Lektion 1.2

Rechnen mit rationalen Zahlen

16 min Lesezeit

Die Temperatur fällt jede Stunde um 2 Grad. Jetzt sind es 0 °C. Wie warm ist es in 3 Stunden? Die Änderung pro Stunde ist −2 Grad. Du rechnest 3 · (−2) = −6. In 3 Stunden sind es −6 °C.

Jetzt fragst du andersherum: Wie warm war es vor 3 Stunden? „Vor 3 Stunden“ ist die Zeit −3. Du rechnest also (−3) · (−2). Vor 3 Stunden war es wärmer als jetzt. Das Ergebnis muss positiv sein: 6 Grad. Minus mal Minus ergibt hier Plus.

In Klasse 5-6 hast du in Alltagsaufgaben addiert und subtrahiert. In dieser Lektion lernst du feste Regeln für alle vier Rechenarten, für Klammern und für Potenzen mit rationalen Zahlen.

Definition

Addieren und Subtrahieren

Addieren. Haben beide Zahlen dasselbe Vorzeichen, addierst du die Beträge und behältst das Vorzeichen. Es ist $(-3) + (-4) = -7$ : Schulden und noch mehr Schulden. Haben die Zahlen verschiedene Vorzeichen, ziehst du den kleineren Betrag vom größeren ab. Das Ergebnis bekommt das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag. Es ist $(-7) + 4 = -3$ und $7 + (-10) = -3$ .

Subtrahieren. Dein Konto steht bei −10 Euro. Die Bank erlässt dir 4 Euro Schulden. Du ziehst also −4 Euro ab: $(-10) - (-4)$ . Dein Konto steigt auf −6 Euro. Das ist dasselbe wie $(-10) + 4$ . Eine Zahl abzuziehen heißt also, ihre Gegenzahl zu addieren. So führst du jede Subtraktion auf eine Addition zurück.

a - b = a + (-b) \qquad 5 - (-3) = 5 + 3 = 8

Beispiel

Addieren und Subtrahieren

Rechne: a) $(-8) + (-5)$ , b) $12 + (-20)$ , c) $-3{,}5 + 2$ , d) $4 - (-6)$ , e) $-2 - 7$ , f) $\frac{2}{3} - \left(-\frac{1}{6}\right)$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & -13 \qquad \text{b)}\; -8 \qquad \text{c)}\; -1{,}5 \\ \text{d)}\; & 4 + 6 = 10 \qquad \text{e)}\; -2 + (-7) = -9 \\ \text{f)}\; & \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \end{aligned}

a) Gleiche Vorzeichen: 8 + 5 = 13, das Minus bleibt. b) Verschiedene Vorzeichen: 20 − 12 = 8. Die 20 hat das Minus und den größeren Betrag, also −8. c) 3,5 − 2 = 1,5, mit dem Minus von 3,5. d) Die Gegenzahl von −6 ist 6. e) −2 − 7 ist −2 + (−7), also gleiche Vorzeichen. f) Statt $\frac{2}{3} - \left(-\frac{1}{6}\right)$ rechnest du $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$ . Der Hauptnenner ist 6, und $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ .

Der Rechenweg zu Aufgabe f)

1Strichrechnung
Zum Schluss die Strichrechnung: Plus und Minus von links nach rechts. $\frac{2}{3} - \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{5}{6}$ .
$\displaystyle = \frac{5}{6}$
Bruchrechnung
Brüche kann man nur addieren oder subtrahieren, wenn sie denselben Nenner haben. Der kleinste gemeinsame Nenner (Hauptnenner) von $3$ und $6$ ist $6$ , das kleinste gemeinsame Vielfache.
$\displaystyle \operatorname{kgV}(3, 6) = 6$
Bruchrechnung
Jeden Bruch auf den Hauptnenner erweitern: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert, der Wert ändert sich dabei nicht.
$\displaystyle \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$
Bruchrechnung
Jetzt subtrahiert man nur die Zähler, der gemeinsame Nenner bleibt.
$\displaystyle \frac{4}{6} - \frac{-1}{6} = \frac{4 - -1}{6} = \frac{5}{6}$

Ergebnis $\displaystyle \frac{5}{6}$

Der Rechenweg zu Aufgabe f) steht schon da. Mit „Schritt für Schritt“ und „Nächster Schritt“ siehst du ihn Zeile für Zeile. Achte im letzten Schritt auf den Zähler: Aus 4 − (−1) wird 5. Tippe danach eine eigene Aufgabe ein, zum Beispiel -3/4 + 1/2, und drücke „Rechnen“.

Definition

Multiplizieren und Dividieren: Vorzeichenregeln

Das Muster zeigt, was beim Multiplizieren passiert. Es ist $3 \cdot (-2) = -6$ , dann $2 \cdot (-2) = -4$ , dann $1 \cdot (-2) = -2$ und $0 \cdot (-2) = 0$ . Der erste Faktor wird jedes Mal um 1 kleiner, das Ergebnis jedes Mal um 2 größer. Setzt du das fort, kommt $(-1) \cdot (-2) = 2$ und $(-2) \cdot (-2) = 4$ .

So ergeben sich die Vorzeichenregeln. Du multiplizierst die Beträge und bestimmst das Vorzeichen so:

Vorzeichen der beiden Zahlen	Vorzeichen des Ergebnisses	Beispiel
gleich	plus	$(-4) \cdot (-5) = 20$
verschieden	minus	$(-4) \cdot 5 = -20$

Das Teilen ist die Umkehrung des Malnehmens. Weil $(-4) \cdot 3 = -12$ ist, gilt $(-12) : 3 = -4$ . Weil $4 \cdot (-3) = -12$ ist, gilt $(-12) : (-3) = 4$ . Für Quotienten gelten also dieselben Regeln. Durch 0 teilst du weiterhin nicht. Bei mehr als zwei Faktoren, die nicht 0 sind, zählst du die negativen: Ist ihre Anzahl gerade, ist das Produkt positiv, sonst negativ.

(-12) : (-3) = 4 \qquad (-12) : 3 = -4

Beispiel

Multiplizieren und Dividieren

Rechne: a) $6 \cdot (-7)$ , b) $(-8) \cdot (-5)$ , c) $(-36) : 9$ , d) $(-2{,}5) \cdot (-4)$ , e) $\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \frac{8}{9}$ , f) $(-2) \cdot (-3) \cdot (-5)$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & -42 \qquad \text{b)}\; 40 \qquad \text{c)}\; -4 \qquad \text{d)}\; 10 \\ \text{e)}\; & -\frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 9} = -\frac{24}{36} = -\frac{2}{3} \qquad \text{f)}\; -30 \end{aligned}

a) Verschiedene Vorzeichen, also minus: 6 · 7 = 42. b) Gleiche Vorzeichen, also plus: 8 · 5 = 40. c) Verschiedene Vorzeichen: 36 : 9 = 4, mit minus. d) Gleiche Vorzeichen: 2,5 · 4 = 10. e) Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner, Vorzeichen minus. Dann kürzt du mit 12. f) Drei negative Faktoren, das ist eine ungerade Anzahl. Das Produkt ist negativ: 2 · 3 · 5 = 30, also −30.

Definition

Rechengesetze und Klammerregeln

Die Rechengesetze aus Klasse 5-6 gelten auch für rationale Zahlen. Beim Addieren und Multiplizieren darfst du vertauschen und umklammern, und das Distributivgesetz $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ bleibt richtig. Klammern zuerst und Punkt vor Strich gelten weiter. Das hilft beim geschickten Rechnen.

Zum Auflösen von Klammern brauchst du zwei Regeln:

Plus vor der Klammer: Du lässt die Klammer weg, die Vorzeichen innen bleiben.
Minus vor der Klammer: Du lässt die Klammer weg und drehst jedes Vorzeichen innen um.

Die zweite Regel folgt aus der Gegenzahl. Abziehen heißt, die Gegenzahl addieren, und die Gegenzahl von $3 - 8$ ist $-3 + 8$ . Probe: $5 - (3 - 8) = 5 - (-5) = 10$ und $5 - 3 + 8 = 10$ .

a + (b - c) = a + b - c \qquad a - (b - c) = a - b + c

Beispiel

Klammern und Rechenvorteile

Rechne: a) $20 - (7 - 12)$ , b) $-3 + (-2) \cdot (4 - 6)$ , c) geschickt: $(-5) \cdot 37 \cdot (-4)$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & 20 - 7 + 12 = 25 \\ \text{b)}\; & -3 + (-2) \cdot (-2) = -3 + 4 = 1 \\ \text{c)}\; & (-5) \cdot (-4) \cdot 37 = 20 \cdot 37 = 740 \end{aligned}

a) Vor der Klammer steht ein Minus. Du drehst die Vorzeichen in der Klammer um: Aus $7 - 12$ wird $-7 + 12$ . Das ergibt 20 − 7 + 12 = 25. Probe: 7 − 12 = −5 und 20 − (−5) = 25. b) Zuerst die Klammer: 4 − 6 = −2. Dann Punkt vor Strich: $(-2) \cdot (-2) = 4$ . Zuletzt −3 + 4 = 1. c) Du vertauschst die Faktoren, sodass $(-5) \cdot (-4) = 20$ zuerst kommt. Dann ist 20 · 37 = 740 leicht.

Definition

Potenzen mit rationaler Basis

Der Exponent sagt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt. Das gilt auch, wenn die Basis negativ, ein Bruch oder eine Dezimalzahl ist. Eine negative Basis schreibst du in Klammern. Es ist $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$ .

Zähle die negativen Faktoren. Ist der Exponent gerade, ist die Potenz positiv: $(-2)^4 = 16$ . Ist der Exponent ungerade, ist sie negativ: $(-2)^3 = -8$ . Bei einem Bruch gilt der Exponent für Zähler und Nenner: $\left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ . Potenzen werden vor Mal und Plus berechnet. Ohne Klammer gehört das Minus nicht zur Basis: $-2^4 = -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16$ .

(-2)^3 = -8 \qquad (-2)^4 = 16 \qquad -2^4 = -16

Beispiel

Potenzen berechnen

Berechne: a) $(-3)^2$ , b) $(-3)^3$ , c) $-3^2$ , d) $\left(-\frac{2}{3}\right)^3$ , e) $(-0{,}2)^3$ .

\text{a)}\; 9 \qquad \text{b)}\; -27 \qquad \text{c)}\; -9 \qquad \text{d)}\; -\frac{8}{27} \qquad \text{e)}\; -0{,}008

a) Zwei negative Faktoren, das Ergebnis ist positiv: 3 · 3 = 9. b) Drei negative Faktoren, das Ergebnis ist negativ: 9 · 3 = 27, also −27. c) Hier steht keine Klammer. Erst $3^2 = 9$ , dann das Minus: −9. d) Der Exponent ist ungerade, das Ergebnis negativ. Es ist $2^3 = 8$ und $3^3 = 27$ . e) Ungerader Exponent, also negativ. Es ist 0,2 · 0,2 = 0,04 und 0,04 · 0,2 = 0,008.

Häufige Fehler

Potenz ohne Klammer

Jemand rechnet $-3^2 = 9$ .

Richtig ist

Ohne Klammer gehört das Minus nicht zur Basis. Erst kommt die Potenz $3^2 = 9$ , dann das Minus: $-3^2 = -9$ . Mit Klammer ist es anders: $(-3)^2 = 9$ .

Häufige Fehler

Minus mal Minus beim Addieren

Jemand rechnet $(-4) + (-6) = 10$ , weil „minus und minus gibt plus“.

Richtig ist

Die Regel „minus mal minus ist plus“ gilt nur beim Multiplizieren und Dividieren. Beim Addieren addierst du die Beträge, und das Minus bleibt: $(-4) + (-6) = -10$ . Denk an Schulden: 4 Euro Schulden und noch 6 Euro Schulden sind 10 Euro Schulden. Dagegen ist $(-4) \cdot (-6) = 24$ .

Häufige Fehler

Minusklammer nicht umgedreht

Jemand rechnet $10 - (4 - 6) = 10 - 4 - 6 = 0$ .

Richtig ist

Steht ein Minus vor der Klammer, drehst du alle Vorzeichen in der Klammer um. Richtig ist $10 - (4 - 6) = 10 - 4 + 6 = 12$ . Probe: $4 - 6 = -2$ und $10 - (-2) = 12$ .

Zusammenfassung

Addieren: Bei gleichen Vorzeichen addierst du die Beträge und behältst das Vorzeichen. Bei verschiedenen Vorzeichen ziehst du die Beträge ab und nimmst das Vorzeichen des größeren Betrags.
Subtrahieren heißt, die Gegenzahl zu addieren: $a - b = a + (-b)$ .
Multiplizieren und Dividieren: Bei gleichen Vorzeichen ist das Ergebnis positiv, bei verschiedenen negativ. Durch 0 teilst du nie.
Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz sowie Punkt vor Strich gelten auch für rationale Zahlen.
Plus vor der Klammer: Vorzeichen bleiben. Minus vor der Klammer: Vorzeichen drehen sich um.
Potenzen mit negativer Basis: gerader Exponent gibt ein positives, ungerader ein negatives Ergebnis. $-3^2$ und $(-3)^2$ sind verschieden.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Berechne $-9 + 4 - (-7)$ .

Aufgabe 2Multiple Choice

Welches Produkt ist positiv?

Aufgabe 3Numerisch

Die Temperatur fällt jede Stunde um 2,5 Grad. Jetzt zeigt das Thermometer 1 °C. Wie viel Grad zeigt es in 4 Stunden?

Aufgabe 4Numerisch

Berechne $18 - (-2) \cdot (-5)$ .

Aufgabe 5Multiple Choice

Welche Aussage ist richtig?

Aufgabe 6Freitext

Jemand rechnet $12 - (5 - 9) = 12 - 5 - 9 = -2$ . Finde den Fehler und rechne richtig.

Lektion 1.2 · Rationale Zahlen und Prozentrechnung

Rechnen mit rationalen Zahlen

Die Temperatur fällt jede Stunde um 2 Grad. Jetzt sind es 0 °C. Wie warm ist es in 3 Stunden? Die Änderung pro Stunde ist −2 Grad. Du rechnest 3 · (−2) = −6. In 3 Stunden sind es −6 °C.

In Klasse 5-6 hast du in Alltagsaufgaben addiert und subtrahiert. In dieser Lektion lernst du feste Regeln für alle vier Rechenarten, für Klammern und für Potenzen mit rationalen Zahlen.

Definition

Addieren und Subtrahieren

a - b = a + (-b) \qquad 5 - (-3) = 5 + 3 = 8

Beispiel

Addieren und Subtrahieren

Rechne: a) $(-8) + (-5)$ , b) $12 + (-20)$ , c) $-3{,}5 + 2$ , d) $4 - (-6)$ , e) $-2 - 7$ , f) $\frac{2}{3} - \left(-\frac{1}{6}\right)$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & -13 \qquad \text{b)}\; -8 \qquad \text{c)}\; -1{,}5 \\ \text{d)}\; & 4 + 6 = 10 \qquad \text{e)}\; -2 + (-7) = -9 \\ \text{f)}\; & \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \end{aligned}

Definition

Multiplizieren und Dividieren: Vorzeichenregeln

So ergeben sich die Vorzeichenregeln. Du multiplizierst die Beträge und bestimmst das Vorzeichen so:

Vorzeichen der beiden Zahlen	Vorzeichen des Ergebnisses	Beispiel
gleich	plus	$(-4) \cdot (-5) = 20$
verschieden	minus	$(-4) \cdot 5 = -20$

(-12) : (-3) = 4 \qquad (-12) : 3 = -4

Beispiel

Multiplizieren und Dividieren

Rechne: a) $6 \cdot (-7)$ , b) $(-8) \cdot (-5)$ , c) $(-36) : 9$ , d) $(-2{,}5) \cdot (-4)$ , e) $\left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \frac{8}{9}$ , f) $(-2) \cdot (-3) \cdot (-5)$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & -42 \qquad \text{b)}\; 40 \qquad \text{c)}\; -4 \qquad \text{d)}\; 10 \\ \text{e)}\; & -\frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 9} = -\frac{24}{36} = -\frac{2}{3} \qquad \text{f)}\; -30 \end{aligned}

Definition

Rechengesetze und Klammerregeln

Zum Auflösen von Klammern brauchst du zwei Regeln:

Plus vor der Klammer: Du lässt die Klammer weg, die Vorzeichen innen bleiben.
Minus vor der Klammer: Du lässt die Klammer weg und drehst jedes Vorzeichen innen um.

Die zweite Regel folgt aus der Gegenzahl. Abziehen heißt, die Gegenzahl addieren, und die Gegenzahl von $3 - 8$ ist $-3 + 8$ . Probe: $5 - (3 - 8) = 5 - (-5) = 10$ und $5 - 3 + 8 = 10$ .

a + (b - c) = a + b - c \qquad a - (b - c) = a - b + c

Beispiel

Klammern und Rechenvorteile

Rechne: a) $20 - (7 - 12)$ , b) $-3 + (-2) \cdot (4 - 6)$ , c) geschickt: $(-5) \cdot 37 \cdot (-4)$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & 20 - 7 + 12 = 25 \\ \text{b)}\; & -3 + (-2) \cdot (-2) = -3 + 4 = 1 \\ \text{c)}\; & (-5) \cdot (-4) \cdot 37 = 20 \cdot 37 = 740 \end{aligned}

Definition

Potenzen mit rationaler Basis

(-2)^3 = -8 \qquad (-2)^4 = 16 \qquad -2^4 = -16

Beispiel

Potenzen berechnen

Berechne: a) $(-3)^2$ , b) $(-3)^3$ , c) $-3^2$ , d) $\left(-\frac{2}{3}\right)^3$ , e) $(-0{,}2)^3$ .

\text{a)}\; 9 \qquad \text{b)}\; -27 \qquad \text{c)}\; -9 \qquad \text{d)}\; -\frac{8}{27} \qquad \text{e)}\; -0{,}008

Häufige Fehler

Potenz ohne Klammer

Jemand rechnet $-3^2 = 9$ .

Ohne Klammer gehört das Minus nicht zur Basis. Erst kommt die Potenz $3^2 = 9$ , dann das Minus: $-3^2 = -9$ . Mit Klammer ist es anders: $(-3)^2 = 9$ .

Häufige Fehler

Minus mal Minus beim Addieren

Jemand rechnet $(-4) + (-6) = 10$ , weil „minus und minus gibt plus“.

Häufige Fehler

Minusklammer nicht umgedreht

Jemand rechnet $10 - (4 - 6) = 10 - 4 - 6 = 0$ .

Steht ein Minus vor der Klammer, drehst du alle Vorzeichen in der Klammer um. Richtig ist $10 - (4 - 6) = 10 - 4 + 6 = 12$ . Probe: $4 - 6 = -2$ und $10 - (-2) = 12$ .

Zusammenfassung

Addieren: Bei gleichen Vorzeichen addierst du die Beträge und behältst das Vorzeichen. Bei verschiedenen Vorzeichen ziehst du die Beträge ab und nimmst das Vorzeichen des größeren Betrags.
Subtrahieren heißt, die Gegenzahl zu addieren: $a - b = a + (-b)$ .
Multiplizieren und Dividieren: Bei gleichen Vorzeichen ist das Ergebnis positiv, bei verschiedenen negativ. Durch 0 teilst du nie.
Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz sowie Punkt vor Strich gelten auch für rationale Zahlen.
Plus vor der Klammer: Vorzeichen bleiben. Minus vor der Klammer: Vorzeichen drehen sich um.
Potenzen mit negativer Basis: gerader Exponent gibt ein positives, ungerader ein negatives Ergebnis. $-3^2$ und $(-3)^2$ sind verschieden.