Eine Zuordnung ordnet jedem Wert $x$ einer Größe einen Wert $y$ einer anderen Größe zu. Sie heißt proportional, wenn gilt: Verdoppelst, verdreifachst oder halbierst du $x$, dann verdoppelt, verdreifacht oder halbiert sich auch $y$. Die Tabelle zeigt die Brötchen:

Teilst du in jeder Spalte den Preis durch die Anzahl, kommt immer 0,60 heraus. Alle Quotienten $\frac{y}{x}$ sind gleich. Das nennt man Quotientengleichheit. Die feste Zahl heißt Proportionalitätsfaktor $k$. Hier ist $k = 0{,}60$, der Preis für ein Brötchen. Daraus folgt der Term $y = k \cdot x$. Der Graph besteht aus Punkten auf einer Geraden durch den Ursprung, einer Ursprungsgerade. Je größer $k$ ist, desto steiler verläuft sie.

Bei den Malern wird die Zeit kleiner, wenn mehr Maler arbeiten. Eine Zuordnung heißt antiproportional (auch indirekt proportional), wenn gilt: Verdoppelst du $x$, halbiert sich $y$. Verdreifachst du $x$, wird $y$ ein Drittel so groß.

Hier ist in jeder Spalte das Produkt gleich: $1 \cdot 12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = 4 \cdot 3 = 6 \cdot 2 = 12$. Das ist die Produktgleichheit. Die feste Zahl $k = 12$ heißt wieder Proportionalitätsfaktor. Sie ist die Zeit, die ein Maler allein braucht. Es gilt $x \cdot y = k$, also $y = \frac{k}{x}$.

Der Graph ist eine Hyperbel. Sie hat zwei Äste, einen im ersten und einen im dritten Quadranten. Sie nähert sich den Achsen immer weiter an und berührt sie nie. Für Sachaufgaben mit positiven Größen zählt nur der Ast im ersten Quadranten.

Oft kennst du ein Wertepaar und suchst ein zweites. Dann hilft der Dreisatz. Er hat drei Schritte:

• Bedingung: Schreibe auf, was gegeben ist.
• Einheit: Schließe auf den Wert für 1.
• Gesucht: Schließe vom Wert für 1 auf den gesuchten Wert.

Bei einer proportionalen Zuordnung teilst du im zweiten Schritt und multiplizierst im dritten. Bei einer antiproportionalen Zuordnung multiplizierst du im zweiten Schritt und teilst im dritten. Entscheide zuerst, welche Art vorliegt.

Zwei Wertepaare $(x_1|y_1)$ und $(x_2|y_2)$ unterscheidest du durch die kleinen Zahlen unten, die Indizes. Bei einer proportionalen Zuordnung sind die Quotienten gleich. Eine Gleichung aus zwei gleichen Verhältnissen heißt Verhältnisgleichung. Ist ein Wert unbekannt, rechnest du rückwärts wie in Klasse 5-6.

Bei einer antiproportionalen Zuordnung sind die Produkte gleich, $x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2$. Als Verhältnisgleichung stehen dann die Verhältnisse umgekehrt. Zum Beispiel folgt aus $4 \cdot 6 = 3 \cdot 8$ die Gleichung $\frac{4}{3} = \frac{8}{6}$.