Du kennst die Funktionsgleichung $f(x) = mx + n$. Für den Graphen schreibt man auch $y = mx + n$. Das ist die Geradengleichung. Eine Gerade ist durch ihre Steigung $m$ und einen Punkt festgelegt.

Beispiel: Die Gerade hat die Steigung $m = 2$ und geht durch $P(3 \mid 7)$. Du weißt also $y = 2x + n$. Der Punkt liegt auf der Geraden, seine Koordinaten passen in die Gleichung: $7 = 2 \cdot 3 + n$. Das ergibt $n = 1$ und $y = 2x + 1$.

Allgemein setzt du für einen Punkt $P(x_P \mid y_P)$ die Koordinaten in $y = mx + n$ ein und löst nach $n$ auf. Die kleinen Buchstaben unten zeigen, zu welchem Punkt der Wert gehört.

Sind zwei Punkte $P_1(x_1 \mid y_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2)$ gegeben, bestimmst du zuerst die Steigung aus dem Steigungsdreieck zwischen ihnen. Beim Verleih A sind es $P_1(2 \mid 4)$ und $P_2(6 \mid 8)$. Von $P_1$ nach $P_2$ geht es $6 - 2 = 4$ nach rechts und $8 - 4 = 4$ nach oben. Die Steigung ist $m = \frac{4}{4} = 1$. Mit $P_1$ folgt $4 = 1 \cdot 2 + n$, also $n = 2$. Die Gleichung ist $y = x + 2$: 2 Euro Grundgebühr und 1 Euro je Stunde. Für 5 Stunden zahlst du $5 + 2 = 7$ Euro.

Allgemein ist die Steigung der Unterschied der $y$-Werte geteilt durch den Unterschied der $x$-Werte. Beide Unterschiede bildest du in derselben Reihenfolge. Die $x$-Werte dürfen nicht gleich sein, sonst verläuft die Gerade senkrecht und ist kein Funktionsgraph.

Die Gerade $y = m_1 x + n_1$ hat die Steigung $m_1$, die Gerade $y = m_2 x + n_2$ die Steigung $m_2$. Dann gibt es drei Möglichkeiten:

• Ist $m_1 \neq m_2$, schneiden sich die Geraden in genau einem Punkt, dem Schnittpunkt.
• Ist $m_1 = m_2$ und $n_1 \neq n_2$, sind die Geraden parallel. Sie haben keinen gemeinsamen Punkt.
• Ist $m_1 = m_2$ und $n_1 = n_2$, sind die Geraden identisch. Es ist dieselbe Gerade.

Stehen sich schneidende Geraden senkrecht aufeinander, nennt man sie orthogonal.

Wie hängen die Steigungen zusammen, wenn zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen? Nimm eine Gerade mit $m_1 = \frac{2}{3}$. Ihr Steigungsdreieck geht 3 nach rechts und 2 nach oben. Drehst du es um eine Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn, geht es 2 nach links und 3 nach oben. Das ist eine Gerade, die senkrecht zur ersten steht. Ihre Steigung ist $m_2 = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}$. Das Produkt ist $\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -1$.

Bei jeder Steigung $\frac{b}{a}$ passiert dasselbe: Aus „$a$ nach rechts, $b$ nach oben“ wird „$b$ nach links, $a$ nach oben“. Die neue Steigung ist $-\frac{a}{b}$. Zwei Geraden mit $m_1 \neq 0$ und $m_2 \neq 0$ sind also orthogonal, wenn das Produkt ihrer Steigungen $-1$ ist. Die zweite Steigung ist der Kehrwert der ersten mit umgekehrtem Vorzeichen.

Im Schnittpunkt haben beide Geraden denselben Punkt, also denselben $x$-Wert und denselben $y$-Wert. Dort sind die Funktionswerte gleich. Du setzt deshalb die beiden Funktionsterme gleich: $f(x) = g(x)$. Die Lösung dieser Gleichung ist die $x$-Koordinate des Schnittpunkts. Die $y$-Koordinate bekommst du, indem du $x$ in $f$ oder in $g$ einsetzt.

Die Gleichung zeigt auch die Lage. Hat sie keine Lösung, wie $2x + 1 = 2x - 3$ mit der falschen Aussage $1 = -3$, sind die Geraden parallel. Ist sie immer wahr, sind die Geraden identisch.