Lektion 5.5

Quadratwurzeln und Kubikwurzeln

16 min Lesezeit

Ein quadratisches Beet hat eine Fläche von 49 Quadratmetern. Wie lang ist eine Seite? Du kennst die Rechnung andersherum: Seite mal Seite ergibt die Fläche. Hier ist die Fläche bekannt und die Seite gesucht. Du suchst eine Zahl, die mit sich selbst malgenommen 49 ergibt. Das ist 7.

Ein würfelförmiger Behälter fasst 27 Liter. Wie lang ist eine Kante? 27 Liter sind 27 Kubikdezimeter. Gesucht ist eine Zahl, die dreimal mit sich selbst malgenommen 27 ergibt. Das ist 3 Dezimeter.

Schwieriger wird es bei einem quadratischen Beet mit 20 Quadratmetern. Eine Seite ist länger als 4 Meter und kürzer als 5 Meter, aber keine ganze Zahl passt genau. In dieser Lektion lernst du, solche Aufgaben zu lösen und die Zahlen aufzuschreiben.

Definition

Quadratwurzel und Radikand

Quadrieren heißt, eine Zahl mit sich selbst zu multiplizieren: $7^2 = 49$ . Das Wurzelziehen ist die Umkehrung. Die Quadratwurzel aus 49 ist die nicht negative Zahl, deren Quadrat 49 ist. Du schreibst $\sqrt{49} = 7$ und sprichst „Wurzel aus 49“. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand. Hier ist der Radikand 49.

Auch $-7$ hat das Quadrat 49, denn $(-7)^2 = 49$ . Trotzdem ist $\sqrt{49} = 7$ , denn das Wurzelzeichen steht nur für das nicht negative Ergebnis. Jedes Quadrat ist größer oder gleich 0. Deshalb muss der Radikand größer oder gleich 0 sein. $\sqrt{-4}$ gibt es in den Zahlen, die du kennst, nicht. Für $a \geq 0$ heben sich Quadrieren und Wurzelziehen auf: $\sqrt{a^2} = a$ und $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$ .

Die Quadratzahlen von $1^2$ bis $15^2$ sind 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196 und 225. Wenn du sie kennst, kannst du viele Wurzeln im Kopf ziehen.

\sqrt{49} = 7 \quad \text{denn} \quad 7^2 = 49

Definition

Kubikwurzel

Auch das Hochnehmen mit 3 lässt sich umkehren. Die Kubikwurzel aus 27 ist die Zahl, deren dritte Potenz 27 ist. Du schreibst $\sqrt[3]{27} = 3$ , denn $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ . Die kleine 3 vor dem Wurzelzeichen zeigt, welche Wurzel gemeint ist. Bei der Quadratwurzel lässt man die 2 weg. Die Zahl unter dem Zeichen heißt wieder Radikand.

Anders als bei der Quadratwurzel darf der Radikand negativ sein, denn eine negative Zahl hoch 3 bleibt negativ: $(-2)^3 = -8$ , also $\sqrt[3]{-8} = -2$ . Wichtige Kubikzahlen sind 1, 8, 27, 64, 125, 216 und 1000.

\sqrt[3]{27} = 3 \quad \text{denn} \quad 3^3 = 27

Beispiel

Wurzeln bestimmen

Berechne a) $\sqrt{144}$ , b) $\sqrt{0{,}36}$ , c) $\sqrt{\frac{4}{25}}$ , d) $\sqrt[3]{125}$ und e) $\sqrt[3]{-27}$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; \sqrt{144} &= 12 && \text{denn } 12^2 = 144 \\ \text{b)}\; \sqrt{0{,}36} &= 0{,}6 && \text{denn } 0{,}6^2 = 0{,}36 \\ \text{c)}\; \sqrt{\tfrac{4}{25}} &= \tfrac{2}{5} && \text{denn } \left(\tfrac{2}{5}\right)^2 = \tfrac{4}{25} \\ \text{d)}\; \sqrt[3]{125} &= 5 && \text{denn } 5^3 = 125 \\ \text{e)}\; \sqrt[3]{-27} &= -3 && \text{denn } (-3)^3 = -27 \end{aligned}

Du fragst jedes Mal: Welche Zahl hat dieses Quadrat oder diese dritte Potenz? Bei b) achte auf das Komma: $0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}36$ . Bei c) ziehst du die Wurzel aus Zähler und Nenner einzeln: $\sqrt{4} = 2$ und $\sqrt{25} = 5$ . Bei e) ist das Ergebnis negativ, weil der Radikand negativ ist und eine negative Zahl hoch 3 negativ bleibt. Die Probe machst du immer mit dem Quadrat oder der dritten Potenz.

Definition

Abschätzen

Die meisten Zahlen sind keine Quadratzahlen. Dann schätzt du die Wurzel ab. Suche die beiden Quadratzahlen, zwischen denen der Radikand liegt. Die Wurzel liegt zwischen deren Wurzeln. Bei $\sqrt{20}$ ist $16 < 20 < 25$ , also liegt $\sqrt{20}$ zwischen 4 und 5. Durch Probieren engst du weiter ein: $4{,}4^2 = 19{,}36$ ist zu klein, $4{,}5^2 = 20{,}25$ ist zu groß. Also liegt $\sqrt{20}$ zwischen 4,4 und 4,5. Bei Kubikwurzeln machst du es genauso mit den Kubikzahlen.

16 < 20 < 25 \;\Rightarrow\; 4 < \sqrt{20} < 5

Beispiel

Wurzeln abschätzen

Zwischen welchen Zahlen liegen a) $\sqrt{40}$ und b) $\sqrt[3]{30}$ ? Gib jeweils einen gerundeten Wert mit einer Nachkommastelle an.

\begin{aligned} \text{a)}\; 36 < 40 < 49 &\;\Rightarrow\; 6 < \sqrt{40} < 7 \\ 6{,}3^2 = 39{,}69 < 40 < 40{,}96 = 6{,}4^2 &\;\Rightarrow\; 6{,}3 < \sqrt{40} < 6{,}4 \\ \text{b)}\; 27 < 30 < 64 &\;\Rightarrow\; 3 < \sqrt[3]{30} < 4 \end{aligned}

In a) liegt 40 näher an 39,69 als an 40,96. Deshalb ist $\sqrt{40}$ etwa 6,3. In b) liegt $\sqrt[3]{30}$ zwischen 3 und 4. Beim Probieren ist $3{,}1^3 = 29{,}791$ knapp unter 30 und $3{,}2^3 = 32{,}768$ schon zu groß. Also ist $\sqrt[3]{30}$ etwa 3,1.

Definition

Näherungswert

Gibst du $\sqrt{20}$ in den Taschenrechner ein, zeigt er etwa 4,4721. Die Zahl hört nie auf, du kannst sie nur runden. Das gilt für viele Wurzeln, zum Beispiel für $\sqrt{2}$ und $\sqrt{20}$ . Ein gerundeter Wert heißt Näherungswert. Dafür schreibst du das Zeichen $\approx$ , gesprochen „ungefähr gleich“. Es ist $\sqrt{20} \approx 4{,}47$ .

Mit einem Näherungswert stimmt die Probe nicht ganz: $4{,}47^2 = 19{,}9809$ , nicht 20. Willst du genau bleiben, lässt du $\sqrt{20}$ einfach stehen. Du rundest erst am Schluss der Rechnung.

\sqrt{20} \approx 4{,}47

Definition

Vereinfachen von Wurzeln

Ist der Radikand ein Produkt oder ein Quotient, kannst du die Wurzel zerlegen. Beispiel: $\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$ und $\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$ . Beide Wege führen zum selben Ergebnis. Das ist kein Zufall. Die Regeln unten gelten für $a \geq 0$ und $b \geq 0$ , beim Quotienten für $b > 0$ .

Damit ziehst du teilweise die Wurzel. Du zerlegst den Radikanden in eine Quadratzahl und einen Rest, am besten in die größte Quadratzahl, die passt. Es ist $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ . Das Malzeichen lässt man weg: $6\sqrt{2}$ bedeutet $6 \cdot \sqrt{2}$ . Bei Summen gilt die Regel nicht.

\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

Beispiel

Wurzeln vereinfachen

Vereinfache a) $\sqrt{50}$ , b) $\sqrt{45}$ , c) $\sqrt[3]{54}$ und d) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; \sqrt{50} &= \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \\ \text{b)}\; \sqrt{45} &= \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} \\ \text{c)}\; \sqrt[3]{54} &= \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2} \\ \text{d)}\; \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} &= \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4 \end{aligned}

In a) bis c) suchst du die größte Quadratzahl (bei c) die größte Kubikzahl), die im Radikanden steckt: 25 in 50, 9 in 45 und 27 in 54. Ihre Wurzel ziehst du heraus. Der Rest bleibt unter der Wurzel. In d) nutzt du die Regel rückwärts. Du fasst beide Wurzeln zu einer zusammen, und $\sqrt{16}$ ist eine glatte Zahl.

Wurzeln vom Werkzeug vereinfachen lassen

1Potenzen
Potenzen, Wurzeln und Funktionen kommen vor der Punktrechnung dran. $\sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$ .
$\displaystyle = 6 \sqrt{2}$
Wurzel
Teilweise Wurzelziehen: $72$ enthält den Faktor $36 = 6^{2}$ , aus dem sich die Wurzel ziehen lässt.
$\displaystyle \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}$

Ergebnis $\displaystyle 6 \sqrt{2}$

Drücke auf „Rechnen“ und lies den Rechenweg zur Wurzel aus 72. Die Quadratwurzel aus 50 schreibst du als sqrt(50), die Kubikwurzel aus 54 als cbrt(54). Probiere beides aus und vergleiche mit dem Beispiel.

Häufige Fehler

Wurzel aus einer Summe

Jemand rechnet $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ .

Richtig ist

Die Regeln gelten nur für Produkte und Quotienten, nicht für Summen. Du rechnest zuerst unter dem Wurzelzeichen: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .

Häufige Fehler

Die Wurzel hat nicht zwei Ergebnisse

Jemand sagt: „ $\sqrt{49}$ hat zwei Ergebnisse, 7 und $-7$ .“

Richtig ist

Das Wurzelzeichen steht nur für die nicht negative Zahl: $\sqrt{49} = 7$ . Die Frage „Welche Zahlen haben das Quadrat 49?“ hat zwei Antworten, 7 und $-7$ . Das ist eine andere Frage als die nach $\sqrt{49}$ .

Häufige Fehler

Wurzel mit Halbieren verwechseln

Jemand rechnet $\sqrt{16} = 8$ , weil die Hälfte von 16 gleich 8 ist.

Richtig ist

Die Wurzel teilt nicht durch 2. Gesucht ist die Zahl, die mit sich selbst malgenommen 16 ergibt. Das ist 4, denn $4 \cdot 4 = 16$ . Die Probe zeigt den Fehler: $8 \cdot 8 = 64$ und nicht 16.

Zusammenfassung

Quadrieren und Wurzelziehen sind Umkehrungen. $\sqrt{a}$ ist die nicht negative Zahl, deren Quadrat $a$ ist. Der Radikand muss größer oder gleich 0 sein.
Die Kubikwurzel $\sqrt[3]{a}$ ist die Zahl, deren dritte Potenz $a$ ist. Hier darf der Radikand auch negativ sein.
Kennst du die Quadratzahlen bis $15^2$ und die ersten Kubikzahlen, ziehst du viele Wurzeln im Kopf.
Eine Wurzel schätzt du ab, indem du die beiden Quadratzahlen (oder Kubikzahlen) suchst, zwischen denen der Radikand liegt. Mit Probieren engst du sie weiter ein.
Ein Näherungswert ist ein gerundeter Wert. Du schreibst ihn mit $\approx$ . Wer genau bleiben will, lässt die Wurzel stehen und rundet erst am Schluss.
Es gilt $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ und $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ . Damit ziehst du teilweise die Wurzel. Für Summen gilt das nicht.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Berechne $\sqrt{169}$ .

Aufgabe 2Numerisch

Ein Würfel hat ein Volumen von 343 Kubikzentimetern. Wie lang ist eine Kante in Zentimetern?

Aufgabe 3Multiple Choice

Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt $\sqrt{90}$ ?

Aufgabe 4Numerisch

Es gilt $\sqrt{48} = a \cdot \sqrt{3}$ . Wie groß ist $a$ ?

Aufgabe 5Multiple Choice

Welche Gleichung ist richtig?

Aufgabe 6Freitext

Schätze $\sqrt{70}$ ab. Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt die Wurzel? Gib dann einen Näherungswert mit einer Nachkommastelle an und begründe ihn.