Sei $x$ der Preis einer Erwachsenenkarte und $y$ der Preis einer Kinderkarte, jeweils in Euro. Die beiden Käufe ergeben zwei Gleichungen. Zusammen bilden sie ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen. „Linear“ heißt: $x$ und $y$ kommen nur in der ersten Potenz vor und werden nicht miteinander multipliziert. Die Gleichungen nummerierst du mit I und II.

Eine Lösung des Systems ist ein Zahlenpaar $(x \mid y)$, das beide Gleichungen wahr macht. Das Paar $(11 \mid 4)$ passt zu I, denn $2 \cdot 11 + 4 = 26$. Zu II passt es nicht, denn $11 + 3 \cdot 4 = 23$. Das Paar $(10 \mid 6)$ macht beide Gleichungen wahr. Die Lösungsmenge ist $L = \{(10 \mid 6)\}$. Die Probe prüft immer beide Gleichungen.

Jede Gleichung mit zwei Variablen kannst du nach $y$ auflösen. Aus $2x + y = 26$ wird $y = -2x + 26$. Das ist eine Geradengleichung, und alle Lösungspaare dieser Gleichung liegen auf der Geraden. Bei einem System zeichnest du beide Geraden. Ein Paar, das beide Gleichungen erfüllt, liegt auf beiden Geraden. Das ist der Schnittpunkt, und seine Koordinaten sind die Lösung. Beim Ablesen bleibt eine kleine Ungenauigkeit, deshalb machst du immer die Probe.

Zeichnen ist ungenau, Rechnen ist genau. Beim Einsetzungsverfahren gehst du so vor:

• Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf. Am besten wählst du eine, bei der das leicht geht.
• Setze den Term in die andere Gleichung ein. Dort bleibt nur eine Variable.
• Löse diese Gleichung.
• Setze das Ergebnis in die umgestellte Gleichung ein und berechne die zweite Variable.
• Mache die Probe in beiden Gleichungen.

Sind beide Gleichungen schon nach derselben Variablen aufgelöst, setzt du die rechten Seiten gleich. Das ist das Gleichsetzungsverfahren. Es ist ein Sonderfall des Einsetzens und dasselbe Vorgehen wie beim Schnittpunkt zweier Geraden. Sind die Gleichungen noch nicht aufgelöst, stellst du sie zuerst beide nach derselben Variablen um.

Beim Additionsverfahren addierst du die beiden Gleichungen. Das darfst du, weil auf beiden Seiten dasselbe dazukommt. Ein Beispiel: I: $x + y = 7$ und II: $x - y = 1$. Addierst du sie, fällt $y$ weg: $2x = 8$, also $x = 4$. Dann ist $y = 3$.

Meist fällt noch nichts weg. Dann multiplizierst du eine oder beide Gleichungen vorher mit passenden Zahlen, damit eine Variable gegensätzliche Zahlen bekommt. Du multiplizierst immer beide Seiten. Haben beide Gleichungen dieselbe Zahl vor einer Variablen, kannst du auch subtrahieren.

Zwei Geraden können sich schneiden, parallel verlaufen oder zusammenfallen. Daraus ergeben sich drei Fälle:

• Genau eine Lösung: Die Geraden schneiden sich. Das ist der Normalfall.
• Keine Lösung: Die Geraden sind parallel. Beim Rechnen entsteht eine falsche Aussage wie $1 = -3$. Die Lösungsmenge ist leer, $L = \{\}$.
• Unendlich viele Lösungen: Die Geraden sind identisch. Beim Rechnen entsteht eine wahre Aussage wie $0 = 0$, oder die beiden Gleichungen sind in Wahrheit dieselbe. Jeder Punkt der Geraden ist eine Lösung.

Bei Sachaufgaben, die auf ein Gleichungssystem führen, gehst du so vor:

• Lege fest, was die beiden Variablen bedeuten.
• Stelle aus dem Text zwei Gleichungen auf.
• Löse das System mit einem Verfahren deiner Wahl. Das Einsetzen passt, wenn eine Variable allein steht oder leicht freizustellen ist. Das Addieren passt, wenn die Zahlen vor einer Variablen gleich oder gegensätzlich sind.
• Mache die Probe am Text, nicht nur an den Gleichungen, und schreibe einen Antwortsatz.