Lektion 5.3

Messen, Einheiten und Schätzen von Größen

15 min Lesezeit

Anna sagt: „Mein Schulweg ist 1 200 Meter lang.“ Ben sagt: „Meiner ist 1,5 Kilometer lang.“ Wer hat den längeren Weg? Du kannst die beiden Angaben nur vergleichen, wenn sie dieselbe Einheit haben. Dann siehst du: 1,5 Kilometer sind 1 500 Meter. Ben hat den längeren Weg.

Auch in der Küche musst du umrechnen: Das Rezept verlangt 0,5 Kilogramm Mehl, deine Waage zeigt Gramm an. Und manchmal willst du nur schätzen: Ist der Baum eher 5 Meter oder 50 Meter hoch?

In dieser Lektion lernst du, wie man misst, Einheiten umwandelt, schätzt und mit Größen rechnet.

Definition

Messen, Einheit und Größe

Messen heißt: Du vergleichst etwas mit einer Einheit. Willst du die Länge eines Tisches messen, legst du eine Einheit, zum Beispiel einen Zentimeter, immer wieder an. Du zählst, wie oft sie hineinpasst. Hat der Tisch 120 Zentimeter, passt der Zentimeter 120-mal hinein.

Das Ergebnis heißt Größe. Sie besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Bei 120 cm ist 120 die Maßzahl und cm die Einheit. In dieser Lektion geht es um vier Arten von Größen: Länge, Masse, Zeit und Geld. Zur Masse sagt man im Alltag oft Gewicht. Sie ist die Zahl, die deine Küchenwaage anzeigt.

Definition

Vorsilben bei Einheiten

Die Einheiten einer Größenart haben ähnliche Namen. Das liegt an den Vorsilben. Sie sagen, wie viel größer oder kleiner eine Einheit als die Grundeinheit ist. Bei der Länge ist die Grundeinheit der Meter (m), bei der Masse das Gramm (g).

Vorsilbe	Zeichen	Bedeutung	Beispiel
milli	m	der tausendste Teil	1 mm ist ein Tausendstel Meter
zenti	c	der hundertste Teil	1 cm ist ein Hundertstel Meter
dezi	d	der zehnte Teil	1 dm ist ein Zehntel Meter
kilo	k	das Tausendfache	1 km sind 1 000 m
mega	M	das Millionenfache	1 Million Gramm sind 1 Tonne (t)

Definition

Einheiten und Umrechnungszahlen

Die Umrechnungszahl sagt, wie viele kleine Einheiten in der nächsten größeren stecken.

Größe	Einheiten	Umrechnung
Länge	mm, cm, dm, m, km	1 cm = 10 mm, 1 dm = 10 cm, 1 m = 10 dm, 1 km = 1 000 m
Masse	mg, g, kg, t	1 g = 1 000 mg, 1 kg = 1 000 g, 1 t = 1 000 kg
Zeit	s (Sekunde), min (Minute), h (Stunde), d (Tag)	1 min = 60 s, 1 h = 60 min, 1 d = 24 h
Geld	ct (Cent), Euro	1 Euro = 100 ct

Bei Länge, Masse und Geld sind die Umrechnungszahlen 10, 100 oder 1 000. Bei der Zeit sind es 60 und 24. Das ist ein großer Unterschied.

Beim Umwandeln bleibt die Größe gleich, nur die Einheit wechselt. Wechselst du zu einer kleineren Einheit, passt sie öfter hinein. Die Maßzahl wird größer und du rechnest mal die Umrechnungszahl. Wechselst du zu einer größeren Einheit, wird die Maßzahl kleiner und du teilst durch die Umrechnungszahl. Bei 10, 100 und 1 000 verschiebst du dazu das Komma um 1, 2 oder 3 Stellen.

Beispiel

Länge und Masse umwandeln

Wandle um: a) 3,5 km in m, b) 4 200 g in kg, c) 7 cm in mm, d) 250 cm in m.

\begin{aligned} \text{a)}\; & 3{,}5 \text{ km} = 3{,}5 \cdot 1\,000 \text{ m} = 3\,500 \text{ m} \\ \text{b)}\; & 4\,200 \text{ g} = 4\,200 : 1\,000 \text{ kg} = 4{,}2 \text{ kg} \\ \text{c)}\; & 7 \text{ cm} = 7 \cdot 10 \text{ mm} = 70 \text{ mm} \\ \text{d)}\; & 250 \text{ cm} = 250 : 100 \text{ m} = 2{,}5 \text{ m} \end{aligned}

In a) gehst du zur kleineren Einheit. Ein Kilometer enthält 1 000 Meter, also rechnest du mal 1 000. Die Maßzahl wird größer. In b) gehst du zur größeren Einheit. Du teilst durch 1 000, und die Maßzahl wird kleiner. In c) ist ein Zentimeter 10 Millimeter. In d) sind 100 Zentimeter ein Meter, also teilst du durch 100.

Beispiel

Zeit und Geld umwandeln

Wandle um: a) 2,5 h in Minuten, b) 135 min in Stunden und Minuten, c) 3,40 Euro in Cent, d) 1 250 ct in Euro.

\begin{aligned} \text{a)}\; & 2{,}5 \text{ h} = 2 \text{ h} + 30 \text{ min} = 120 \text{ min} + 30 \text{ min} = 150 \text{ min} \\ \text{b)}\; & 135 \text{ min} = 120 \text{ min} + 15 \text{ min} = 2 \text{ h } 15 \text{ min} \\ \text{c)}\; & 3{,}40 \text{ Euro} = 3{,}40 \cdot 100 \text{ ct} = 340 \text{ ct} \\ \text{d)}\; & 1\,250 \text{ ct} = 1\,250 : 100 \text{ Euro} = 12{,}50 \text{ Euro} \end{aligned}

Bei der Zeit rechnest du mit 60. In a) ist 0,5 h die Hälfte einer Stunde, also 30 min. Zwei Stunden sind $2 \cdot 60 = 120$ min. In b) passen zwei volle Stunden in 135 min. Das sind 120 min, und 15 min bleiben übrig. Bei Geld rechnest du mit 100, denn 1 Euro hat 100 Cent.

Definition

Schätzen mit Repräsentanten

Oft musst du eine Größe nicht genau messen, du schätzt sie. Dazu brauchst du Repräsentanten. Das sind bekannte Dinge, deren Größe du dir gemerkt hast. Du vergleichst die gesuchte Größe damit.

Größe	Repräsentant	ungefähr
Länge	Breite deines Daumens	2 cm
Länge	ein Schritt von dir	60 cm
Länge	Höhe einer Zimmertür	2 m
Länge	Höhe eines Stockwerks	3 m
Masse	Büroklammer	1 g
Masse	Tafel Schokolade	100 g
Masse	Paket Zucker	1 kg
Zeit	Herzschlag in Ruhe	1 s
Zeit	Schulstunde	45 min

Beispiel

Mit Repräsentanten schätzen

Schätze: a) die Höhe eines Hauses mit 4 Stockwerken, b) die Länge von 1 000 Schritten, c) die Masse von 12 Tafeln Schokolade.

\begin{aligned} \text{a)}\; & 4 \cdot 3 \text{ m} = 12 \text{ m} \\ \text{b)}\; & 1\,000 \cdot 60 \text{ cm} = 60\,000 \text{ cm} = 600 \text{ m} \\ \text{c)}\; & 12 \cdot 100 \text{ g} = 1\,200 \text{ g} = 1{,}2 \text{ kg} \end{aligned}

Du rechnest mit einfachen, gerundeten Werten. Das Ergebnis stimmt deshalb nur ungefähr, und das ist beim Schätzen in Ordnung. Wichtig ist, dass die Größenordnung stimmt. Ein Haus mit vier Stockwerken ist etwa 12 Meter hoch, nicht 120 Meter. Prüfe immer, ob dein Ergebnis zum Alltag passt.

Definition

Rechnen mit Größen

Beim Rechnen mit Größen gelten diese Regeln:

Addieren und Subtrahieren kannst du nur Größen mit derselben Einheit. Wandle vorher um. Die Einheit steht auch im Ergebnis.
Größe mal Zahl ergibt eine Größe: $5 \cdot 2$ kg $= 10$ kg.
Größe geteilt durch Zahl ergibt eine Größe: 12 m : 4 = 3 m.
Zwei Größen mit derselben Einheit durch einander geteilt ergeben eine Zahl: 12 m : 4 m = 3. Das sagt dir, wie oft 4 m in 12 m hineinpasst.

Beispiel

Mit Größen rechnen

a) Du kaufst 1,5 kg Äpfel, 750 g Birnen und 2 kg 250 g Kartoffeln. Wie schwer ist alles zusammen? b) Fünf Brötchen kosten je 45 ct. Wie viel Euro sind das? c) Aus einem 3 m langen Band werden Stücke von 40 cm geschnitten. Wie viele ganze Stücke gibt es? d) Ein Film beginnt um 14:45 Uhr und endet um 16:20 Uhr. Wie lange dauert er?

\begin{aligned} \text{a)}\; & 1\,500 \text{ g} + 750 \text{ g} + 2\,250 \text{ g} = 4\,500 \text{ g} = 4{,}5 \text{ kg} \\ \text{b)}\; & 5 \cdot 45 \text{ ct} = 225 \text{ ct} = 2{,}25 \text{ Euro} \\ \text{c)}\; & 300 \text{ cm} : 40 \text{ cm} = 7 \text{ Rest } 20 \text{ cm} \\ \text{d)}\; & 15 \text{ min} + 1 \text{ h} + 20 \text{ min} = 1 \text{ h } 35 \text{ min} \end{aligned}

In a) wandelst du alles in Gramm um und addierst. Dann gehst du zurück zu Kilogramm. In b) multiplizierst du die Cent und wandelst am Ende um. In c) rechnest du 3 m = 300 cm. Das 40-cm-Stück passt 7-mal hinein, denn $7 \cdot 40 = 280$ . Es gibt 7 Stücke und 20 cm bleiben übrig. In d) gehst du in Etappen: von 14:45 bis 15:00 Uhr sind es 15 min, bis 16:00 Uhr kommt 1 h dazu, bis 16:20 Uhr noch 20 min.

Häufige Fehler

Verschiedene Einheiten zusammenrechnen

Jemand rechnet $2 \text{ m} + 30 \text{ cm} = 32 \text{ m}$ .

Richtig ist

Du darfst nur Größen mit derselben Einheit addieren. Wandle zuerst um: $200 \text{ cm} + 30 \text{ cm} = 230 \text{ cm}$ . Das sind 2,30 m.

Häufige Fehler

Zeit wie Dezimalzahlen behandeln

Jemand sagt: „2,5 h sind 2 h 50 min.“

Richtig ist

Eine Stunde hat 60 min und nicht 100 min. Die Nachkommastelle 0,5 ist die Hälfte einer Stunde, das sind 30 min. Richtig ist: 2,5 h sind 2 h 30 min.

Häufige Fehler

In die falsche Richtung umrechnen

Jemand rechnet $4{,}2 \text{ kg} = 4{,}2 : 1\,000 \text{ g} = 0{,}0042 \text{ g}$ .

Richtig ist

Das Gramm ist die kleinere Einheit. Dann muss die Maßzahl größer werden. Richtig ist $4{,}2 \cdot 1\,000 = 4\,200$ , also 4 200 g. Frage dich immer: Muss die Zahl größer oder kleiner werden?

Zusammenfassung

Messen heißt, mit einer Einheit zu vergleichen. Eine Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit.
Vorsilben zeigen, wie groß eine Einheit ist: milli für ein Tausendstel, zenti für ein Hundertstel, dezi für ein Zehntel, kilo für das Tausendfache und mega für das Millionenfache.
Beim Umwandeln mit 10, 100 und 1 000 verschiebst du das Komma. Kleinere Einheit heißt größere Maßzahl.
Bei der Zeit gilt: 1 h sind 60 min, 1 min sind 60 s, 1 d sind 24 h. Bei Geld sind 1 Euro 100 ct.
Beim Schätzen vergleichst du mit Repräsentanten, die du kennst: Daumenbreite 2 cm, Tafel Schokolade 100 g, Zimmertür 2 m. Prüfe, ob das Ergebnis zum Alltag passt.
Beim Addieren und Subtrahieren von Größen brauchst du dieselbe Einheit. Eine Größe mal oder durch eine Zahl bleibt eine Größe.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Wandle um: 2,4 km sind wie viele Meter? Schreibe die Zahl ohne Punkt.

Aufgabe 2Multiple Choice

Eine Packung wiegt 3 500 g. Wie viele Kilogramm sind das?

Aufgabe 3Numerisch

Wie viele Minuten sind 1,75 Stunden?

Aufgabe 4Numerisch

Ein Seil ist 5 m lang. Daraus werden Stücke von je 60 cm geschnitten. Wie viele ganze Stücke gibt es?

Aufgabe 5Multiple Choice

Welche Angabe passt zur Masse einer vollen Schultasche?

Aufgabe 6Freitext

Für einen Kuchen brauchst du 1,2 kg Mehl, 800 g Zucker und 500 g Butter. Wie schwer ist alles zusammen? Gib das Ergebnis in Kilogramm an und zeige deinen Rechenweg.

Lektion 5.3 · Terme, Folgen und Größen

Messen, Einheiten und Schätzen von Größen

Auch in der Küche musst du umrechnen: Das Rezept verlangt 0,5 Kilogramm Mehl, deine Waage zeigt Gramm an. Und manchmal willst du nur schätzen: Ist der Baum eher 5 Meter oder 50 Meter hoch?

In dieser Lektion lernst du, wie man misst, Einheiten umwandelt, schätzt und mit Größen rechnet.

Definition

Messen, Einheit und Größe

Definition

Vorsilben bei Einheiten

Vorsilbe	Zeichen	Bedeutung	Beispiel
milli	m	der tausendste Teil	1 mm ist ein Tausendstel Meter
zenti	c	der hundertste Teil	1 cm ist ein Hundertstel Meter
dezi	d	der zehnte Teil	1 dm ist ein Zehntel Meter
kilo	k	das Tausendfache	1 km sind 1 000 m
mega	M	das Millionenfache	1 Million Gramm sind 1 Tonne (t)

Definition

Einheiten und Umrechnungszahlen

Die Umrechnungszahl sagt, wie viele kleine Einheiten in der nächsten größeren stecken.

Größe	Einheiten	Umrechnung
Länge	mm, cm, dm, m, km	1 cm = 10 mm, 1 dm = 10 cm, 1 m = 10 dm, 1 km = 1 000 m
Masse	mg, g, kg, t	1 g = 1 000 mg, 1 kg = 1 000 g, 1 t = 1 000 kg
Zeit	s (Sekunde), min (Minute), h (Stunde), d (Tag)	1 min = 60 s, 1 h = 60 min, 1 d = 24 h
Geld	ct (Cent), Euro	1 Euro = 100 ct

Bei Länge, Masse und Geld sind die Umrechnungszahlen 10, 100 oder 1 000. Bei der Zeit sind es 60 und 24. Das ist ein großer Unterschied.

Beispiel

Länge und Masse umwandeln

Wandle um: a) 3,5 km in m, b) 4 200 g in kg, c) 7 cm in mm, d) 250 cm in m.

\begin{aligned} \text{a)}\; & 3{,}5 \text{ km} = 3{,}5 \cdot 1\,000 \text{ m} = 3\,500 \text{ m} \\ \text{b)}\; & 4\,200 \text{ g} = 4\,200 : 1\,000 \text{ kg} = 4{,}2 \text{ kg} \\ \text{c)}\; & 7 \text{ cm} = 7 \cdot 10 \text{ mm} = 70 \text{ mm} \\ \text{d)}\; & 250 \text{ cm} = 250 : 100 \text{ m} = 2{,}5 \text{ m} \end{aligned}

Beispiel

Zeit und Geld umwandeln

Wandle um: a) 2,5 h in Minuten, b) 135 min in Stunden und Minuten, c) 3,40 Euro in Cent, d) 1 250 ct in Euro.

\begin{aligned} \text{a)}\; & 2{,}5 \text{ h} = 2 \text{ h} + 30 \text{ min} = 120 \text{ min} + 30 \text{ min} = 150 \text{ min} \\ \text{b)}\; & 135 \text{ min} = 120 \text{ min} + 15 \text{ min} = 2 \text{ h } 15 \text{ min} \\ \text{c)}\; & 3{,}40 \text{ Euro} = 3{,}40 \cdot 100 \text{ ct} = 340 \text{ ct} \\ \text{d)}\; & 1\,250 \text{ ct} = 1\,250 : 100 \text{ Euro} = 12{,}50 \text{ Euro} \end{aligned}

Definition

Schätzen mit Repräsentanten

Größe	Repräsentant	ungefähr
Länge	Breite deines Daumens	2 cm
Länge	ein Schritt von dir	60 cm
Länge	Höhe einer Zimmertür	2 m
Länge	Höhe eines Stockwerks	3 m
Masse	Büroklammer	1 g
Masse	Tafel Schokolade	100 g
Masse	Paket Zucker	1 kg
Zeit	Herzschlag in Ruhe	1 s
Zeit	Schulstunde	45 min

Beispiel

Mit Repräsentanten schätzen

Schätze: a) die Höhe eines Hauses mit 4 Stockwerken, b) die Länge von 1 000 Schritten, c) die Masse von 12 Tafeln Schokolade.

\begin{aligned} \text{a)}\; & 4 \cdot 3 \text{ m} = 12 \text{ m} \\ \text{b)}\; & 1\,000 \cdot 60 \text{ cm} = 60\,000 \text{ cm} = 600 \text{ m} \\ \text{c)}\; & 12 \cdot 100 \text{ g} = 1\,200 \text{ g} = 1{,}2 \text{ kg} \end{aligned}

Definition

Rechnen mit Größen

Beim Rechnen mit Größen gelten diese Regeln:

Addieren und Subtrahieren kannst du nur Größen mit derselben Einheit. Wandle vorher um. Die Einheit steht auch im Ergebnis.
Größe mal Zahl ergibt eine Größe: $5 \cdot 2$ kg $= 10$ kg.
Größe geteilt durch Zahl ergibt eine Größe: 12 m : 4 = 3 m.
Zwei Größen mit derselben Einheit durch einander geteilt ergeben eine Zahl: 12 m : 4 m = 3. Das sagt dir, wie oft 4 m in 12 m hineinpasst.

Beispiel

Mit Größen rechnen

\begin{aligned} \text{a)}\; & 1\,500 \text{ g} + 750 \text{ g} + 2\,250 \text{ g} = 4\,500 \text{ g} = 4{,}5 \text{ kg} \\ \text{b)}\; & 5 \cdot 45 \text{ ct} = 225 \text{ ct} = 2{,}25 \text{ Euro} \\ \text{c)}\; & 300 \text{ cm} : 40 \text{ cm} = 7 \text{ Rest } 20 \text{ cm} \\ \text{d)}\; & 15 \text{ min} + 1 \text{ h} + 20 \text{ min} = 1 \text{ h } 35 \text{ min} \end{aligned}

Häufige Fehler

Verschiedene Einheiten zusammenrechnen

Jemand rechnet $2 \text{ m} + 30 \text{ cm} = 32 \text{ m}$ .

Du darfst nur Größen mit derselben Einheit addieren. Wandle zuerst um: $200 \text{ cm} + 30 \text{ cm} = 230 \text{ cm}$ . Das sind 2,30 m.

Häufige Fehler

Zeit wie Dezimalzahlen behandeln

Jemand sagt: „2,5 h sind 2 h 50 min.“

Eine Stunde hat 60 min und nicht 100 min. Die Nachkommastelle 0,5 ist die Hälfte einer Stunde, das sind 30 min. Richtig ist: 2,5 h sind 2 h 30 min.

Häufige Fehler

In die falsche Richtung umrechnen

Jemand rechnet $4{,}2 \text{ kg} = 4{,}2 : 1\,000 \text{ g} = 0{,}0042 \text{ g}$ .

Das Gramm ist die kleinere Einheit. Dann muss die Maßzahl größer werden. Richtig ist $4{,}2 \cdot 1\,000 = 4\,200$ , also 4 200 g. Frage dich immer: Muss die Zahl größer oder kleiner werden?

Zusammenfassung

Messen heißt, mit einer Einheit zu vergleichen. Eine Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit.
Vorsilben zeigen, wie groß eine Einheit ist: milli für ein Tausendstel, zenti für ein Hundertstel, dezi für ein Zehntel, kilo für das Tausendfache und mega für das Millionenfache.
Beim Umwandeln mit 10, 100 und 1 000 verschiebst du das Komma. Kleinere Einheit heißt größere Maßzahl.
Bei der Zeit gilt: 1 h sind 60 min, 1 min sind 60 s, 1 d sind 24 h. Bei Geld sind 1 Euro 100 ct.
Beim Schätzen vergleichst du mit Repräsentanten, die du kennst: Daumenbreite 2 cm, Tafel Schokolade 100 g, Zimmertür 2 m. Prüfe, ob das Ergebnis zum Alltag passt.
Beim Addieren und Subtrahieren von Größen brauchst du dieselbe Einheit. Eine Größe mal oder durch eine Zahl bleibt eine Größe.