Beim Fass hängt der Wasserstand $f(x)$ in Litern von der Zeit $x$ in Minuten ab. Du startest bei 20 Litern und addierst für jede Minute 5 Liter. Die Funktionsgleichung ist $f(x) = 5x + 20$. Nach 10 Minuten sind es $f(10) = 5 \cdot 10 + 20 = 70$ Liter. Für 100 Liter löst du $5x + 20 = 100$ und bekommst $x = 16$ Minuten.

Jede Funktion der Form $f(x) = mx + n$ heißt lineare Funktion. Dabei sind $m$ und $n$ feste Zahlen. Man nennt sie Parameter. Der Graph ist eine Gerade. Beim Fass ist $m = 5$ und $n = 20$.

Zwei Sonderfälle kennst du schon. Bei $n = 0$ ist $f(x) = mx$ eine proportionale Funktion, ihr Graph ist eine Ursprungsgerade. Bei $m = 0$ ist $f(x) = n$ konstant, ihr Graph ist eine waagerechte Gerade.

Setzt du $x = 0$ ein, bleibt vom Term nur $n$ übrig: $f(0) = m \cdot 0 + n = n$. Der Punkt $(0 \mid n)$ liegt also auf dem Graphen, und zwar auf der $y$-Achse. Deshalb heißt $n$ der $y$-Achsenabschnitt. Beim Fass ist $n = 20$: Der Graph beginnt bei 20 Litern.

Beim Fass liegen die Punkte $(0 \mid 20)$, $(1 \mid 25)$ und $(2 \mid 30)$ auf dem Graphen. Von einem Punkt zum nächsten gehst du 1 nach rechts und 5 nach oben. Gehst du 2 nach rechts, geht es 10 nach oben. Das Verhältnis bleibt immer gleich, egal wo du startest. Es ist die Steigung $m$.

Du zeichnest ein Steigungsdreieck: Von einem Punkt der Geraden gehst du waagerecht nach rechts und dann senkrecht, bis du wieder auf der Geraden bist. Für „Änderung von“ schreibt man den griechischen Buchstaben $\Delta$ (Delta). $\Delta x$ ist die Strecke nach rechts, $\Delta y$ die Strecke nach oben. Geht es nach unten, ist $\Delta y$ negativ. Wächst $x$ um 1, wächst $mx$ um $m$. Deshalb ist die Steigung genau der Faktor $m$ vor $x$.

Die Steigung heißt auch Änderungsrate: Sie sagt, um wie viel sich $y$ ändert, wenn $x$ um 1 wächst. Beim Fass sind es 5 Liter pro Minute.

Eine Nullstelle ist eine Stelle $x$, an der der Funktionswert 0 ist. Am Graphen ist es der Punkt, an dem die Gerade die $x$-Achse schneidet. Du berechnest sie, indem du $f(x) = 0$ setzt. Bei $f(x) = 2x - 3$ ist das $2x - 3 = 0$, also $2x = 3$ und $x = 1{,}5$.

Allgemein ergibt $mx + n = 0$ die Nullstelle $x = -\frac{n}{m}$. Das geht nur bei $m \neq 0$. Bei $m = 0$ und $n \neq 0$ verläuft die Gerade waagerecht über oder unter der $x$-Achse und hat keine Nullstelle.

Du siehst an $m$ und $n$, wie die Gerade verläuft:

• Bei $m > 0$ steigt die Gerade von links nach rechts, bei $m < 0$ fällt sie, bei $m = 0$ verläuft sie waagerecht.
• Je größer der Betrag von $m$ ist, desto steiler ist die Gerade. Die Gerade zu $m = 3$ ist steiler als die zu $m = 1$. Die Gerade zu $m = -3$ fällt steiler als die zu $m = -1$.
• Der Parameter $n$ verschiebt die Gerade nach oben oder unten. Die Neigung ändert sich dabei nicht. Der Graph von $y = 2x + 4$ liegt überall um 4 höher als der von $y = 2x$.

Eine Funktion ist monoton steigend, wenn mit größerem $x$ auch der Funktionswert größer wird. Sie ist monoton fallend, wenn der Funktionswert mit größerem $x$ kleiner wird. Bei einer linearen Funktion entscheidet nur $m$. Bei $m > 0$ ist sie monoton steigend, bei $m < 0$ monoton fallend. Bei $m = 0$ ist sie konstant und weder steigend noch fallend. Das Fass mit $f(x) = 5x + 20$ ist monoton steigend, die Gerade $g(x) = -\frac{1}{2}x + 3$ ist monoton fallend.

Eine Größe wächst linear, wenn sie in gleich langen Schritten immer um denselben Betrag zunimmt oder abnimmt. Dieser Betrag ist die Änderungsrate $m$, der Anfangswert ist $n$. Das Fass ist ein Beispiel. Eine Abnahme ist linear, wenn $m$ negativ ist.

An einer Wertetabelle erkennst du es so: Wächst $x$ jedes Mal um 1, ändert sich $y$ jedes Mal um dieselbe Zahl. Beim Zinseszins ist das anders: Das Kapital wächst jedes Jahr um denselben Prozentsatz, also um einen anderen Betrag. Das ist kein lineares Wachstum.