Lektion 5.1

Funktionsbegriff

15 min Lesezeit

In deiner Klasse hat jedes Kind genau einen Geburtstag. Ordnest du jedem Kind seinen Geburtstag zu, gehört zu jedem Kind genau ein Datum. Drehst du die Zuordnung um und fragst „Welches Kind hat am 12. März Geburtstag?“, wird es unklar. Vielleicht haben an diesem Tag zwei Kinder Geburtstag, vielleicht keines.

Zuordnungen kennst du aus Klasse 5-6: Anzahl der Hefte → Preis, Zeit → Strecke. Manche sind eindeutig wie Kind → Geburtstag, andere sind es nicht. Eindeutige Zuordnungen sind in der Mathematik besonders wichtig, denn mit ihnen kannst du rechnen und Graphen zeichnen. Man nennt sie Funktionen.

In dieser Lektion lernst du, was eine Funktion ausmacht, wie du sie kurz aufschreibst und wie du zwischen Tabelle, Gleichung und Graph wechselst.

Definition

Funktion

Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der jedem erlaubten Wert $x$ genau ein Wert $y$ zugeordnet wird. Das nennt man eindeutig. Der Wert $y$ heißt Funktionswert.

Die Zuordnung Seitenlänge eines Quadrats → Umfang ist eine Funktion. Zur Seitenlänge 3 cm gehört nur der Umfang 12 cm. Die Zuordnung „Zahl → Zahl, deren Quadrat die erste Zahl ist“ ist dagegen keine Funktion. Zur 9 passen 3 und $-3$ , denn $3^2 = 9$ und $(-3)^2 = 9$ . Zu einem $x$ gehören hier zwei verschiedene $y$ .

Umgekehrt ist es erlaubt, dass zu zwei verschiedenen $x$ derselbe Wert $y$ gehört. Nur ein $x$ mit zwei verschiedenen $y$ ist verboten.

Definition

Funktionsterm und die Schreibweise f(x)

Meist gibt es eine Rechenvorschrift. Beim Umfang eines Quadrats mit der Seitenlänge $x$ ist es $4 \cdot x$ . Eine Funktion bekommt einen Namen, oft $f$ , danach $g$ und $h$ . Statt $y$ schreibst du $f(x)$ und sprichst „f von x“. Der Term $4x$ heißt Funktionsterm, die Gleichung $f(x) = 4x$ heißt Funktionsgleichung.

Die Klammer bedeutet hier nicht „mal“. $f(x)$ heißt: der Funktionswert von $f$ an der Stelle $x$ . Für die Stelle 3 schreibst du $f(3)$ , setzt 3 für $x$ ein und rechnest aus. Das Wertepaar ist $(3 \mid 12)$ .

f(x) = 4x \qquad f(3) = 4 \cdot 3 = 12

Beispiel

Funktionswerte berechnen und eine Stelle suchen

Gegeben ist $f(x) = 3x - 5$ . a) Berechne $f(4)$ , $f(0)$ und $f(-2)$ . b) Für welche Stelle $x$ ist $f(x) = 10$ ?

\begin{aligned} \text{a)}\; f(4) &= 3 \cdot 4 - 5 = 7 \\ f(0) &= 3 \cdot 0 - 5 = -5 \\ f(-2) &= 3 \cdot (-2) - 5 = -11 \\[0.6em] \text{b)}\; 3x - 5 &= 10 && \mid +5 \\ 3x &= 15 && \mid : 3 \\ x &= 5 \end{aligned}

In a) setzt du die Zahl für $x$ ein und rechnest aus, mit Punkt vor Strich. Bei $-2$ setzt du Klammern, damit das Vorzeichen nicht verloren geht. In b) ist der Funktionswert bekannt und die Stelle gesucht. Du setzt $f(x) = 10$ und löst die Gleichung wie in der Lektion zu linearen Gleichungen. Probe: $f(5) = 3 \cdot 5 - 5 = 10$ .

Definition

Definitionsmenge und Wertemenge

Nicht jede Zahl ist als $x$ erlaubt. Die Menge aller erlaubten Werte für $x$ heißt Definitionsmenge $D$ . Die Menge aller Funktionswerte, die tatsächlich herauskommen, heißt Wertemenge $W$ .

Die Definitionsmenge kann von der Sache abhängen. Eine Eintrittskarte kostet 4 Euro, du kaufst höchstens 5 Karten. Dann ist $f(x) = 4x$ mit $D = \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$ und $W = \{0; 4; 8; 12; 16; 20\}$ .

Sie kann auch von der Rechnung abhängen. Durch 0 darf man nicht teilen. Bei $g(x) = \frac{12}{x}$ ist $x = 0$ verboten. Die Definitionsmenge ist $\mathbb{Q} \setminus \{0\}$ , gelesen „Q ohne 0“. Steht nichts dabei, nimmst du alle rationalen Zahlen, für die sich der Term ausrechnen lässt.

Beispiel

Definitionsmenge und Wertemenge bestimmen

a) $f(x) = x^2$ mit $D = \{-2; -1; 0; 1; 2\}$ . Bestimme $W$ . b) $g(x) = \frac{5}{x - 2}$ . Welche Zahl ist nicht erlaubt?

\begin{aligned} \text{a)}\; & f(-2) = 4,\; f(-1) = 1,\; f(0) = 0,\; f(1) = 1,\; f(2) = 4 \;\Rightarrow\; W = \{0; 1; 4\} \\ \text{b)}\; & x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \;\Rightarrow\; D = \mathbb{Q} \setminus \{2\} \end{aligned}

In a) rechnest du alle fünf Funktionswerte aus. Die Zahlen 4 und 1 kommen je zweimal vor. Das ist erlaubt, denn jedes $x$ hat trotzdem nur einen Funktionswert. In der Wertemenge steht jede Zahl nur einmal. In b) steht $x - 2$ im Nenner. Es wird 0, wenn $x = 2$ ist. Für $x = 2$ gäbe es keinen Funktionswert, alle anderen Zahlen sind erlaubt.

Definition

Graph einer Funktion

Der Graph einer Funktion besteht aus allen Punkten $P(x \mid f(x))$ . Du zeichnest ihn so: Rechne eine Wertetabelle aus, trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie, wenn Zwischenwerte sinnvoll sind.

Ein Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sein $y$ -Wert gleich dem Funktionswert an seiner $x$ -Stelle ist. Das prüfst du mit der Punktprobe: Setze die $x$ -Koordinate in den Term ein und vergleiche mit der $y$ -Koordinate.

Weil zu jedem $x$ nur ein Wert gehört, liegt über jeder Stelle höchstens ein Punkt des Graphen. Eine Kreislinie ist deshalb kein Funktionsgraph: Über den meisten Stellen liegen zwei Punkte.

Beispiel

Wertetabelle, Graph und Punktprobe

Stelle für $f(x) = x^2 - 2$ eine Wertetabelle für $x$ von $-3$ bis $3$ auf. Liegen $P(3 \mid 7)$ und $Q(2 \mid 1)$ auf dem Graphen?

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	7	2	$-1$	$-2$	$-1$	2	7

\begin{aligned} f(3) &= 3^2 - 2 = 7 \;\Rightarrow\; P \text{ liegt auf dem Graphen} \\ f(2) &= 2^2 - 2 = 2 \neq 1 \;\Rightarrow\; Q \text{ liegt nicht auf dem Graphen} \end{aligned}

Du setzt jede Zahl für $x$ ein, zum Beispiel $f(-3) = (-3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$ . Die Punkte liegen auf einer gebogenen Kurve. Links und rechts von der $y$ -Achse sieht sie gleich aus, denn $f(-x)$ und $f(x)$ haben denselben Wert. Bei $P$ passt der Funktionswert. Bei $Q$ ist $f(2) = 2$ , aber die $y$ -Koordinate ist 1. Also liegt $Q$ nicht auf dem Graphen.

Der Graph von f(x) = x² − 2

Mit der Maus über den Graphen fahren, um Werte abzulesen.

Fahre mit der Maus über den Graphen und lies bei x = 3 den Wert ab. Du erwartest 7, so wie in der Tabelle. Lies dann x = 2 und x = −2 ab und vergleiche. Mit + und − änderst du den Ausschnitt, mit „Zurücksetzen“ kommst du zurück.

Definition

Darstellungen einer Funktion und der Wechsel

Eine Funktion kannst du auf vier Arten zeigen: als Wortvorschrift, als Wertetabelle, als Funktionsgleichung und als Graph. Du wechselst so:

Wort → Gleichung: Übersetze jeden Satzteil in einen Rechenschritt.
Gleichung → Tabelle: Setze Werte für $x$ ein.
Tabelle → Graph: Trage die Wertepaare als Punkte ein.
Tabelle → Gleichung: Suche das Muster. Wie ändert sich $y$ , wenn $x$ um 1 wächst?
Graph → Tabelle: Lies die Koordinaten von Punkten ab.

Beispiel

Von Worten zur Gleichung und von der Tabelle zum Term

a) Ein Verleih nimmt 4 Euro Grundgebühr und 3 Euro je Stunde. Gib die Funktionsgleichung an und rechne die Preise für 0 bis 4 Stunden aus. b) Die Funktion $g$ hat die Wertepaare $(0 \mid 10)$ , $(1 \mid 8)$ , $(2 \mid 6)$ und $(3 \mid 4)$ . Finde den Term.

\begin{aligned} \text{a)}\; & f(x) = 4 + 3x \\ \text{b)}\; & g(x) = 10 - 2x \end{aligned}

a) Der Preis besteht aus der Grundgebühr und 3 Euro je Stunde. Die Preise für 0, 1, 2, 3 und 4 Stunden sind 4, 7, 10, 13 und 16 Euro. b) Bei $x = 0$ ist $g = 10$ . Mit jedem Schritt von $x$ um 1 sinkt $g$ um 2. Also ist $g(x) = 10 - 2x$ . Probe: $g(3) = 10 - 6 = 4$ .

Häufige Fehler

Zwei gleiche Funktionswerte sind verboten

Jemand sagt: „ $f(x) = x^2$ ist keine Funktion, denn $f(2) = 4$ und $f(-2) = 4$ haben denselben Wert.“

Richtig ist

Verboten ist nur, dass zu einem $x$ zwei verschiedene $y$ gehören. Hier gehört zu $x = 2$ nur die 4 und zu $x = -2$ nur die 4. Jedes $x$ hat genau einen Wert, also ist es eine Funktion.

Häufige Fehler

f(3) als Produkt lesen

Jemand liest $f(3)$ als „ $f$ mal 3“ und rechnet bei $f(x) = 2x + 1$ mit $f \cdot 3$ .

Richtig ist

$f$ ist ein Name und keine Zahl. $f(3)$ bedeutet: Setze 3 für $x$ ein. Richtig ist $f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ .

Häufige Fehler

Nicht erlaubte Stelle einsetzen

Jemand rechnet bei $g(x) = \frac{5}{x - 2}$ den Wert $g(2) = \frac{5}{0} = 0$ .

Richtig ist

Durch 0 kann man nicht teilen, auch nicht mit dem Ergebnis 0. Die Stelle 2 gehört nicht zur Definitionsmenge. Es gibt also keinen Wert $g(2)$ .

Zusammenfassung

Eine Funktion ordnet jedem erlaubten $x$ genau ein $y$ zu. Zwei verschiedene $x$ dürfen denselben Funktionswert haben, ein $x$ aber nicht zwei verschiedene.
Du schreibst $f(x)$ („f von x“) für den Funktionswert an der Stelle $x$ . Der Term heißt Funktionsterm, die Gleichung $f(x) = \dots$ Funktionsgleichung.
Die Definitionsmenge $D$ enthält alle erlaubten $x$ , die Wertemenge $W$ alle Funktionswerte, die vorkommen. Durch 0 darf man nicht teilen.
Der Graph besteht aus allen Punkten $(x \mid f(x))$ . Mit der Punktprobe prüfst du, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt.
Über jeder Stelle liegt höchstens ein Punkt des Graphen. Eine Kreislinie ist kein Funktionsgraph.
Wortvorschrift, Wertetabelle, Funktionsgleichung und Graph zeigen dieselbe Funktion. Du kannst von jeder zur anderen wechseln.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Gegeben ist $f(x) = 4 - 3x$ . Berechne $f(-2)$ .

Aufgabe 2Multiple Choice

Welche Zuordnung ist eine Funktion?

Aufgabe 3Numerisch

Für $f(x) = 5x - 7$ gilt $f(x) = 18$ . Wie groß ist $x$ ?

Aufgabe 4Numerisch

Die Funktion $f(x) = x^2$ hat die Definitionsmenge $D = \{-2; -1; 0; 1; 2\}$ . Wie viele verschiedene Funktionswerte kommen vor?

Aufgabe 5Multiple Choice

Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von $f(x) = 2x - 1$ ?

Aufgabe 6Freitext

Ein Fahrradverleih nimmt 5 Euro Grundgebühr und 2 Euro je Stunde. Gib die Funktionsgleichung an, nenne eine sinnvolle Definitionsmenge und berechne den Preis für 6 Stunden.

Lektion 5.1 · Lineare Funktionen, Gleichungssysteme und Wurzeln

Funktionsbegriff

In dieser Lektion lernst du, was eine Funktion ausmacht, wie du sie kurz aufschreibst und wie du zwischen Tabelle, Gleichung und Graph wechselst.

Definition

Funktion

Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der jedem erlaubten Wert $x$ genau ein Wert $y$ zugeordnet wird. Das nennt man eindeutig. Der Wert $y$ heißt Funktionswert.

Umgekehrt ist es erlaubt, dass zu zwei verschiedenen $x$ derselbe Wert $y$ gehört. Nur ein $x$ mit zwei verschiedenen $y$ ist verboten.

Definition

Funktionsterm und die Schreibweise f(x)

f(x) = 4x \qquad f(3) = 4 \cdot 3 = 12

Beispiel

Funktionswerte berechnen und eine Stelle suchen

Gegeben ist $f(x) = 3x - 5$ . a) Berechne $f(4)$ , $f(0)$ und $f(-2)$ . b) Für welche Stelle $x$ ist $f(x) = 10$ ?

\begin{aligned} \text{a)}\; f(4) &= 3 \cdot 4 - 5 = 7 \\ f(0) &= 3 \cdot 0 - 5 = -5 \\ f(-2) &= 3 \cdot (-2) - 5 = -11 \\[0.6em] \text{b)}\; 3x - 5 &= 10 && \mid +5 \\ 3x &= 15 && \mid : 3 \\ x &= 5 \end{aligned}

Definition

Definitionsmenge und Wertemenge

Beispiel

Definitionsmenge und Wertemenge bestimmen

a) $f(x) = x^2$ mit $D = \{-2; -1; 0; 1; 2\}$ . Bestimme $W$ . b) $g(x) = \frac{5}{x - 2}$ . Welche Zahl ist nicht erlaubt?

\begin{aligned} \text{a)}\; & f(-2) = 4,\; f(-1) = 1,\; f(0) = 0,\; f(1) = 1,\; f(2) = 4 \;\Rightarrow\; W = \{0; 1; 4\} \\ \text{b)}\; & x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \;\Rightarrow\; D = \mathbb{Q} \setminus \{2\} \end{aligned}

Definition

Graph einer Funktion

Weil zu jedem $x$ nur ein Wert gehört, liegt über jeder Stelle höchstens ein Punkt des Graphen. Eine Kreislinie ist deshalb kein Funktionsgraph: Über den meisten Stellen liegen zwei Punkte.

Beispiel

Wertetabelle, Graph und Punktprobe

Stelle für $f(x) = x^2 - 2$ eine Wertetabelle für $x$ von $-3$ bis $3$ auf. Liegen $P(3 \mid 7)$ und $Q(2 \mid 1)$ auf dem Graphen?

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	7	2	$-1$	$-2$	$-1$	2	7

\begin{aligned} f(3) &= 3^2 - 2 = 7 \;\Rightarrow\; P \text{ liegt auf dem Graphen} \\ f(2) &= 2^2 - 2 = 2 \neq 1 \;\Rightarrow\; Q \text{ liegt nicht auf dem Graphen} \end{aligned}

Definition

Darstellungen einer Funktion und der Wechsel

Eine Funktion kannst du auf vier Arten zeigen: als Wortvorschrift, als Wertetabelle, als Funktionsgleichung und als Graph. Du wechselst so:

Wort → Gleichung: Übersetze jeden Satzteil in einen Rechenschritt.
Gleichung → Tabelle: Setze Werte für $x$ ein.
Tabelle → Graph: Trage die Wertepaare als Punkte ein.
Tabelle → Gleichung: Suche das Muster. Wie ändert sich $y$ , wenn $x$ um 1 wächst?
Graph → Tabelle: Lies die Koordinaten von Punkten ab.

Beispiel

Von Worten zur Gleichung und von der Tabelle zum Term

\begin{aligned} \text{a)}\; & f(x) = 4 + 3x \\ \text{b)}\; & g(x) = 10 - 2x \end{aligned}

Häufige Fehler

Zwei gleiche Funktionswerte sind verboten

Jemand sagt: „ $f(x) = x^2$ ist keine Funktion, denn $f(2) = 4$ und $f(-2) = 4$ haben denselben Wert.“

Verboten ist nur, dass zu einem $x$ zwei verschiedene $y$ gehören. Hier gehört zu $x = 2$ nur die 4 und zu $x = -2$ nur die 4. Jedes $x$ hat genau einen Wert, also ist es eine Funktion.

Häufige Fehler

f(3) als Produkt lesen

Jemand liest $f(3)$ als „ $f$ mal 3“ und rechnet bei $f(x) = 2x + 1$ mit $f \cdot 3$ .

$f$ ist ein Name und keine Zahl. $f(3)$ bedeutet: Setze 3 für $x$ ein. Richtig ist $f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ .

Häufige Fehler

Nicht erlaubte Stelle einsetzen

Jemand rechnet bei $g(x) = \frac{5}{x - 2}$ den Wert $g(2) = \frac{5}{0} = 0$ .

Durch 0 kann man nicht teilen, auch nicht mit dem Ergebnis 0. Die Stelle 2 gehört nicht zur Definitionsmenge. Es gibt also keinen Wert $g(2)$ .

Zusammenfassung

Eine Funktion ordnet jedem erlaubten $x$ genau ein $y$ zu. Zwei verschiedene $x$ dürfen denselben Funktionswert haben, ein $x$ aber nicht zwei verschiedene.
Du schreibst $f(x)$ („f von x“) für den Funktionswert an der Stelle $x$ . Der Term heißt Funktionsterm, die Gleichung $f(x) = \dots$ Funktionsgleichung.
Die Definitionsmenge $D$ enthält alle erlaubten $x$ , die Wertemenge $W$ alle Funktionswerte, die vorkommen. Durch 0 darf man nicht teilen.
Der Graph besteht aus allen Punkten $(x \mid f(x))$ . Mit der Punktprobe prüfst du, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt.
Über jeder Stelle liegt höchstens ein Punkt des Graphen. Eine Kreislinie ist kein Funktionsgraph.
Wortvorschrift, Wertetabelle, Funktionsgleichung und Graph zeigen dieselbe Funktion. Du kannst von jeder zur anderen wechseln.