Lektion 1.5

Zinsrechnung und Zinseszins

15 min Lesezeit

Du legst 1000 Euro bei einer Bank an. Die Bank arbeitet mit deinem Geld und bezahlt dich dafür mit Zinsen. Bei 3 % Zinsen im Jahr bekommst du nach einem Jahr 30 Euro dazu. Was passiert, wenn du das Geld fünf Jahre liegen lässt und die Zinsen nicht abhebst? Dann bringen die Zinsen im nächsten Jahr selbst wieder Zinsen. Und was bekommst du, wenn du das Geld nur drei Monate anlegst?

Auch beim Kauf auf Raten spielt das eine Rolle: Du bezahlst einen Laptop in Teilbeträgen und zahlst am Ende meist mehr. In dieser Lektion rechnest du Zinsen für Jahre, Monate und Tage, du lernst den Zinseszins kennen und rechnest mit Raten.

Definition

Kapital, Zinssatz und Jahreszinsen

Das Geld, das du anlegst oder leihst, heißt Kapital KK. Die Bezahlung dafür heißt Zinsen ZZ. Der Zinssatz p %p\,\% sagt, wie viel Prozent vom Kapital die Zinsen für ein Jahr betragen. Das sind die Jahreszinsen. Es ist Prozentrechnung mit neuen Namen: Das Kapital ist der Grundwert, die Zinsen sind der Prozentwert, der Zinssatz ist der Prozentsatz. Bei 1000 Euro und 3 % sind es 1000 · 0,03 = 30 Euro.

Z=K⋅p100Z = K \cdot \frac{p}{100}
Beispiel

Jahreszinsen, Kapital und Zinssatz

a) Wie hoch sind die Jahreszinsen für 3000 Euro bei 1,6 %? b) Ein Kapital bringt bei 2,5 % im Jahr 45 Euro Zinsen. Wie hoch ist es? c) 800 Euro bringen im Jahr 28 Euro Zinsen. Wie hoch ist der Zinssatz?

a)  Z=3000⋅0,016=48b)  K=45:0,025=1800c)  28800=0,035=3,5 %\begin{aligned} \text{a)}\; & Z = 3000 \cdot 0{,}016 = 48 \\ \text{b)}\; & K = 45 : 0{,}025 = 1800 \\ \text{c)}\; & \frac{28}{800} = 0{,}035 = 3{,}5\,\% \end{aligned}

In a) sind die Zinsen der gesuchte Prozentwert. In b) ist das Kapital der gesuchte Grundwert. Probe: 1800 · 0,025 = 45. In c) ist der Zinssatz gesucht. Du teilst die Zinsen durch das Kapital und wandelst in Prozent um.

Definition

Monats- und Tageszinsen

Der Zinssatz gilt für ein Jahr. Legst du das Geld kürzer an, bekommst du nur einen Teil der Jahreszinsen. Ein Monat ist 112\frac{1}{12} eines Jahres. In der Schule rechnet man das Jahr mit 360 Tagen und jeden Monat mit 30 Tagen. Ein Tag ist dann 1360\frac{1}{360} eines Jahres. Die Tage zählst du so: Jeder volle Monat zählt 30 Tage. Vom 1. März bis zum 16. Mai sind es 2 Monate und 15 Tage, also 75 Tage.

Der kleine Buchstabe unten zeigt, wofür die Zinsen gelten: mm ist die Zahl der Monate, tt die Zahl der Tage.

Zm=K⋅p100⋅m12Zt=K⋅p100⋅t360Z_m = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{m}{12} \qquad Z_t = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360}
Beispiel

Zinsen für kürzere Zeit

a) 3600 Euro werden 5 Monate lang zu 2 % angelegt. b) 2400 Euro werden vom 1. März bis zum 16. Mai zu 3 % angelegt. Wie hoch sind die Zinsen?

a)  3600⋅0,02⋅512=72⋅512=30b)  2400⋅0,03⋅75360=72⋅75360=15\begin{aligned} \text{a)}\; & 3600 \cdot 0{,}02 \cdot \frac{5}{12} = 72 \cdot \frac{5}{12} = 30 \\ \text{b)}\; & 2400 \cdot 0{,}03 \cdot \frac{75}{360} = 72 \cdot \frac{75}{360} = 15 \end{aligned}

Du rechnest zuerst die Jahreszinsen, hier jedes Mal 72 Euro. Dann nimmst du den Teil des Jahres. In a) sind es 72 : 12 = 6 Euro pro Monat, also 30 Euro für 5 Monate. In b) sind es 75 Tage. Es ist 72 · 75 : 360 = 15 Euro.

Definition

Zinseszins

Hebst du die Zinsen nicht ab, werden sie am Jahresende zum Kapital gezählt. Im nächsten Jahr bringen sie selbst Zinsen. Das heißt Zinseszins. Bei 1000 Euro und 3 % sind es nach einem Jahr 1030 Euro. Im zweiten Jahr bringen 1030 Euro Zinsen von 1030 · 0,03 = 30,90 Euro, du hast dann 1060,90 Euro. Im dritten Jahr sind es 1060,90 · 0,03 = 31,827 Euro, also 1092,727 Euro, gerundet 1092,73 Euro. Ohne Zinseszins hättest du nur 3 · 30 = 90 Euro Zinsen, also 1090 Euro.

Schneller geht es mit dem Zinsfaktor q=1+p100q = 1 + \frac{p}{100}, hier q=1,03q = 1{,}03. Jedes Jahr wird das Kapital mit qq multipliziert. Das Anfangskapital heißt K0K_0, das Kapital nach nn Jahren KnK_n. Dann ist K1=K0⋅qK_1 = K_0 \cdot q, K2=K0⋅q⋅q=K0⋅q2K_2 = K_0 \cdot q \cdot q = K_0 \cdot q^2 und K3=K0⋅q3K_3 = K_0 \cdot q^3. Das Muster gilt für jede Zahl von Jahren.

Kn=K0⋅qnq=1+p100K_n = K_0 \cdot q^n \qquad q = 1 + \frac{p}{100}
Beispiel

Endkapital mit Potenz

Wie viel Euro sind aus 1000 Euro bei 3 % Zinseszins nach 5 Jahren geworden?

K5=1000⋅1,035≈1159,27K_5 = 1000 \cdot 1{,}03^5 \approx 1159{,}27

Du berechnest zuerst die Potenz 1,0351{,}03^5 und multiplizierst dann mit 1000. Der Taschenrechner zeigt 1159,274..., gerundet auf Cent sind es 1159,27 Euro. Die Zinsen betragen zusammen etwa 159,27 Euro. Ohne Zinseszins wären es nur 5 · 30 = 150 Euro.

Das Endkapital Schritt für Schritt

Der Rechenweg zeigt: Erst wird die Potenz 1,03 hoch 5 berechnet, dann mal 1000. Das Ergebnis hat viele Nachkommastellen. Euro-Beträge rundest du auf Cent. Tippe danach 1000 * 1,03^6 ein und drücke „Rechnen“. Wie viel Euro mehr hast du nach 6 Jahren als nach 5?

Definition

Tabellenkalkulation

Mit einer Tabellenkalkulation, zum Beispiel Excel oder LibreOffice Calc, siehst du das Wachstum Jahr für Jahr. Ein Tabellenblatt besteht aus Zellen. Jede Zelle hat einen Namen aus Spalte und Zeile, zum Beispiel B2 für Spalte B, Zeile 2. Beginnt ein Eintrag mit einem Gleichheitszeichen, ist er eine Formel, und das Programm rechnet sie aus.

ZelleInhalt
A1 und B1Jahr und Kapital in Euro
A2 und B20 und 1000
A3=A2+1
B3=B2*1,03

Du kopierst Zeile 3 nach unten. In jeder Zeile bezieht sich die Formel auf die Zeile darüber, und B7 zeigt das Kapital nach 5 Jahren: 1159,27 Euro. Dazwischen siehst du 1030,00, 1060,90, 1092,73 und 1125,51 Euro. Das Programm rechnet mit allen Nachkommastellen und zeigt zwei an. Bei deutschen Einstellungen schreibst du das Dezimalkomma.

Definition

Ratenzahlung

Bei einem Ratenkauf bezahlst du in gleichen Teilbeträgen, den Raten. Oft kommt eine Anzahlung am Anfang dazu. Der Händler verlangt meist mehr als den Barpreis, den Preis bei sofortiger Zahlung. Der Mehrbetrag heißt Aufpreis. Den Aufpreis kannst du in Prozent vom Barpreis angeben. Das ist nicht der Zinssatz pro Jahr, denn du schuldest dem Händler nach jeder Rate weniger.

Gesamtpreis=Anzahlung+Anzahl der Raten⋅Rate\text{Gesamtpreis} = \text{Anzahlung} + \text{Anzahl der Raten} \cdot \text{Rate}
Beispiel

Ratenkauf

Ein Laptop kostet bar 800 Euro. Im Ratenkauf zahlst du 100 Euro an und danach 12 Raten zu je 62 Euro. a) Wie hoch ist der Gesamtpreis? b) Wie viel Prozent vom Barpreis beträgt der Aufpreis?

a)  100+12⋅62=100+744=844b)  844−800=4444800=0,055=5,5 %\begin{aligned} \text{a)}\; & 100 + 12 \cdot 62 = 100 + 744 = 844 \\ \text{b)}\; & 844 - 800 = 44 \qquad \frac{44}{800} = 0{,}055 = 5{,}5\,\% \end{aligned}

a) Die Raten zusammen sind 12 · 62 = 744 Euro. Dazu kommt die Anzahlung. b) Der Aufpreis ist die Differenz zum Barpreis. Der Barpreis ist der Grundwert, darum teilst du 44 durch 800.

Häufige Fehler

Zinseszins als einfache Zinsen gerechnet

Jemand rechnet für 1000 Euro bei 3 % Zinseszins und 3 Jahren: 3 · 3 % = 9 %, also 1000 · 1,09 = 1090 Euro.

Richtig ist

Das wären einfache Zinsen. Mit Zinseszins wird das Kapital jedes Jahr mit 1,03 multipliziert: 1000 · 1,03³ = 1092,73 Euro. Die Zinsen aus dem ersten und zweiten Jahr bringen selbst Zinsen.

Häufige Fehler

Monatszinsen ohne den Bruchteil

Jemand rechnet die Zinsen für 3600 Euro bei 2 % und 5 Monaten so: 3600 · 0,02 · 5 = 360 Euro.

Richtig ist

Der Zinssatz gilt für ein Jahr. Für 5 Monate kommen nur 512\frac{5}{12} der Jahreszinsen dazu: 72 · 5 : 12 = 30 Euro. 360 Euro wären zehn Prozent vom Kapital, das ist für 5 Monate bei 2 % im Jahr viel zu viel.

Häufige Fehler

Der Exponent ist keine Malzahl

Jemand rechnet 1,035=1,03⋅5=5,151{,}03^5 = 1{,}03 \cdot 5 = 5{,}15.

Richtig ist

Der Exponent sagt, wie oft du mit 1,03 multiplizierst: 1,035=1,03⋅1,03⋅1,03⋅1,03⋅1,03≈1,15931{,}03^5 = 1{,}03 \cdot 1{,}03 \cdot 1{,}03 \cdot 1{,}03 \cdot 1{,}03 \approx 1{,}1593. Probe: Nach 5 Jahren mit 3 % wächst das Kapital nur um etwa 16 %, nicht auf das 5-Fache.

Zusammenfassung

  • Kapital KK, Zinssatz p %p\,\% und Zinsen ZZ sind Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert. Jahreszinsen: Z=K⋅p100Z = K \cdot \frac{p}{100}.

  • Monatszinsen: Jahreszinsen mal m12\frac{m}{12}. Tageszinsen: Jahreszinsen mal t360\frac{t}{360}. In der Schule hat das Jahr 360 Tage und jeder Monat 30 Tage.

  • Zinseszins: Die Zinsen werden zum Kapital gezählt und bringen im nächsten Jahr selbst Zinsen.

  • Mit dem Zinsfaktor q=1+p100q = 1 + \frac{p}{100} gilt Kn=K0⋅qnK_n = K_0 \cdot q^n. Der Exponent nn ist die Zahl der Jahre.

  • Eine Tabellenkalkulation rechnet Jahr für Jahr mit einer Formel wie =B2*1,03, die du nach unten kopierst.

  • Ratenkauf: Gesamtpreis gleich Anzahlung plus Raten mal Rate. Der Aufpreis ist der Gesamtpreis minus der Barpreis.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Wie viel Euro Zinsen bringen 2500 Euro bei 1,2 % in einem Jahr?

Aufgabe 2Numerisch

4800 Euro werden 5 Monate lang zu 2,5 % angelegt. Wie viel Euro Zinsen gibt es?

Aufgabe 3Numerisch

7200 Euro werden 100 Tage lang zu 2 % angelegt. Wie viel Euro Zinsen gibt es?

Aufgabe 4Multiple Choice

Elias legt 800 Euro zu 2,5 % mit Zinseszins an. Welcher Term gibt sein Kapital nach 4 Jahren an?

Aufgabe 5Numerisch

Anna legt 500 Euro zu 2 % mit Zinseszins an. Wie viel Euro hat sie nach 3 Jahren? Runde auf Cent.

Aufgabe 6Freitext

Ein Fahrrad kostet bar 500 Euro. Im Ratenkauf zahlst du 50 Euro an und danach 10 Raten zu je 47 Euro. Wie hoch ist der Aufpreis, und wie viel Prozent vom Barpreis sind das?