor.

Ist die Differenz immer gleich, addierst oder subtrahierst du immer dieselbe Zahl. Ist das Ergebnis der Teilung immer gleich, multiplizierst du immer mit derselben Zahl. Ändert sich die Differenz, schaust du dir die Differenzen als neue Zahlenreihe an.

Beispiel

Die Streichholzfolge

Setze die Folge 4, 7, 10, 13 fort. Wie viele Hölzer braucht Lena für 10 Quadrate?

\begin{aligned} & 4,\; 7,\; 10,\; 13,\; 16,\; 19,\; \dots \\ \text{10. Glied: } & 4 + 9 \cdot 3 = 4 + 27 = 31 \end{aligned}

Die Differenzen sind $7 - 4 = 3$ , $10 - 7 = 3$ und $13 - 10 = 3$ . Sie sind immer gleich. Die Regel lautet: Addiere 3. Das passt zum Legen, denn jedes neue Quadrat braucht 3 neue Hölzer. Die Folge geht mit 16 und 19 weiter. Für das 10. Glied musst du nicht alles aufschreiben. Vom 1. zum 10. Glied gehst du 9 Schritte, und jeder Schritt bringt 3 dazu. Also ist $4 + 9 \cdot 3 = 31$ . Lena braucht 31 Hölzer.

Beispiel

Die Regel finden: Plus, Minus oder Mal

Finde die Regel und schreibe die nächsten zwei Glieder auf.

a) 100, 90, 80, 70, …
b) 3, 6, 12, 24, …
c) 5, 9, 13, 17, …

\begin{aligned} \text{a)}\; & 100,\; 90,\; 80,\; 70,\; 60,\; 50 \\ \text{b)}\; & 3,\; 6,\; 12,\; 24,\; 48,\; 96 \\ \text{c)}\; & 5,\; 9,\; 13,\; 17,\; 21,\; 25 \end{aligned}

a) Jedes Glied ist um 10 kleiner als das davor. Die Regel lautet: Ziehe immer 10 ab. b) Die Differenzen 3, 6 und 12 sind nicht gleich. Aber $6 : 3 = 2$ , $12 : 6 = 2$ und $24 : 12 = 2$ . Die Regel lautet: Multipliziere immer mit 2. c) Die Differenz ist immer 4. Die Regel lautet: Addiere immer 4.

Beispiel

Wenn sich die Differenz ändert

Setze fort: a) 1, 2, 4, 7, 11, … b) 1, 4, 9, 16, 25, … c) 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

\begin{aligned} \text{a)}\; & 1,\; 2,\; 4,\; 7,\; 11,\; 16,\; 22 \\ \text{b)}\; & 1,\; 4,\; 9,\; 16,\; 25,\; 36,\; 49 \\ \text{c)}\; & 1,\; 1,\; 2,\; 3,\; 5,\; 8,\; 13,\; 21 \end{aligned}

a) Die Differenzen sind 1, 2, 3 und 4. Sie wachsen jedes Mal um 1. Als Nächstes kommen 5 und 6: $11 + 5 = 16$ und $16 + 6 = 22$ . b) Die Differenzen 3, 5, 7 und 9 wachsen um 2. Du kennst diese Folge auch als Quadratzahlen: $1 \cdot 1$ , $2 \cdot 2$ , $3 \cdot 3$ und so weiter. Danach kommen $6 \cdot 6 = 36$ und $7 \cdot 7 = 49$ . c) Hier hilft keine Differenz. Jedes Glied ist die Summe der zwei Glieder davor: $1 + 1 = 2$ , $1 + 2 = 3$ , $2 + 3 = 5$ und $3 + 5 = 8$ . Diese Folge heißt Fibonacci-Folge.

Beispiel

Lücken in einer Folge füllen

Die Folge 8, __, __, 26 hat immer dieselbe Differenz. Welche Zahlen fehlen?

\begin{aligned} 26 - 8 &= 18 \\ 18 : 3 &= 6 \\ & 8,\; 14,\; 20,\; 26 \end{aligned}

Vom 1. zum 4. Glied sind es 3 Schritte, nicht 4. Zusammen wachsen die Glieder um $26 - 8 = 18$ . Jeder der drei gleich großen Schritte ist $18 : 3 = 6$ . Die fehlenden Zahlen sind $8 + 6 = 14$ und $14 + 6 = 20$ . Probe: $20 + 6 = 26$ .

Definition

Muster

Ein Muster ist eine Anordnung, die einer Regel folgt. Die Streichholzquadrate sind ein Figurenmuster: Jede Figur entsteht aus der vorherigen, und du kannst die Hölzer zählen. So wird aus dem Muster eine Zahlenfolge.

Ein anderes Muster wiederholt sich. Ein Beispiel ist eine Perlenkette mit den Farben Rot, Blau, Blau, Rot, Blau, Blau und so weiter. Hier suchst du das kleinste Stück, das sich immer wiederholt. In diesem Fall sind es drei Perlen.

Beispiel

Ein Muster, das sich wiederholt

Auf einer Kette wiederholt sich Rot, Blau, Blau. Welche Farbe hat die 20. Perle?

20 : 3 = 6 \text{ Rest } 2

Das Stück Rot, Blau, Blau hat 3 Perlen. Teile die Nummer der Perle durch 3. Es ist $20 : 3 = 6$ Rest 2. Das heißt: Das Stück passt 6-mal ganz hinein, das sind $6 \cdot 3 = 18$ Perlen. Dann bleiben 2 Perlen. Die 19. Perle ist die erste im Stück, also Rot. Die 20. Perle ist die zweite im Stück, also Blau.

Häufige Fehler

Die Regel aus zwei Gliedern ablesen

Jemand sieht 2, 4, … und sagt: „Die Regel lautet: Addiere 2. Das nächste Glied ist 6.“

Richtig ist

Zwei Glieder reichen nicht. Die Folgen 2, 4, 6, 8 (Addiere 2), 2, 4, 8, 16 (Multipliziere mit 2) und 2, 4, 7, 11 (die Differenzen 2, 3, 4 wachsen) fangen alle mit 2, 4 an. Prüfe die Regel an jedem Glied, das gegeben ist.

Häufige Fehler

Glieder statt Schritte zählen

Jemand berechnet das 10. Glied der Folge 4, 7, 10, 13 als $4 + 10 \cdot 3 = 34$ .

Richtig ist

Vom 1. zum 10. Glied gibt es nur 9 Schritte. Richtig ist $4 + 9 \cdot 3 = 31$ . Zur Kontrolle: Das 2. Glied ist $4 + 1 \cdot 3 = 7$ und nicht $4 + 2 \cdot 3$ .

Zusammenfassung

Eine Zahlenfolge ist eine Liste von Zahlen in fester Reihenfolge. Die einzelnen Zahlen heißen Glieder.
Eine Bildungsregel sagt, wie du von einem Glied zum nächsten kommst. Mit ihr setzt du die Folge fort.
Zum Analysieren rechnest du die Differenzen der Nachbarn. Sind sie gleich, addierst oder subtrahierst du immer dieselbe Zahl.
Wachsen die Differenzen regelmäßig, setzt du sie fort. Entsteht jedes Glied durch Malnehmen, multiplizierst du immer mit derselben Zahl.
Vom 1. zum 10. Glied sind es 9 Schritte. Du zählst Schritte, nicht Glieder.
Ein Muster, das sich wiederholt, untersuchst du mit der Division mit Rest. Der Rest sagt dir, welche Stelle im Stück gemeint ist.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Welches Glied folgt auf 7, 12, 17, 22?

Aufgabe 2Multiple Choice

Welche Regel gehört zur Folge 2, 6, 18, 54?

Aufgabe 3Numerisch

Die Folge 5, 8, 11, 14 geht nach derselben Regel weiter. Wie lautet das 20. Glied?

Aufgabe 4Multiple Choice

Welches Glied folgt auf 2, 3, 5, 8, 12?

Aufgabe 5Numerisch

Die Folge 3, __, __, __, 23 hat immer dieselbe Differenz. Welche Zahl steht an dritter Stelle?

Aufgabe 6Freitext

Auf einer Kette wiederholt sich Rot, Gelb, Grün, Grün. Welche Farbe hat die 30. Perle? Erkläre deinen Weg.